Theorem radcnvlt1 25310

Description: If 𝑋 is within the open disk of radius 𝑅 centered at zero, then the infinite series converges absolutely at 𝑋, and also converges when the series is multiplied by 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
radcnv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
radcnv.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
radcnvlt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
radcnvlt.a	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
radcnvlt1.h	⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))

Assertion

Ref	Expression
radcnvlt1	⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ ))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐴   𝑚,𝐻   𝜑,𝑚   𝑚,𝑋   𝑚,𝑟,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑚,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)   𝑋(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem radcnvlt1

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		radcnvlt.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
2		ressxr 10877	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
3		radcnvlt.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
4	3	abscld 15000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
5	2, 4	sseldi 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ*)
6		iccssxr 13018	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
7		pser.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
8		radcnv.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9		radcnv.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
10	7, 8, 9	radcnvcl 25309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (0[,]+∞))
11	6, 10	sseldi 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
12		xrltnle 10900	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑋) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
13	5, 11, 12	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑋) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋)))
14	1, 13	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ≤ (abs‘𝑋))
15	9	breq1i 5060	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋))
16		ssrab2 3993	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ
17	16, 2	sstri 3910	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ*
18		supxrleub 12916	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ℝ* ∧ (abs‘𝑋) ∈ ℝ*) → (sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
19	17, 5, 18	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
20	15, 19	syl5bb 286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
21		fveq2 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝐺‘𝑟) = (𝐺‘𝑠))
22	21	seqeq3d 13582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺‘𝑟)) = seq0( + , (𝐺‘𝑠)))
23	22	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
24	23	ralrab 3607	. . . . 5 ⊢ (∀𝑠 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }𝑠 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
25	20, 24	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ≤ (abs‘𝑋) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋))))
26	14, 25	mtbid 327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
27		rexanali 3184	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) ↔ ¬ ∀𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ → 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
28	26, 27	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
29		ltnle 10912	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
30	4, 29	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
31	30	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 ↔ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)))
32	8	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
33	3	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑋 ∈ ℂ)
34		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℝ)
35	34	recnd 10861	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 𝑠 ∈ ℂ)
36		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) < 𝑠)
37		0red 10836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ∈ ℝ)
38	33	abscld 15000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
39	33	absge0d 15008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ≤ (abs‘𝑋))
40	37, 38, 34, 39, 36	lelttrd 10990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 < 𝑠)
41	37, 34, 40	ltled 10980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → 0 ≤ 𝑠)
42	34, 41	absidd 14986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑠) = 𝑠)
43	36, 42	breqtrrd 5081	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (abs‘𝑋) < (abs‘𝑠))
44		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ )
45		radcnvlt1.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑚 · (abs‘((𝐺‘𝑋)‘𝑚))))
46	7, 32, 33, 35, 43, 44, 45	radcnvlem1 25305	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
47	7, 32, 33, 35, 43, 44	radcnvlem2 25306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )
48	46, 47	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ (abs‘𝑋) < 𝑠)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
49	48	expr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → ((abs‘𝑋) < 𝑠 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
50	31, 49	sylbird 263	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ) → (¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
51	50	expimpd 457	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
52	51	rexlimdva 3203	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ (seq0( + , (𝐺‘𝑠)) ∈ dom ⇝ ∧ ¬ 𝑠 ≤ (abs‘𝑋)) → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ )))
53	28, 52	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺‘𝑋))) ∈ dom ⇝ ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  dom cdm 5551   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  supcsup 9056  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729   + caddc 10732   · cmul 10734  +∞cpnf 10864  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  ℕ₀cn0 12090  [,]cicc 12938  seqcseq 13574  ↑cexp 13635  abscabs 14797   ⇝ cli 15045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250

This theorem is referenced by:  radcnvlt2  25311  dvradcnv  25313  pserulm  25314