Theorem relexp0d 15072

Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexp0d.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
relexp0d.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
relexp0d	⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

Proof of Theorem relexp0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		relexp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
3		relexp0 15071	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∪ cuni 4875   I cid 5558   ↾ cres 5666  Rel wrel 5669  (class class class)co 7416  0cc0 11110  ↑_𝑟crelexp 15067

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-mulcl 11172  ax-i2m1 11178

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-br 5113  df-opab 5177  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-n0 12515  df-relexp 15068

This theorem is used by:  rtrclreclem2  15107  rtrclreclem4  15109