Theorem radcnvlt1 26333

Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges absolutely at 𝑋, and also converges when the series is multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlt.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
radcnvlt1.h	⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))

Assertion

Ref	Expression
radcnvlt1	⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐴   𝑚,𝐻   𝜑,𝑚   𝑚,𝑋   𝑚,𝑟,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvlt1

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		radcnvlt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
2		ressxr 11224	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3		radcnvlt.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
4	3	abscld 15411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
5	2, 4	sselid 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
6		iccssxr 13397	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7		pser.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
8		radcnv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9		radcnv.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
10	7, 8, 9	radcnvcl 26332	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
11	6, 10	sselid 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
12		xrltnle 11247	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑋) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
13	5, 11, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
14	1, 13	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
15	9	breq1i 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋))
16		ssrab2 4045	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
17	16, 2	sstri 3958	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
18		supxrleub 13292	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ*) → (sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
19	17, 5, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
20	15, 19	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
21		fveq2 6860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑠))
22	21	seqeq3d 13980	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘𝑠)))
23	22	eleq1d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
24	23	ralrab 3667	. . . . 5 ⊢ (∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
25	20, 24	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋))))
26	14, 25	mtbid 324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
27		rexanali 3085	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
28	26, 27	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
29		ltnle 11259	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
30	4, 29	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
32	8	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
33	3	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑋 ∈ ℂ)
34		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
35	34	recnd 11208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℂ)
36		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) < 𝑠)
37		0red 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ∈ ℝ)
38	33	abscld 15411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
39	33	absge0d 15419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
40	37, 38, 34, 39, 36	lelttrd 11338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 < 𝑠)
41	37, 34, 40	ltled 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ≤ 𝑠)
42	34, 41	absidd 15395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑠) = 𝑠)
43	36, 42	breqtrrd 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑠))
44		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ )
45		radcnvlt1.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
46	7, 32, 33, 35, 43, 44, 45	radcnvlem1 26328	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
47	7, 32, 33, 35, 43, 44	radcnvlem2 26329	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )
48	46, 47	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
49	48	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
50	31, 49	sylbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → (¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
51	50	expimpd 453	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
52	51	rexlimdva 3135	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
53	28, 52	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ⊆ wss 3916   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5640   ∘ ccom 5644  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  supcsup 9397  ℂcc 11072  ℝcr 11073  0cc0 11074   + caddc 11077   · cmul 11079  +∞cpnf 11211  ℝ^*cxr 11213   < clt 11214   ≤ cle 11215  ℕ₀cn0 12448  [,]cicc 13315  seqcseq 13972  ↑cexp 14032  abscabs 15206   ⇝ cli 15456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-ico 13318  df-icc 13319  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14302  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-limsup 15443  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659

This theorem is referenced by:  radcnvlt2  26334  dvradcnv  26336  pserulm  26337