Theorem zmin 12935

Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zmin	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmin

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12587	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		arch 12476	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧)
3		ssrexv 4051	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧))
4	1, 2, 3	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧)
5		zre 12569	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6		ltle 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧))
7	5, 6	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧))
8	7	reximdva 3167	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧))
9	4, 8	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧)
10		rabn0 4385	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧)
11	9, 10	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅)
12		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑛 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑛))
13	12	cbvrabv 3441	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛}
14	13	eqimssi 4042	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛}
15		uzwo3 12934	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛} ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
16	14, 15	mpanr1 700	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
17	11, 16	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
18		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑥))
19	18	elrab 3683	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥))
20		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑦))
21	20	ralrab 3689	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
22	19, 21	anbi12i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
23		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
24	22, 23	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
25	24	eubii 2578	. . 3 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
26		df-reu 3376	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦))
27		df-reu 3376	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
28	25, 26, 27	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	17, 28	sylib 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ∃!weu 2561   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ∃!wreu 3373  {crab 3431   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ℝcr 11115   < clt 11255   ≤ cle 11256  ℕcn 12219  ℤcz 12565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830

This theorem is referenced by:  zmax  12936  zbtwnre  12937