MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmin 12161
Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
zmin (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmin
Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnssz 11817 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℤ
2 arch 11707 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧)
3 ssrexv 3926 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧))
41, 2, 3mpsyl 68 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧)
5 zre 11800 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6 ltle 10531 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧𝐴𝑧))
75, 6sylan2 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑧𝐴𝑧))
87reximdva 3219 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴𝑧))
94, 8mpd 15 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴𝑧)
10 rabn0 4227 . . . 4 ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴𝑧)
119, 10sylibr 226 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅)
12 breq2 4934 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑛 → (𝐴𝑧𝐴𝑛))
1312cbvrabv 3412 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑛}
1413eqimssi 3917 . . . 4 {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑛}
15 uzwo3 12160 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑛} ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦)
1614, 15mpanr1 690 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ≠ ∅) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦)
1711, 16mpdan 674 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦)
18 breq2 4934 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝐴𝑧𝐴𝑥))
1918elrab 3595 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑥))
20 breq2 4934 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴𝑦))
2120ralrab 3601 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))
2219, 21anbi12i 617 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
23 anass 461 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
2422, 23bitri 267 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
2524eubii 2603 . . 3 (∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
26 df-reu 3095 . . 3 (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦))
27 df-reu 3095 . . 3 (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
2825, 26, 273bitr4i 295 . 2 (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
2917, 28sylib 210 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wcel 2050  ∃!weu 2582  wne 2967  wral 3088  wrex 3089  ∃!wreu 3090  {crab 3092  wss 3831  c0 4180   class class class wbr 4930  cr 10336   < clt 10476  cle 10477  cn 11441  cz 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062
This theorem is referenced by:  zmax  12162  zbtwnre  12163
  Copyright terms: Public domain W3C validator