MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem1 16851
Description: Lemma for prmrec 16857. Properties of the "square part" function, which extracts the ๐‘š of the decomposition ๐‘ = ๐‘Ÿ๐‘šโ†‘2, with ๐‘š maximal and ๐‘Ÿ squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1 ๐‘„ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘›}, โ„, < ))
Assertion
Ref Expression
prmreclem1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘ โˆง (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ยฌ (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))))
Distinct variable groups:   ๐พ,๐‘Ÿ   ๐‘›,๐‘Ÿ,๐‘   ๐‘„,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐‘„(๐‘›)   ๐พ(๐‘›)

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4077 . . 3 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„•
2 breq2 5152 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘))
32rabbidv 3440 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘›} = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
43supeq1d 9443 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘›}, โ„, < ) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ))
5 prmreclem1.1 . . . . 5 ๐‘„ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘›}, โ„, < ))
6 ltso 11296 . . . . . 6 < Or โ„
76supex 9460 . . . . 5 sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ) โˆˆ V
84, 5, 7fvmpt 6998 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ))
9 nnssz 12582 . . . . . 6 โ„• โŠ† โ„ค
101, 9sstri 3991 . . . . 5 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„ค
11 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = 1 โ†’ (๐‘Ÿโ†‘2) = (1โ†‘2))
12 sq1 14161 . . . . . . . . 9 (1โ†‘2) = 1
1311, 12eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = 1 โ†’ (๐‘Ÿโ†‘2) = 1)
1413breq1d 5158 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = 1 โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” 1 โˆฅ ๐‘))
15 1nn 12225 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
1615a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
17 nnz 12581 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
18 1dvds 16216 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
2014, 16, 19elrabd 3685 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
2120ne0d 4335 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โ‰  โˆ…)
22 nnz 12581 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
23 zsqcl 14096 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
26 dvdsle 16255 . . . . . . . . . 10 (((๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
2724, 25, 26syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
28 nnlesq 14171 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โ‰ค (๐‘งโ†‘2))
2928adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (๐‘งโ†‘2))
30 nnre 12221 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
3130adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
3231resqcld 14092 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„)
33 nnre 12221 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3433adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
35 letr 11310 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง โ‰ค (๐‘งโ†‘2) โˆง (๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
3631, 32, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง โ‰ค (๐‘งโ†‘2) โˆง (๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
3729, 36mpand 693 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
3827, 37syld 47 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
3938ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
40 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐‘Ÿโ†‘2) = (๐‘งโ†‘2))
4140breq1d 5158 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘))
4241ralrab 3689 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
4339, 42sylibr 233 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘)
44 brralrspcev 5208 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ)
4517, 43, 44syl2anc 584 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ)
46 suprzcl2 12924 . . . . 5 (({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„ค โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
4710, 21, 45, 46mp3an2i 1466 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
488, 47eqeltrd 2833 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
491, 48sselid 3980 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
50 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐‘„โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘งโ†‘2) = ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))
5150breq1d 5158 . . . . 5 (๐‘ง = (๐‘„โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘))
5241cbvrabv 3442 . . . . 5 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘}
5351, 52elrab2 3686 . . . 4 ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โ†” ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘))
5448, 53sylib 217 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘))
5554simprd 496 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘)
5649adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
5756nncnd 12230 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
5857mulridd 11233 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท 1) = (๐‘„โ€˜๐‘))
59 eluz2gt1 12906 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐พ)
6059adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < ๐พ)
61 1red 11217 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
62 eluz2nn 12870 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
6362adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
6463nnred 12229 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
6556nnred 12229 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
6656nngt0d 12263 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 < (๐‘„โ€˜๐‘))
67 ltmul2 12067 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘„โ€˜๐‘))) โ†’ (1 < ๐พ โ†” ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท 1) < ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)))
6861, 64, 65, 66, 67syl112anc 1374 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (1 < ๐พ โ†” ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท 1) < ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)))
6960, 68mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท 1) < ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ))
7058, 69eqbrtrrd 5172 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) < ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ))
71 nnmulcl 12238 . . . . . . . 8 (((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ โ„•)
7249, 62, 71syl2an 596 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ โ„•)
7372nnred 12229 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
7465, 73ltnled 11363 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) < ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ†” ยฌ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ‰ค (๐‘„โ€˜๐‘)))
7570, 74mpbid 231 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ‰ค (๐‘„โ€˜๐‘))
7645ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ)
77 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ†’ (๐‘Ÿโ†‘2) = (((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)โ†‘2))
7877breq1d 5158 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” (((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)โ†‘2) โˆฅ ๐‘))
7972adantr 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ โ„•)
80 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))
8163adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
8281nnsqcld 14209 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„•)
83 nnz 12581 . . . . . . . . . . 11 ((๐พโ†‘2) โˆˆ โ„• โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8549nnsqcld 14209 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•)
869, 85sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8785nnne0d 12264 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โ‰  0)
88 dvdsval2 16202 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค))
8986, 87, 17, 88syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค))
9055, 89mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
9190ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
9286ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
93 dvdscmul 16228 . . . . . . . . . 10 (((๐พโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐พโ†‘2)) โˆฅ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))))
9484, 91, 92, 93syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐พโ†‘2)) โˆฅ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))))
9580, 94mpd 15 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐พโ†‘2)) โˆฅ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))))
9657adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
9781nncnd 12230 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
9896, 97sqmuld 14125 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)โ†‘2) = (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐พโ†‘2)))
9998eqcomd 2738 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐พโ†‘2)) = (((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)โ†‘2))
100 nncn 12222 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
101100ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
10285ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•)
103102nncnd 12230 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10487ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โ‰  0)
105101, 103, 104divcan2d 11994 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘)
10695, 99, 1053brtr3d 5179 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)โ†‘2) โˆฅ ๐‘)
10778, 79, 106elrabd 3685 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
108 suprzub 12925 . . . . . 6 (({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ‰ค sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ))
10910, 76, 107, 108mp3an2i 1466 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ‰ค sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ))
1108ad2antrr 724 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ))
111109, 110breqtrrd 5176 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ‰ค (๐‘„โ€˜๐‘))
11275, 111mtand 814 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))
113112ex 413 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ยฌ (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))))
11449, 55, 1133jca 1128 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘ โˆง (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ยฌ (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3432   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  supcsup 9437  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ†‘cexp 14029   โˆฅ cdvds 16199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-seq 13969  df-exp 14030  df-dvds 16200
This theorem is referenced by:  prmreclem2  16852  prmreclem3  16853
  Copyright terms: Public domain W3C validator