Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem1 16230
 Description: Lemma for prmrec 16236. Properties of the "square part" function, which extracts the 𝑚 of the decomposition 𝑁 = 𝑟𝑚↑2, with 𝑚 maximal and 𝑟 squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1 𝑄 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmreclem1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
Distinct variable groups:   𝐾,𝑟   𝑛,𝑟,𝑁   𝑄,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4035 . . 3 {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
2 breq2 5046 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑛 ↔ (𝑟↑2) ∥ 𝑁))
32rabbidv 3459 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
43supeq1d 8888 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
5 prmreclem1.1 . . . . 5 𝑄 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
6 ltso 10699 . . . . . 6 < Or ℝ
76supex 8905 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ V
84, 5, 7fvmpt 6744 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄𝑁) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
9 nnssz 11981 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℤ
101, 9sstri 3955 . . . . 5 {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ
11 oveq1 7140 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 1 → (𝑟↑2) = (1↑2))
12 sq1 13543 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
1311, 12syl6eq 2871 . . . . . . . 8 (𝑟 = 1 → (𝑟↑2) = 1)
1413breq1d 5052 . . . . . . 7 (𝑟 = 1 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
15 1nn 11627 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
17 nnz 11983 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
18 1dvds 15604 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
2014, 16, 19elrabd 3662 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
2120ne0d 4277 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
22 nnz 11983 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
23 zsqcl 13479 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
26 dvdsle 15640 . . . . . . . . . 10 (((𝑧↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁 → (𝑧↑2) ≤ 𝑁))
2724, 25, 26syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁 → (𝑧↑2) ≤ 𝑁))
28 nnlesq 13553 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≤ (𝑧↑2))
2928adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ≤ (𝑧↑2))
30 nnre 11623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
3130adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3231resqcld 13596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
33 nnre 11623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3433adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
35 letr 10712 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑧↑2) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑁) → 𝑧𝑁))
3631, 32, 34, 35syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 ≤ (𝑧↑2) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑁) → 𝑧𝑁))
3729, 36mpand 693 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑁𝑧𝑁))
3827, 37syld 47 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁𝑧𝑁))
3938ralrimiva 3169 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑧↑2) ∥ 𝑁𝑧𝑁))
40 oveq1 7140 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (𝑟↑2) = (𝑧↑2))
4140breq1d 5052 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑁 ↔ (𝑧↑2) ∥ 𝑁))
4241ralrab 3665 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑧↑2) ∥ 𝑁𝑧𝑁))
4339, 42sylibr 236 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑁)
44 brralrspcev 5102 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥)
4517, 43, 44syl2anc 586 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥)
46 suprzcl2 12317 . . . . 5 (({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ ∧ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥) → sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
4710, 21, 45, 46mp3an2i 1462 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
488, 47eqeltrd 2911 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄𝑁) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
491, 48sseldi 3944 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄𝑁) ∈ ℕ)
50 oveq1 7140 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑄𝑁) → (𝑧↑2) = ((𝑄𝑁)↑2))
5150breq1d 5052 . . . . 5 (𝑧 = (𝑄𝑁) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁 ↔ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁))
5241cbvrabv 3470 . . . . 5 {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧↑2) ∥ 𝑁}
5351, 52elrab2 3663 . . . 4 ((𝑄𝑁) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ↔ ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁))
5448, 53sylib 220 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁))
5554simprd 498 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁)
5649adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) ∈ ℕ)
5756nncnd 11632 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) ∈ ℂ)
5857mulid1d 10636 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 1) = (𝑄𝑁))
59 eluz2gt1 12299 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐾)
6059adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝐾)
61 1red 10620 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
62 eluz2nn 12263 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
6362adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐾 ∈ ℕ)
6463nnred 11631 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐾 ∈ ℝ)
6556nnred 11631 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) ∈ ℝ)
6656nngt0d 11665 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑄𝑁))
67 ltmul2 11469 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ ((𝑄𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄𝑁))) → (1 < 𝐾 ↔ ((𝑄𝑁) · 1) < ((𝑄𝑁) · 𝐾)))
6861, 64, 65, 66, 67syl112anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (1 < 𝐾 ↔ ((𝑄𝑁) · 1) < ((𝑄𝑁) · 𝐾)))
6960, 68mpbid 234 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 1) < ((𝑄𝑁) · 𝐾))
7058, 69eqbrtrrd 5066 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) < ((𝑄𝑁) · 𝐾))
71 nnmulcl 11640 . . . . . . . 8 (((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℕ)
7249, 62, 71syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℕ)
7372nnred 11631 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℝ)
7465, 73ltnled 10765 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) < ((𝑄𝑁) · 𝐾) ↔ ¬ ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ (𝑄𝑁)))
7570, 74mpbid 234 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ (𝑄𝑁))
7645ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥)
77 oveq1 7140 . . . . . . . 8 (𝑟 = ((𝑄𝑁) · 𝐾) → (𝑟↑2) = (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2))
7877breq1d 5052 . . . . . . 7 (𝑟 = ((𝑄𝑁) · 𝐾) → ((𝑟↑2) ∥ 𝑁 ↔ (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2) ∥ 𝑁))
7972adantr 483 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℕ)
80 simpr 487 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))
8163adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
8281nnsqcld 13590 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝐾↑2) ∈ ℕ)
83 nnz 11983 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾↑2) ∈ ℕ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
8549nnsqcld 13590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℕ)
869, 85sseldi 3944 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ)
8785nnne0d 11666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ≠ 0)
88 dvdsval2 15590 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ))
8986, 87, 17, 88syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ))
9055, 89mpbid 234 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
9190ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
9286ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ)
93 dvdscmul 15616 . . . . . . . . . 10 (((𝐾↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ) → ((𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) ∥ (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
9484, 91, 92, 93syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) ∥ (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
9580, 94mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) ∥ (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))))
9657adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝑄𝑁) ∈ ℂ)
9781nncnd 11632 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → 𝐾 ∈ ℂ)
9896, 97sqmuld 13507 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2) = (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)))
9998eqcomd 2826 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) = (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2))
100 nncn 11624 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
101100ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → 𝑁 ∈ ℂ)
10285ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℕ)
103102nncnd 11632 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10487ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ≠ 0)
105101, 103, 104divcan2d 11396 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) = 𝑁)
10695, 99, 1053brtr3d 5073 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2) ∥ 𝑁)
10778, 79, 106elrabd 3662 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
108 suprzub 12318 . . . . . 6 (({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥 ∧ ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
10910, 76, 107, 108mp3an2i 1462 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
1108ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝑄𝑁) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
111109, 110breqtrrd 5070 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ (𝑄𝑁))
11275, 111mtand 814 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))
113112ex 415 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))))
11449, 55, 1133jca 1124 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ∀wral 3125  ∃wrex 3126  {crab 3129   ⊆ wss 3913  ∅c0 4269   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  supcsup 8882  ℂcc 10513  ℝcr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   · cmul 10520   < clt 10653   ≤ cle 10654   / cdiv 11275  ℕcn 11616  2c2 11671  ℤcz 11960  ℤ≥cuz 12222  ↑cexp 13414   ∥ cdvds 15587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-seq 13354  df-exp 13415  df-dvds 15588 This theorem is referenced by:  prmreclem2  16231  prmreclem3  16232
 Copyright terms: Public domain W3C validator