Theorem zmin 12987

Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zmin	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmin

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12637	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		arch 12525	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧)
3		ssrexv 4052	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧))
4	1, 2, 3	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧)
5		zre 12619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6		ltle 11350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧))
7	5, 6	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧))
8	7	reximdva 3167	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧))
9	4, 8	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧)
10		rabn0 4388	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧)
11	9, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅)
12		breq2 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑛 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑛))
13	12	cbvrabv 3446	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛}
14	13	eqimssi 4043	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛}
15		uzwo3 12986	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛} ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
16	14, 15	mpanr1 703	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
17	11, 16	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
18		breq2 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑥))
19	18	elrab 3691	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥))
20		breq2 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑦))
21	20	ralrab 3698	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
22	19, 21	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
23		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
24	22, 23	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
25	24	eubii 2584	. . 3 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
26		df-reu 3380	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦))
27		df-reu 3380	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
28	25, 26, 27	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	17, 28	sylib 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107  ∃!weu 2567   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  ∃!wreu 3377  {crab 3435   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332   class class class wbr 5142  ℝcr 11155   < clt 11296   ≤ cle 11297  ℕcn 12267  ℤcz 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880

This theorem is referenced by:  zmax  12988  zbtwnre  12989