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Theorem symgtgp 23480
Description: The symmetric group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Mar-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
symgtgp.g 𝐺 = (SymGrpβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
symgtgp (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem symgtgp
Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑒 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtgp.g . . 3 𝐺 = (SymGrpβ€˜π΄)
21symggrp 19190 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3 eqid 2733 . . . 4 (EndoFMndβ€˜π΄) = (EndoFMndβ€˜π΄)
43efmndtmd 23475 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (EndoFMndβ€˜π΄) ∈ TopMnd)
5 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
63, 1, 5symgsubmefmnd 19188 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜πΊ) ∈ (SubMndβ€˜(EndoFMndβ€˜π΄)))
71, 5, 3symgressbas 19171 . . . 4 𝐺 = ((EndoFMndβ€˜π΄) β†Ύs (Baseβ€˜πΊ))
87submtmd 23478 . . 3 (((EndoFMndβ€˜π΄) ∈ TopMnd ∧ (Baseβ€˜πΊ) ∈ (SubMndβ€˜(EndoFMndβ€˜π΄))) β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
94, 6, 8syl2anc 585 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
10 eqid 2733 . . . . . 6 (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))
111, 5symgtopn 19196 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)) = (TopOpenβ€˜πΊ))
12 distopon 22370 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄))
1310pttoponconst 22971 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄)) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)))
1412, 13mpdan 686 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)))
151, 5elsymgbas 19163 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ π‘₯:𝐴–1-1-onto→𝐴))
16 f1of 6788 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯:𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ π‘₯:𝐴⟢𝐴)
17 elmapg 8784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↔ π‘₯:𝐴⟢𝐴))
1817anidms 568 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↔ π‘₯:𝐴⟢𝐴))
1916, 18syl5ibr 246 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯:𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴)))
2015, 19sylbid 239 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐴)))
2120ssrdv 3954 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜πΊ) βŠ† (𝐴 ↑m 𝐴))
22 resttopon 22535 . . . . . . . 8 (((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)) ∧ (Baseβ€˜πΊ) βŠ† (𝐴 ↑m 𝐴)) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
2314, 21, 22syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
2411, 23eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
25 id 22 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
26 distop 22368 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Top)
27 fconst6g 6735 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Top β†’ (𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}):𝐴⟢Top)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}):𝐴⟢Top)
2915biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯:𝐴–1-1-onto→𝐴)
30 f1ocnv 6800 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯:𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ β—‘π‘₯:𝐴–1-1-onto→𝐴)
31 f1of 6788 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘π‘₯:𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ β—‘π‘₯:𝐴⟢𝐴)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ β—‘π‘₯:𝐴⟢𝐴)
3332ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
3433an32s 651 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
3534fmpttd 7067 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)):(Baseβ€˜πΊ)⟢𝐴)
3635adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)):(Baseβ€˜πΊ)⟢𝐴)
37 cnveq 5833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑓 β†’ β—‘π‘₯ = ◑𝑓)
3837fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑓 β†’ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) = (β—‘π‘“β€˜π‘¦))
39 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))
40 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ V
4138, 39, 40fvmpt 6952 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))β€˜π‘“) = (β—‘π‘“β€˜π‘¦))
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))β€˜π‘“) = (β—‘π‘“β€˜π‘¦))
4342eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))β€˜π‘“) ∈ 𝑑 ↔ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑))
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) = (𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)))
4544mptiniseg 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ V β†’ (β—‘(𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) β€œ {𝑦}) = {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦})
4645elv 3453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β—‘(𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) β€œ {𝑦}) = {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦}
47 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)) = ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ))
4814ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)))
4921ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (Baseβ€˜πΊ) βŠ† (𝐴 ↑m 𝐴))
50 toponuni 22286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴 ↑m 𝐴)) β†’ (𝐴 ↑m 𝐴) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})))
51 mpteq1 5202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ↑m 𝐴) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†’ (𝑒 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) = (𝑒 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))))
5248, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑒 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) = (𝑒 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))))
53 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
5428ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}):𝐴⟢Top)
551, 5elsymgbas 19163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
5655adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
5756biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴)
58 f1ocnv 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ ◑𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴)
59 f1of 6788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (◑𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 β†’ ◑𝑓:𝐴⟢𝐴)
6057, 58, 593syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ◑𝑓:𝐴⟢𝐴)
61 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
6260, 61ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))
6463, 10ptpjcn 22985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}):𝐴⟢Top ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝐴) β†’ (𝑒 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) Cn ((𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))))
6553, 54, 62, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑒 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) Cn ((𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))))
6626ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Top)
67 fvconst2g 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝒫 𝐴)
6866, 62, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝒫 𝐴)
