MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem1 16795
Description: Lemma for prmrec 16801. Properties of the "square part" function, which extracts the ๐‘š of the decomposition ๐‘ = ๐‘Ÿ๐‘šโ†‘2, with ๐‘š maximal and ๐‘Ÿ squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1 ๐‘„ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘›}, โ„, < ))
Assertion
Ref Expression
prmreclem1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘ โˆง (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ยฌ (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))))
Distinct variable groups:   ๐พ,๐‘Ÿ   ๐‘›,๐‘Ÿ,๐‘   ๐‘„,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐‘„(๐‘›)   ๐พ(๐‘›)

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4042 . . 3 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„•
2 breq2 5114 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘› โ†” (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘))
32rabbidv 3418 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘›} = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
43supeq1d 9389 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘›}, โ„, < ) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ))
5 prmreclem1.1 . . . . 5 ๐‘„ = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘›}, โ„, < ))
6 ltso 11242 . . . . . 6 < Or โ„
76supex 9406 . . . . 5 sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ) โˆˆ V
84, 5, 7fvmpt 6953 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ))
9 nnssz 12528 . . . . . 6 โ„• โŠ† โ„ค
101, 9sstri 3958 . . . . 5 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„ค
11 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = 1 โ†’ (๐‘Ÿโ†‘2) = (1โ†‘2))
12 sq1 14106 . . . . . . . . 9 (1โ†‘2) = 1
1311, 12eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = 1 โ†’ (๐‘Ÿโ†‘2) = 1)
1413breq1d 5120 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = 1 โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” 1 โˆฅ ๐‘))
15 1nn 12171 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„•
1615a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
17 nnz 12527 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
18 1dvds 16160 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆฅ ๐‘)
2014, 16, 19elrabd 3652 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
2120ne0d 4300 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โ‰  โˆ…)
22 nnz 12527 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
23 zsqcl 14041 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
25 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
26 dvdsle 16199 . . . . . . . . . 10 (((๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
2724, 25, 26syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘))
28 nnlesq 14116 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โ‰ค (๐‘งโ†‘2))
2928adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โ‰ค (๐‘งโ†‘2))
30 nnre 12167 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
3130adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
3231resqcld 14037 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„)
33 nnre 12167 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3433adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
35 letr 11256 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (๐‘งโ†‘2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ง โ‰ค (๐‘งโ†‘2) โˆง (๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
3631, 32, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ง โ‰ค (๐‘งโ†‘2) โˆง (๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
3729, 36mpand 694 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โ‰ค ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
3827, 37syld 47 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
3938ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
40 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ (๐‘Ÿโ†‘2) = (๐‘งโ†‘2))
4140breq1d 5120 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘))
4241ralrab 3656 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐‘))
4339, 42sylibr 233 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘)
44 brralrspcev 5170 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ)
4517, 43, 44syl2anc 585 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ)
46 suprzcl2 12870 . . . . 5 (({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„ค โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
4710, 21, 45, 46mp3an2i 1467 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
488, 47eqeltrd 2838 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
491, 48sselid 3947 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
50 oveq1 7369 . . . . . 6 (๐‘ง = (๐‘„โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘งโ†‘2) = ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))
5150breq1d 5120 . . . . 5 (๐‘ง = (๐‘„โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘))
5241cbvrabv 3420 . . . . 5 {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘งโ†‘2) โˆฅ ๐‘}
5351, 52elrab2 3653 . . . 4 ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โ†” ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘))
5448, 53sylib 217 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘))
5554simprd 497 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘)
5649adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
5756nncnd 12176 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
5857mulid1d 11179 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท 1) = (๐‘„โ€˜๐‘))
59 eluz2gt1 12852 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐พ)
6059adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 < ๐พ)
61 1red 11163 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
62 eluz2nn 12816 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
6362adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
6463nnred 12175 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
6556nnred 12175 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
6656nngt0d 12209 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ 0 < (๐‘„โ€˜๐‘))
67 ltmul2 12013 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘„โ€˜๐‘))) โ†’ (1 < ๐พ โ†” ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท 1) < ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)))
6861, 64, 65, 66, 67syl112anc 1375 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (1 < ๐พ โ†” ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท 1) < ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)))
6960, 68mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท 1) < ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ))
7058, 69eqbrtrrd 5134 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) < ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ))
71 nnmulcl 12184 . . . . . . . 8 (((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ โ„•)
7249, 62, 71syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ โ„•)
7372nnred 12175 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ โ„)
7465, 73ltnled 11309 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) < ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ†” ยฌ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ‰ค (๐‘„โ€˜๐‘)))
7570, 74mpbid 231 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ‰ค (๐‘„โ€˜๐‘))
7645ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ)
77 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ†’ (๐‘Ÿโ†‘2) = (((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)โ†‘2))
7877breq1d 5120 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ†’ ((๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” (((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)โ†‘2) โˆฅ ๐‘))
7972adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ โ„•)
80 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))
8163adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
8281nnsqcld 14154 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„•)
83 nnz 12527 . . . . . . . . . . 11 ((๐พโ†‘2) โˆˆ โ„• โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8549nnsqcld 14154 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•)
869, 85sselid 3947 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
8785nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โ‰  0)
88 dvdsval2 16146 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค))
8986, 87, 17, 88syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค))
9055, 89mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
9286ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
93 dvdscmul 16172 . . . . . . . . . 10 (((๐พโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐พโ†‘2)) โˆฅ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))))
9484, 91, 92, 93syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐พโ†‘2)) โˆฅ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))))
9580, 94mpd 15 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐พโ†‘2)) โˆฅ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))))
9657adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
9781nncnd 12176 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
9896, 97sqmuld 14070 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)โ†‘2) = (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐พโ†‘2)))
9998eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐พโ†‘2)) = (((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)โ†‘2))
100 nncn 12168 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
10285ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„•)
103102nncnd 12176 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
10487ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โ‰  0)
105101, 103, 104divcan2d 11940 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) ยท (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) = ๐‘)
10695, 99, 1053brtr3d 5141 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ)โ†‘2) โˆฅ ๐‘)
10778, 79, 106elrabd 3652 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘})
108 suprzub 12871 . . . . . 6 (({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘} โŠ† โ„ค โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ง โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}๐‘ง โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ‰ค sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ))
10910, 76, 107, 108mp3an2i 1467 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ‰ค sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ))
1108ad2antrr 725 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘) = sup({๐‘Ÿ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘Ÿโ†‘2) โˆฅ ๐‘}, โ„, < ))
111109, 110breqtrrd 5138 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โˆง (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))) โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) ยท ๐พ) โ‰ค (๐‘„โ€˜๐‘))
11275, 111mtand 815 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ยฌ (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))
113112ex 414 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ยฌ (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2))))
11449, 55, 1133jca 1129 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘„โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2) โˆฅ ๐‘ โˆง (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ยฌ (๐พโ†‘2) โˆฅ (๐‘ / ((๐‘„โ€˜๐‘)โ†‘2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074  {crab 3410   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  prmreclem2  16796  prmreclem3  16797
  Copyright terms: Public domain W3C validator