MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem radcnvlt1 26167
Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges absolutely at 𝑋, and also converges when the series is multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
radcnv.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvlt.a (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
radcnvlt1.h 𝐻 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
Assertion
Ref Expression
radcnvlt1 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝐴   π‘š,𝐻   πœ‘,π‘š   π‘š,𝑋   π‘š,π‘Ÿ,𝐺
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑋(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem radcnvlt1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnvlt.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
2 ressxr 11263 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
3 radcnvlt.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
43abscld 15388 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
52, 4sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
6 iccssxr 13412 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
7 pser.g . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
8 radcnv.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
9 radcnv.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
107, 8, 9radcnvcl 26166 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
116, 10sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
12 xrltnle 11286 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
135, 11, 12syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
141, 13mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹))
159breq1i 5155 . . . . . 6 (𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≀ (absβ€˜π‘‹))
16 ssrab2 4077 . . . . . . . 8 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ
1716, 2sstri 3991 . . . . . . 7 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ*
18 supxrleub 13310 . . . . . . 7 (({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ* ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*) β†’ (sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
1917, 5, 18sylancr 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
2015, 19bitrid 283 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
21 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (πΊβ€˜π‘Ÿ) = (πΊβ€˜π‘ ))
2221seqeq3d 13979 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )))
2322eleq1d 2817 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ))
2423ralrab 3689 . . . . 5 (βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
2520, 24bitrdi 287 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹))))
2614, 25mtbid 324 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
27 rexanali 3101 . . 3 (βˆƒπ‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)) ↔ Β¬ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
2826, 27sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
29 ltnle 11298 . . . . . . 7 (((absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
304, 29sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
3130adantr 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
328ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
333ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
34 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
3534recnd 11247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
36 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)
37 0red 11222 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3833abscld 15388 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
3933absge0d 15396 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘‹))
4037, 38, 34, 39, 36lelttrd 11377 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 < 𝑠)
4137, 34, 40ltled 11367 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 ≀ 𝑠)
4234, 41absidd 15374 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘ ) = 𝑠)
4336, 42breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘ ))
44 simprl 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ )
45 radcnvlt1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
467, 32, 33, 35, 43, 44, 45radcnvlem1 26162 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
477, 32, 33, 35, 43, 44radcnvlem2 26163 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
4846, 47jca 511 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ ))
4948expr 456 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5031, 49sylbird 260 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5150expimpd 453 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5251rexlimdva 3154 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5328, 52mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  supcsup 9439  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   Β· cmul 11119  +∞cpnf 11250  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•0cn0 12477  [,]cicc 13332  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  abscabs 15186   ⇝ cli 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638
This theorem is referenced by:  radcnvlt2  26168  dvradcnv  26170  pserulm  26171
  Copyright terms: Public domain W3C validator