6968oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) Cn ((𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) = ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) Cn 𝒫 𝐴))
7065, 69eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑒 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) Cn 𝒫 𝐴))
7152, 70eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑒 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) Cn 𝒫 𝐴))
7247, 48, 49, 71cnmpt1res 23050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) ∈ (((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)) Cn 𝒫 𝐴))
7311oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)) Cn 𝒫 𝐴) = ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn 𝒫 𝐴))
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)) Cn 𝒫 𝐴) = ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn 𝒫 𝐴))
7572, 74eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn 𝒫 𝐴))
76 snelpwi 5404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
78 cnima 22639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn 𝒫 𝐴) ∧ {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (β—‘(𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) β€œ {𝑦}) ∈ (TopOpenβ€˜πΊ))
7975, 77, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘(𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦))) β€œ {𝑦}) ∈ (TopOpenβ€˜πΊ))
8046, 79eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} ∈ (TopOpenβ€˜πΊ))
8180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} ∈ (TopOpenβ€˜πΊ))
82 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝑓 β†’ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)))
8382eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑓 β†’ ((π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦 ↔ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦))
84 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
8557adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴)
86 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
87 f1ocnvfv2 7227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦)
8885, 86, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ (π‘“β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦)
8983, 84, 88elrabd 3651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ 𝑓 ∈ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦})
90 ssrab2 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜πΊ)
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9215ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↔ π‘₯:𝐴–1-1-onto→𝐴))
9392biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ π‘₯:𝐴–1-1-onto→𝐴)
9462ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝐴)
95 f1ocnvfv 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯:𝐴–1-1-onto→𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦 β†’ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) = (β—‘π‘“β€˜π‘¦)))
9693, 94, 95syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦 β†’ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) = (β—‘π‘“β€˜π‘¦)))
97 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)
98 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β—‘π‘₯β€˜π‘¦) = (β—‘π‘“β€˜π‘¦) β†’ ((β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑 ↔ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑))
9997, 98syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((β—‘π‘₯β€˜π‘¦) = (β—‘π‘“β€˜π‘¦) β†’ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑))
10096, 99syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦 β†’ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑))
101100ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((π‘₯β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦 β†’ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑))
102 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = π‘₯ β†’ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = (π‘₯β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)))
103102eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = π‘₯ β†’ ((π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦 ↔ (π‘₯β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦))
104103ralrab 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((π‘₯β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦 β†’ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑))
105101, 104sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)
106 ssrab 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} βŠ† {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑} ↔ ({𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑))
10791, 105, 106sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} βŠ† {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑})
10839mptpreima 6194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑑) = {π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ 𝑑}
109107, 108sseqtrrdi 3999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑑))
110 funmpt 6543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fun (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))
111 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β—‘π‘₯β€˜π‘¦) ∈ V
112111, 39dmmpti 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜πΊ)
11391, 112sseqtrrdi 3999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} βŠ† dom (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)))
114 funimass3 7008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∧ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} βŠ† dom (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦}) βŠ† 𝑑 ↔ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑑)))
115110, 113, 114sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦}) βŠ† 𝑑 ↔ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} βŠ† (β—‘(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑑)))
116109, 115mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦}) βŠ† 𝑑)
117 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} β†’ (𝑓 ∈ 𝑣 ↔ 𝑓 ∈ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦}))
118 imaeq2 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑣) = ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦}))
119118sseq1d 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑑 ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦}) βŠ† 𝑑))
120117, 119anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} β†’ ((𝑓 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑑) ↔ (𝑓 ∈ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦}) βŠ† 𝑑)))
121120rspcev 3583 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} ∈ (TopOpenβ€˜πΊ) ∧ (𝑓 ∈ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦} ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ {𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ (π‘’β€˜(β—‘π‘“β€˜π‘¦)) = 𝑦}) βŠ† 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑑))
12281, 89, 116, 121syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑑))
123122expr 458 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐴) β†’ ((β—‘π‘“β€˜π‘¦) ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑑)))
12443, 123sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))β€˜π‘“) ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑑)))
