MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem radcnvlt1 26166
Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges absolutely at 𝑋, and also converges when the series is multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
radcnv.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
radcnv.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
radcnvlt.a (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
radcnvlt1.h 𝐻 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
Assertion
Ref Expression
radcnvlt1 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ ))
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,π‘₯,𝐴   π‘š,𝐻   πœ‘,π‘š   π‘š,𝑋   π‘š,π‘Ÿ,𝐺
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,π‘š,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝑋(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem radcnvlt1
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 radcnvlt.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
2 ressxr 11262 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
3 radcnvlt.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
43abscld 15387 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
52, 4sselid 3979 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*)
6 iccssxr 13411 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
7 pser.g . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
8 radcnv.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
9 radcnv.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
107, 8, 9radcnvcl 26165 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
116, 10sselid 3979 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
12 xrltnle 11285 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
135, 11, 12syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
141, 13mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹))
159breq1i 5154 . . . . . 6 (𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≀ (absβ€˜π‘‹))
16 ssrab2 4076 . . . . . . . 8 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ
1716, 2sstri 3990 . . . . . . 7 {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ*
18 supxrleub 13309 . . . . . . 7 (({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ } βŠ† ℝ* ∧ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ*) β†’ (sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
1917, 5, 18sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
2015, 19bitrid 282 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
21 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (πΊβ€˜π‘Ÿ) = (πΊβ€˜π‘ ))
2221seqeq3d 13978 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) = seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )))
2322eleq1d 2816 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑠 β†’ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ))
2423ralrab 3688 . . . . 5 (βˆ€π‘  ∈ {π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
2520, 24bitrdi 286 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 ≀ (absβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹))))
2614, 25mtbid 323 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
27 rexanali 3100 . . 3 (βˆƒπ‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)) ↔ Β¬ βˆ€π‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ β†’ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
2826, 27sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
29 ltnle 11297 . . . . . . 7 (((absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
304, 29sylan 578 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
3130adantr 479 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)))
328ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
333ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
34 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
3534recnd 11246 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
36 simprr 769 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)
37 0red 11221 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 ∈ ℝ)
3833abscld 15387 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
3933absge0d 15395 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘‹))
4037, 38, 34, 39, 36lelttrd 11376 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 < 𝑠)
4137, 34, 40ltled 11366 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ 0 ≀ 𝑠)
4234, 41absidd 15373 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘ ) = 𝑠)
4336, 42breqtrrd 5175 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (absβ€˜π‘‹) < (absβ€˜π‘ ))
44 simprl 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ )
45 radcnvlt1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π‘š Β· (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‹)β€˜π‘š))))
467, 32, 33, 35, 43, 44, 45radcnvlem1 26161 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
477, 32, 33, 35, 43, 44radcnvlem2 26162 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )
4846, 47jca 510 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ (absβ€˜π‘‹) < 𝑠)) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ ))
4948expr 455 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ) β†’ ((absβ€˜π‘‹) < 𝑠 β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5031, 49sylbird 259 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ) β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5150expimpd 452 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5251rexlimdva 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ ℝ (seq0( + , (πΊβ€˜π‘ )) ∈ dom ⇝ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (absβ€˜π‘‹)) β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ )))
5328, 52mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (πΊβ€˜π‘‹))) ∈ dom ⇝ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  [,]cicc 13331  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031  abscabs 15185   ⇝ cli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  radcnvlt2  26167  dvradcnv  26169  pserulm  26170
  Copyright terms: Public domain W3C validator