Theorem zmin 12879

Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zmin	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmin

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12527	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		arch 12415	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧)
3		ssrexv 4013	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧))
4	1, 2, 3	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧)
5		zre 12509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6		ltle 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧))
7	5, 6	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧))
8	7	reximdva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧))
9	4, 8	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧)
10		rabn0 4348	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧)
11	9, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅)
12		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑛 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑛))
13	12	cbvrabv 3413	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛}
14	13	eqimssi 4004	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛}
15		uzwo3 12878	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛} ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
16	14, 15	mpanr1 703	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
17	11, 16	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
18		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑥))
19	18	elrab 3656	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥))
20		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑦))
21	20	ralrab 3662	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
22	19, 21	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
23		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
24	22, 23	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
25	24	eubii 2578	. . 3 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
26		df-reu 3352	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦))
27		df-reu 3352	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
28	25, 26, 27	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	17, 28	sylib 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2561   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3349  {crab 3402   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ℝcr 11043   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  zmax  12880  zbtwnre  12881