125124ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐴(((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))β€˜π‘“) ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑑)))
12624ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
12712ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄))
128 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
129 iscnp 22611 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) CnP 𝒫 𝐴)β€˜π‘“) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)):(Baseβ€˜πΊ)⟢𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐴(((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))β€˜π‘“) ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑑)))))
130126, 127, 128, 129syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) CnP 𝒫 𝐴)β€˜π‘“) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)):(Baseβ€˜πΊ)⟢𝐴 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐴(((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))β€˜π‘“) ∈ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(𝑓 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑑)))))
13136, 125, 130mpbir2and 712 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) CnP 𝒫 𝐴)β€˜π‘“))
132131ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) CnP 𝒫 𝐴)β€˜π‘“))
133 cncnp 22654 . . . . . . . . . 10 (((TopOpenβ€˜πΊ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄)) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn 𝒫 𝐴) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)):(Baseβ€˜πΊ)⟢𝐴 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) CnP 𝒫 𝐴)β€˜π‘“))))
13424, 12, 133syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn 𝒫 𝐴) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)):(Baseβ€˜πΊ)⟢𝐴 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) CnP 𝒫 𝐴)β€˜π‘“))))
135134adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn 𝒫 𝐴) ↔ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)):(Baseβ€˜πΊ)⟢𝐴 ∧ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ (((TopOpenβ€˜πΊ) CnP 𝒫 𝐴)β€˜π‘“))))
13635, 132, 135mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn 𝒫 𝐴))
137 fvconst2g 7155 . . . . . . . . 9 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})β€˜π‘¦) = 𝒫 𝐴)
13826, 137sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})β€˜π‘¦) = 𝒫 𝐴)
139138oveq2d 7377 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn ((𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})β€˜π‘¦)) = ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn 𝒫 𝐴))
140136, 139eleqtrrd 2837 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn ((𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})β€˜π‘¦)))
14110, 24, 25, 28, 140ptcn 23001 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))))
142 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
1435, 142grpinvf 18805 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp β†’ (invgβ€˜πΊ):(Baseβ€˜πΊ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
1442, 143syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (invgβ€˜πΊ):(Baseβ€˜πΊ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
145144feqmptd 6914 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (invgβ€˜πΊ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
1461, 5, 142symginv 19192 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = β—‘π‘₯)
147146adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = β—‘π‘₯)
14832feqmptd 6914 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ β—‘π‘₯ = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)))
149147, 148eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦)))
150149mpteq2dva 5209 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))))
151145, 150eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (invgβ€˜πΊ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ (β—‘π‘₯β€˜π‘¦))))
152 xkopt 23029 . . . . . . 7 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})))
15326, 152mpancom 687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})))
154153oveq2d 7377 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) = ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))))
155141, 151, 1543eltr4d 2849 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)))
156 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) = (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)
157156xkotopon 22974 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝒫 𝐴 ∈ Top) β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)))
15826, 26, 157syl2anc 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)))
159 frn 6679 . . . . . 6 ((invgβ€˜πΊ):(Baseβ€˜πΊ)⟢(Baseβ€˜πΊ) β†’ ran (invgβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1602, 143, 1593syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ran (invgβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
161 cndis 22665 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ (TopOnβ€˜π΄)) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴))
16212, 161mpdan 686 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴))
16321, 162sseqtrrd 3989 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜πΊ) βŠ† (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴))
164 cnrest2 22660 . . . . 5 (((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜(𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)) ∧ ran (invgβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (Baseβ€˜πΊ) βŠ† (𝒫 𝐴 Cn 𝒫 𝐴)) β†’ ((invgβ€˜πΊ) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) ↔ (invgβ€˜πΊ) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)))))
165158, 160, 163, 164syl3anc 1372 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((invgβ€˜πΊ) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴)) ↔ (invgβ€˜πΊ) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)))))
166155, 165mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ))))
167153oveq1d 7376 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)) = ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)))
168167, 11eqtrd 2773 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ)) = (TopOpenβ€˜πΊ))
169168oveq2d 7377 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn ((𝒫 𝐴 ↑ko 𝒫 𝐴) β†Ύt (Baseβ€˜πΊ))) = ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)))
170166, 169eleqtrd 2836 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (TopOpenβ€˜πΊ)))
171 eqid 2733 . . 3 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
172171, 142istgp 23451 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopMnd ∧ (invgβ€˜πΊ) ∈ ((TopOpenβ€˜πΊ) Cn (TopOpenβ€˜πΊ))))
1732, 9, 170, 172syl3anbrc 1344 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Basecbs 17091   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  βˆtcpt 17328  SubMndcsubmnd 18608  EndoFMndcefmnd 18686  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  SymGrpcsymg 19156  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598   CnP ccnp 22599   ↑ko cxko 22935  TopMndctmd 23444  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-symg 19157  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-ntr 22394  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cmp 22761  df-lly 22840  df-nlly 22841  df-tx 22936  df-xko 22937  df-tmd 23446  df-tgp 23447
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