MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lhop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhop1 24595
Description: L'Hôpital's Rule for limits from the right. If 𝐹 and 𝐺 are differentiable real functions on (𝐴, 𝐵), and 𝐹 and 𝐺 both approach 0 at 𝐴, and 𝐺(𝑥) and 𝐺' (𝑥) are not zero on (𝐴, 𝐵), and the limit of 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) at 𝐴 is 𝐶, then the limit 𝐹(𝑥) / 𝐺(𝑥) at 𝐴 also exists and equals 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lhop1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
lhop1.l (𝜑𝐴 < 𝐵)
lhop1.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop1.g (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop1.if (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
lhop1.ig (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
lhop1.f0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
lhop1.g0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
lhop1.gn0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
lhop1.gd0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
lhop1.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴))
Assertion
Ref Expression
lhop1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧   𝑧,𝐴   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺

Proof of Theorem lhop1
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑟 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lhop1.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴))
2 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 12421 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
4 breq2 5043 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝑥 / 2) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
54imbi2d 344 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑥 / 2) → (((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) ↔ ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
65rexralbidv 3287 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑥 / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
76rspcv 3595 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
83, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
9 rabid 3363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} ↔ (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑))
10 eliooord 12774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑣𝑣 < 𝐵))
1110adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑣𝑣 < 𝐵))
1211simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 < 𝐵)
1312biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < (𝑑 + 𝐴) ↔ (𝑣 < 𝐵𝑣 < (𝑑 + 𝐴))))
14 ioossre 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
15 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1614, 15sseldi 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
17 lhop1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2019rpred 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
2120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ)
2216, 18, 21ltsubaddd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑣𝐴) < 𝑑𝑣 < (𝑑 + 𝐴)))
2316rexrd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ*)
24 lhop1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2524ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2617ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2720, 26readdcld 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ)
2827rexrd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
30 xrltmin 12553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣 < 𝐵𝑣 < (𝑑 + 𝐴))))
3123, 25, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣 < 𝐵𝑣 < (𝑑 + 𝐴))))
3213, 22, 313bitr4rd 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣𝐴) < 𝑑))
3318rexrd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3425, 29ifcld 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*)
3511simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑣)
36 elioo5 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ (𝐴 < 𝑣𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))))
3736baibd 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝑣) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ 𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
3833, 34, 23, 35, 37syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ 𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
3918, 16, 35ltled 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝑣)
4018, 16, 39abssubge0d 14770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝑣𝐴)) = (𝑣𝐴))
4140breq1d 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 ↔ (𝑣𝐴) < 𝑑))
4232, 38, 413bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑))
4342rabbi2dva 4169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑})
4424ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45 xrmin1 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵)
4644, 28, 45syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵)
47 iooss2 12752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵) → (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4844, 46, 47syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
49 sseqin2 4167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
5048, 49sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
5143, 50eqtr3d 2858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
5251eleq2d 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑣 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} ↔ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))))
539, 52syl5bbr 288 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) ↔ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))))
54 lbioo 12747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
55 eleq1 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5654, 55mtbiri 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5756necon2ai 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦𝐴)
5857biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 ↔ (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑)))
5958bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) ↔ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑))
60 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
61 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))
6260, 61oveq12d 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑦 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
63 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
64 ovex 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V
6562, 63, 64fvmpt3i 6746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
6665fvoveq1d 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) = (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)))
6766breq1d 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
6859, 67imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
6968ralbiia 3152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
70 fvoveq1 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑦 → (abs‘(𝑣𝐴)) = (abs‘(𝑦𝐴)))
7170breq1d 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑦 → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑))
7271ralrab 3662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
7369, 72bitr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))
7451adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
7574raleqdv 3396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
7617ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7724ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
78 lhop1.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 < 𝐵)
7978ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < 𝐵)
80 lhop1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
82 lhop1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
84 lhop1.if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
86 lhop1.ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
8786ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
88 lhop1.f0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
90 lhop1.g0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
92 lhop1.gn0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
94 lhop1.gd0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
9594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
961ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴))
973adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
9876rexrd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
99 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
10099rpred 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑑 ∈ ℝ)
101100, 76readdcld 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ)
102 iocssre 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ⊆ ℝ)
