MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem radcnvlt1 25930
Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges absolutely at 𝑋, and also converges when the series is multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
radcnv.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvlt.a (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
radcnvlt1.h 𝐻 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
Assertion
Ref Expression
radcnvlt1 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝐴   π‘š,𝐻   πœ‘,π‘š   π‘š,𝑋   π‘š,π‘Ÿ,𝐺
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑋(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem radcnvlt1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnvlt.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
2 ressxr 11258 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
3 radcnvlt.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
43abscld 15383 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
52, 4sselid 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
6 iccssxr 13407 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
7 pser.g . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
8 radcnv.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
9 radcnv.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
107, 8, 9radcnvcl 25929 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
116, 10sselid 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
12 xrltnle 11281 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
135, 11, 12syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
141, 13mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹))
159breq1i 5156 . . . . . 6 (𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≀ (absβ€˜π‘‹))
16 ssrab2 4078 . . . . . . . 8 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ
1716, 2sstri 3992 . . . . . . 7 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ*
18 supxrleub 13305 . . . . . . 7 (({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ* ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*) β†’ (sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
1917, 5, 18sylancr 588 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
2015, 19bitrid 283 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
21 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (πΊβ€˜π‘Ÿ) = (πΊβ€˜π‘ ))
2221seqeq3d 13974 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )))
2322eleq1d 2819 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ))
2423ralrab 3690 . . . . 5 (βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
2520, 24bitrdi 287 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹))))
2614, 25mtbid 324 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
27 rexanali 3103 . . 3 (βˆƒπ‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)) ↔ Β¬ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
2826, 27sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
29 ltnle 11293 . . . . . . 7 (((absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
304, 29sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
3130adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
328ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
333ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
34 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
3534recnd 11242 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
36 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)
37 0red 11217 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3833abscld 15383 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
3933absge0d 15391 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘‹))
4037, 38, 34, 39, 36lelttrd 11372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 < 𝑠)
4137, 34, 40ltled 11362 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 ≀ 𝑠)
4234, 41absidd 15369 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘ ) = 𝑠)
4336, 42breqtrrd 5177 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘ ))
44 simprl 770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ )
45 radcnvlt1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
467, 32, 33, 35, 43, 44, 45radcnvlem1 25925 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
477, 32, 33, 35, 43, 44radcnvlem2 25926 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
4846, 47jca 513 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ ))
4948expr 458 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5031, 49sylbird 260 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5150expimpd 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5251rexlimdva 3156 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5328, 52mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•0cn0 12472  [,]cicc 13327  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  abscabs 15181   ⇝ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  radcnvlt2  25931  dvradcnv  25933  pserulm  25934
  Copyright terms: Public domain W3C validator