Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmin 12341
 Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
zmin (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmin
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnssz 11999 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℤ
2 arch 11891 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧)
3 ssrexv 4020 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧))
41, 2, 3mpsyl 68 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧)
5 zre 11982 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6 ltle 10727 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧𝐴𝑧))
75, 6sylan2 595 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑧𝐴𝑧))
87reximdva 3266 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴𝑧))
94, 8mpd 15 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴𝑧)
10 rabn0 4322 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴𝑧)
119, 10sylibr 237 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅)
12 breq2 5056 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑛 → (𝐴𝑧𝐴𝑛))
1312cbvrabv 3477 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑛}
1413eqimssi 4011 . . . 4 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑛}
15 uzwo3 12340 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑛} ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦)
1614, 15mpanr1 702 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦)
1711, 16mpdan 686 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦)
18 breq2 5056 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝐴𝑧𝐴𝑥))
1918elrab 3666 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑥))
20 breq2 5056 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴𝑦))
2120ralrab 3671 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))
2219, 21anbi12i 629 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
23 anass 472 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
2422, 23bitri 278 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
2524eubii 2671 . . 3 (∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
26 df-reu 3140 . . 3 (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦))
27 df-reu 3140 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
2825, 26, 273bitr4i 306 . 2 (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
2917, 28sylib 221 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115  ∃!weu 2654   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  ∃!wreu 3135  {crab 3137   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276   class class class wbr 5052  ℝcr 10534   < clt 10673   ≤ cle 10674  ℕcn 11634  ℤcz 11978 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241 This theorem is referenced by:  zmax  12342  zbtwnre  12343
 Copyright terms: Public domain W3C validator