MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem1 16954
Description: Lemma for prmrec 16960. Properties of the "square part" function, which extracts the 𝑚 of the decomposition 𝑁 = 𝑟𝑚↑2, with 𝑚 maximal and 𝑟 squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1 𝑄 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmreclem1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
Distinct variable groups:   𝐾,𝑟   𝑛,𝑟,𝑁   𝑄,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4080 . . 3 {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
2 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑛 ↔ (𝑟↑2) ∥ 𝑁))
32rabbidv 3444 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
43supeq1d 9486 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
5 prmreclem1.1 . . . . 5 𝑄 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
6 ltso 11341 . . . . . 6 < Or ℝ
76supex 9503 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ V
84, 5, 7fvmpt 7016 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄𝑁) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
9 nnssz 12635 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℤ
101, 9sstri 3993 . . . . 5 {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ
11 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 1 → (𝑟↑2) = (1↑2))
12 sq1 14234 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
1311, 12eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑟 = 1 → (𝑟↑2) = 1)
1413breq1d 5153 . . . . . . 7 (𝑟 = 1 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
15 1nn 12277 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
17 nnz 12634 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
18 1dvds 16308 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
2014, 16, 19elrabd 3694 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
2120ne0d 4342 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
22 nnz 12634 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
23 zsqcl 14169 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
26 dvdsle 16347 . . . . . . . . . 10 (((𝑧↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁 → (𝑧↑2) ≤ 𝑁))
2724, 25, 26syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁 → (𝑧↑2) ≤ 𝑁))
28 nnlesq 14244 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≤ (𝑧↑2))
2928adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ≤ (𝑧↑2))
30 nnre 12273 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
3130adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3231resqcld 14165 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
33 nnre 12273 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
35 letr 11355 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑧↑2) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑁) → 𝑧𝑁))
3631, 32, 34, 35syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 ≤ (𝑧↑2) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑁) → 𝑧𝑁))
3729, 36mpand 695 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑁𝑧𝑁))
3827, 37syld 47 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁𝑧𝑁))
3938ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑧↑2) ∥ 𝑁𝑧𝑁))
40 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (𝑟↑2) = (𝑧↑2))
4140breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑁 ↔ (𝑧↑2) ∥ 𝑁))
4241ralrab 3699 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑧↑2) ∥ 𝑁𝑧𝑁))
4339, 42sylibr 234 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑁)
44 brralrspcev 5203 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥)
4517, 43, 44syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥)
46 suprzcl2 12980 . . . . 5 (({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ ∧ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥) → sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
4710, 21, 45, 46mp3an2i 1468 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
488, 47eqeltrd 2841 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄𝑁) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
491, 48sselid 3981 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄𝑁) ∈ ℕ)
50 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑄𝑁) → (𝑧↑2) = ((𝑄𝑁)↑2))
5150breq1d 5153 . . . . 5 (𝑧 = (𝑄𝑁) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁 ↔ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁))
5241cbvrabv 3447 . . . . 5 {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧↑2) ∥ 𝑁}
5351, 52elrab2 3695 . . . 4 ((𝑄𝑁) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ↔ ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁))
5448, 53sylib 218 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁))
5554simprd 495 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁)
5649adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) ∈ ℕ)
5756nncnd 12282 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) ∈ ℂ)
5857mulridd 11278 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 1) = (𝑄𝑁))
59 eluz2gt1 12962 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐾)
6059adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝐾)
61 1red 11262 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
62 eluz2nn 12924 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
6362adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐾 ∈ ℕ)
6463nnred 12281 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6556nnred 12281 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) ∈ ℝ)
6656nngt0d 12315 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑄𝑁))
67 ltmul2 12118 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ ((𝑄𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄𝑁))) → (1 < 𝐾 ↔ ((𝑄𝑁) · 1) < ((𝑄𝑁) · 𝐾)))
6861, 64, 65, 66, 67syl112anc 1376 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (1 < 𝐾 ↔ ((𝑄𝑁) · 1) < ((𝑄𝑁) · 𝐾)))
6960, 68mpbid 232 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 1) < ((𝑄𝑁) · 𝐾))
7058, 69eqbrtrrd 5167 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) < ((𝑄𝑁) · 𝐾))
71 nnmulcl 12290 . . . . . . . 8 (((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℕ)
7249, 62, 71syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℕ)
7372nnred 12281 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℝ)
7465, 73ltnled 11408 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) < ((𝑄𝑁) · 𝐾) ↔ ¬ ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ (𝑄𝑁)))
7570, 74mpbid 232 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ (𝑄𝑁))
7645ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥)
77 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑟 = ((𝑄𝑁) · 𝐾) → (𝑟↑2) = (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2))
7877breq1d 5153 . . . . . . 7 (𝑟 = ((𝑄𝑁) · 𝐾) → ((𝑟↑2) ∥ 𝑁 ↔ (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2) ∥ 𝑁))
7972adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℕ)
80 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))
8163adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
8281nnsqcld 14283 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝐾↑2) ∈ ℕ)
83 nnz 12634 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾↑2) ∈ ℕ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
8549nnsqcld 14283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℕ)
869, 85sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ)
8785nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ≠ 0)
88 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ))
8986, 87, 17, 88syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ))
9055, 89mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
9190ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
9286ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ)
93 dvdscmul 16320 . . . . . . . . . 10 (((𝐾↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ) → ((𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) ∥ (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
9484, 91, 92, 93syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) ∥ (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
9580, 94mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) ∥ (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))))
9657adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝑄𝑁) ∈ ℂ)
9781nncnd 12282 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → 𝐾 ∈ ℂ)
9896, 97sqmuld 14198 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2) = (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)))
9998eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) = (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2))
100 nncn 12274 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
101100ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → 𝑁 ∈ ℂ)
10285ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℕ)
103102nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10487ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ≠ 0)
105101, 103, 104divcan2d 12045 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) = 𝑁)
10695, 99, 1053brtr3d 5174 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2) ∥ 𝑁)
10778, 79, 106elrabd 3694 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
108 suprzub 12981 . . . . . 6 (({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥 ∧ ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
10910, 76, 107, 108mp3an2i 1468 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
1108ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝑄𝑁) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
111109, 110breqtrrd 5171 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ (𝑄𝑁))
11275, 111mtand 816 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))
113112ex 412 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))))
11449, 55, 1133jca 1129 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  cexp 14102  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  prmreclem2  16955  prmreclem3  16956
  Copyright terms: Public domain W3C validator