Theorem zmin 13071

Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zmin	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmin

Dummy variables 𝑛 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 12715	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		arch 12603	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧)
3		ssrexv 4001	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧))
4	1, 2, 3	mpsyl 69	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧)
5		zre 12697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6		ltle 11398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧))
7	5, 6	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧))
8	7	reximdva 3176	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧))
9	4, 8	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧)
10		rabn0 4339	. . . 4 ⊢ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 ≤ 𝑧)
11	9, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅)
12		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑛 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑛))
13	12	cbvrabv 3423	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛}
14	13	eqimssi 3991	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛}
15		uzwo3 13070	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ({𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑛} ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅)) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
16	14, 15	mpanr1 716	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ≠ ∅) → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
17	11, 16	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦)
18		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑥))
19	18	elrab 3645	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥))
20		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐴 ≤ 𝑧 ↔ 𝐴 ≤ 𝑦))
21	20	ralrab 3652	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))
22	19, 21	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
23		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
24	22, 23	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
25	24	eubii 2611	. . 3 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
26		df-reu 3367	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦))
27		df-reu 3367	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
28	25, 26, 27	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ 𝐴 ≤ 𝑧}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
29	17, 28	sylib 221	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2594   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∃!wreu 3364  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ℝcr 11199   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℤcz 12693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  zmax  13072  zbtwnre  13073