MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem radcnvlt1 25777
Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges absolutely at 𝑋, and also converges when the series is multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
radcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlt.a (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
radcnvlt1.h 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))
Assertion
Ref Expression
radcnvlt1 (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐴   𝑚,𝐻   𝜑,𝑚   𝑚,𝑋   𝑚,𝑟,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvlt1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnvlt.a . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
2 ressxr 11199 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
3 radcnvlt.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
43abscld 15321 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
52, 4sselid 3942 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
6 iccssxr 13347 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7 pser.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
8 radcnv.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9 radcnv.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
107, 8, 9radcnvcl 25776 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
116, 10sselid 3942 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
12 xrltnle 11222 . . . . . 6 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑋) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
135, 11, 12syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
141, 13mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
159breq1i 5112 . . . . . 6 (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋))
16 ssrab2 4037 . . . . . . . 8 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
1716, 2sstri 3953 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
18 supxrleub 13245 . . . . . . 7 (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ*) → (sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
1917, 5, 18sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
2015, 19bitrid 282 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
21 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑠 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑠))
2221seqeq3d 13914 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑠)))
2322eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
2423ralrab 3651 . . . . 5 (∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
2520, 24bitrdi 286 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋))))
2614, 25mtbid 323 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
27 rexanali 3105 . . 3 (∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
2826, 27sylibr 233 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
29 ltnle 11234 . . . . . . 7 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
304, 29sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
3130adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
328ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
333ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑋 ∈ ℂ)
34 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
3534recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℂ)
36 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) < 𝑠)
37 0red 11158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ∈ ℝ)
3833abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
3933absge0d 15329 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
4037, 38, 34, 39, 36lelttrd 11313 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 < 𝑠)
4137, 34, 40ltled 11303 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ≤ 𝑠)
4234, 41absidd 15307 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑠) = 𝑠)
4336, 42breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑠))
44 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ )
45 radcnvlt1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑚))))
467, 32, 33, 35, 43, 44, 45radcnvlem1 25772 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
477, 32, 33, 35, 43, 44radcnvlem2 25773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )
4846, 47jca 512 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
4948expr 457 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5031, 49sylbird 259 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → (¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5150expimpd 454 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5251rexlimdva 3152 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
5328, 52mpd 15 1 (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  0cn0 12413  [,]cicc 13267  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  radcnvlt2  25778  dvradcnv  25780  pserulm  25781
  Copyright terms: Public domain W3C validator