10398, 101, 102syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ⊆ ℝ)
10477adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
105100adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10676adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
107105, 106readdcld 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ)
108107rexrd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
109104, 108ifclda 4474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*)
11076, 99ltaddrp2d 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < (𝑑 + 𝐴))
111101rexrd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
112 xrltmin 12553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < (𝑑 + 𝐴))))
11398, 77, 111, 112syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < (𝑑 + 𝐴))))
11479, 110, 113mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))
115 xrmin2 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))
11677, 111, 115syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))
117 elioc1 12758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))))
11898, 111, 117syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))))
119109, 114, 116, 118mpbir3and 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)))
120103, 119sseldd 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ)
12177, 111, 45syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵)
122 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
123 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))
124 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 + (𝑟 / 2)) = (𝐴 + (𝑟 / 2))
12576, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 96, 97, 120, 121, 122, 123, 124lhop1lem 24594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < (2 · (𝑥 / 2)))
1262rpcnd 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
127 2cnd 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
128 2ne0 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ≠ 0
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
130126, 127, 129divcan2d 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (𝑥 / 2)) = 𝑥)
131130adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (2 · (𝑥 / 2)) = 𝑥)
132125, 131breqtrd 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)
133132expr 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
13475, 133sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
13573, 134syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
136135expr 460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
13753, 136sylbid 243 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
138137expdimp 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
139 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑣 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑣))
140 fveq2 6643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑣 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑣))
141139, 140oveq12d 7148 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑣 → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) = ((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)))
142 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))
143 ovex 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ V
144141, 142, 143fvmpt3i 6746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) = ((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)))
145144fvoveq1d 7152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)))
146145breq1d 5049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
147146imbi2d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
148147adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
149138, 148sylibrd 262 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
150149adantld 494 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
151150com23 86 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
152151ralrimdva 3177 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
153152reximdva 3260 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
1548, 153syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
155154ralrimdva 3177 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
156155anim2d 614 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))))
157 dvf 24488 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
15884feq2d 6473 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
159157, 158mpbii 236 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
160159ffvelrnda 6824 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
161 dvf 24488 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
16286feq2d 6473 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
163161, 162mpbii 236 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
164163ffvelrnda 6824 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ℂ)
16594adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
166163ffnd 6488 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
167 fnfvelrn 6821 . . . . . . . . . 10 (((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
168166, 167sylan 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
169 eleq1 2899 . . . . . . . . 9 (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
170168, 169syl5ibcom 248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
171170necon3bd 3021 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0))
172165, 171mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0)
173160, 164, 172divcld 11393 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ ℂ)
174173fmpttd 6852 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
175 ax-resscn 10571 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
17614, 175sstri 3952 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
177176a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
17817recnd 10646 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
179174, 177, 178ellimc3 24460 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒))))
18080ffvelrnda 6824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
181180recnd 10646 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
18282ffvelrnda 6824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
183182recnd 10646 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
18492adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
18582ffnd 6488 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵))
186 fnfvelrn 6821 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺)
187185, 186sylan 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺)
188 eleq1 2899 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑧) = 0 → ((𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺 ↔ 0 ∈ ran 𝐺))
189187, 188syl5ibcom 248 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑧) = 0 → 0 ∈ ran 𝐺))
190189necon3bd 3021 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran 𝐺 → (𝐺𝑧) ≠ 0))
191184, 190mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ≠ 0)
192181, 183, 191divcld 11393 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
193192fmpttd 6852 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
194193, 177, 178ellimc3 24460 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))))
195156, 179, 1943imtr4d 297 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴)))
1961, 195mpd 15 1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wral 3126  wrex 3127  {crab 3130  cin 3909  wss 3910  ifcif 4440   class class class wbr 5039  cmpt 5119  dom cdm 5528  ran crn 5529   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514   + caddc 10517   · cmul 10519  *cxr 10651   < clt 10652  cle 10653  cmin 10847   / cdiv 11274  2c2 11670  +crp 12367  (,)cioo 12716  (,]cioc 12717  abscabs 14572   lim climc 24443   D cdv 24444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ioc 12721  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-rest 16674  df-topn 16675  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-topgen 16695  df-pt 16696  df-prds 16699  df-xrs 16753  df-qtop 16758  df-imas 16759  df-xps 16761  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-mulg 18203  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-fbas 20517  df-fg 20518  df-cnfld 20521  df-top 21477  df-topon 21494  df-topsp 21516  df-bases 21529  df-cld 21602  df-ntr 21603  df-cls 21604  df-nei 21681  df-lp 21719  df-perf 21720  df-cn 21810  df-cnp 21811  df-haus 21898  df-cmp 21970  df-tx 22145  df-hmeo 22338  df-fil 22429  df-fm 22521  df-flim 22522  df-flf 22523  df-xms 22905  df-ms 22906  df-tms 22907  df-cncf 23461  df-limc 24447  df-dv 24448
This theorem is referenced by:  lhop2  24596  lhop  24597  fourierdlem61  42600
  Copyright terms: Public domain W3C validator