MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclreclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rtrclreclem4 15026
Description: The reflexive, transitive closure of 𝑅 is the smallest reflexive, transitive relation which contains 𝑅 and the identity. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
rtrclreclem.1 (πœ‘ β†’ Rel 𝑅)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ (t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠))
Distinct variable group:   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑠)

Proof of Theorem rtrclreclem4
Dummy variables 𝑛 𝑖 π‘š π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2728 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)))
2 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
32iuneq2d 5020 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
43adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ π‘Ÿ = 𝑅) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
5 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑅 ∈ V)
6 nn0ex 12494 . . . . . . . . 9 β„•0 ∈ V
7 ovex 7447 . . . . . . . . 9 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
86, 7iunex 7964 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
98a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V)
101, 4, 5, 9fvmptd 7006 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
11 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 0 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↔ 0 ∈ β„•0))
1211anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 0 β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) ↔ (0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))))))
13 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) = (π‘…β†‘π‘Ÿ0))
1413sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 0 β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) βŠ† 𝑠 ↔ (π‘…β†‘π‘Ÿ0) βŠ† 𝑠))
1512, 14imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 β†’ (((𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) βŠ† 𝑠) ↔ ((0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ0) βŠ† 𝑠)))
16 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = π‘š β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↔ π‘š ∈ β„•0))
1716anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = π‘š β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) ↔ (π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))))))
18 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = π‘š β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) = (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š))
1918sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = π‘š β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) βŠ† 𝑠 ↔ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠))
2017, 19imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = π‘š β†’ (((𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) βŠ† 𝑠) ↔ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠)))
21 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↔ (π‘š + 1) ∈ β„•0))
2221anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) ↔ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))))))
23 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) = (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)))
2423sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) βŠ† 𝑠 ↔ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠))
2522, 24imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (((𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) βŠ† 𝑠) ↔ (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠)))
26 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑛 β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↔ 𝑛 ∈ β„•0))
2726anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑛 β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) ↔ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))))))
28 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑛 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) = (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
2928sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑛 β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) βŠ† 𝑠 ↔ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠))
3027, 29imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑛 β†’ (((𝑖 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘–) βŠ† 𝑠) ↔ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠)))
31 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ πœ‘)
32 rtrclreclem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ Rel 𝑅)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ Rel 𝑅)
34 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ 𝑅 ∈ V)
3533, 34relexp0d 14989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ0) = ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅))
36 relfld 6273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Rel 𝑅 β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑅 = (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅))
3733, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑅 = (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅))
38 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))) β†’ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)
40 reseq2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆͺ βˆͺ 𝑅 = (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) = ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)))
4140sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆͺ βˆͺ 𝑅 = (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅) β†’ (( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† 𝑠 ↔ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))
4239, 41imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆͺ βˆͺ 𝑅 = (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅) β†’ ((0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† 𝑠))
4337, 42mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† 𝑠)
4435, 43eqsstrd 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ0) βŠ† 𝑠)
45 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
49 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V))
50 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠)
51 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑠)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑠)
53 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))) β†’ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))) β†’ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)
5650, 52, 55jca32 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))
5748, 49, 56jca32 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ (π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))))
58 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠))
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠))
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠))
6257, 61mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠)
63 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ πœ‘)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠 ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ πœ‘)
6564, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠 ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ Rel 𝑅)
6648adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠 ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
6765, 66relexpsucrd 14998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠 ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) = ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ 𝑅))
6852adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠 ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ 𝑅 βŠ† 𝑠)
69 coss2 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑅 βŠ† 𝑠 β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ 𝑅) βŠ† ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ 𝑠))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠 ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ 𝑅) βŠ† ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ 𝑠))
71 coss1 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠 β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ 𝑠) βŠ† (𝑠 ∘ 𝑠))
7271, 50sylan9ss 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠 ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠)
7370, 72sstrd 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠 ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ ((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) ∘ 𝑅) βŠ† 𝑠)
7467, 73eqsstrd 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠 ∧ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠)
7562, 74mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠)
7675expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))))) β†’ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠))
7776expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠)))
7877expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠))))
7978anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠) ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠))))
8079impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ ((𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠) ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠)))
8180anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)) ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠)))
8281impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ (((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)) ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠))
8382anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))) ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)) β†’ ((π‘š + 1) ∈ β„•0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠))
8483impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))) ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠)
8584anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) ∧ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0)) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠)
8685expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠))
8786expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (((π‘š ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘š) βŠ† 𝑠) β†’ (((π‘š + 1) ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ(π‘š + 1)) βŠ† 𝑠)))
8815, 20, 25, 30, 44, 87nn0ind 12673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠))
8988anabsi5 668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)))) β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠)
9089expcom 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠))
9190ralrimiv 3140 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠)
92 iunss 5042 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠)
9391, 92sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠))) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠)
9493expcom 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 ∧ (𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠))
9594expcom 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ ( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠)))
9695expcom 413 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 β†’ (𝑅 βŠ† 𝑠 β†’ ((𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠))))
97963imp1 1345 . . . . . . . 8 (((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠)
9897expcom 413 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠))
99 sseq1 4003 . . . . . . . 8 (((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) β†’ (((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) βŠ† 𝑠 ↔ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠))
10099imbi2d 340 . . . . . . 7 (((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) β†’ (((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) βŠ† 𝑠) ↔ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) βŠ† 𝑠)))
10198, 100imbitrrid 245 . . . . . 6 (((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) βŠ† 𝑠)))
10210, 101mpcom 38 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) βŠ† 𝑠))
103 df-rtrclrec 15021 . . . . . 6 t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))
104 fveq1 6890 . . . . . . . . 9 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (t*recβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
105104sseq1d 4009 . . . . . . . 8 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ ((t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠 ↔ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) βŠ† 𝑠))
106105imbi2d 340 . . . . . . 7 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ (t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠) ↔ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) βŠ† 𝑠)))
107106imbi2d 340 . . . . . 6 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ (t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) βŠ† 𝑠))))
108103, 107ax-mp 5 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ (t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) βŠ† 𝑠)))
109102, 108mpbir 230 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ (t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠))
110109ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ V β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ (t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠)))
111 fvprc 6883 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (t*recβ€˜π‘…) = βˆ…)
112 0ss 4392 . . . . 5 βˆ… βŠ† 𝑠
113111, 112eqsstrdi 4032 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ (t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠)
114113a1d 25 . . 3 (Β¬ 𝑅 ∈ V β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ (t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠))
115110, 114pm2.61d1 180 . 2 (πœ‘ β†’ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ (t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠))
116115alrimiv 1923 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ((( I β†Ύ (dom 𝑅 βˆͺ ran 𝑅)) βŠ† 𝑠 ∧ 𝑅 βŠ† 𝑠 ∧ (𝑠 ∘ 𝑠) βŠ† 𝑠) β†’ (t*recβ€˜π‘…) βŠ† 𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1532   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  βˆͺ cuni 4903  βˆͺ ciun 4991   ↦ cmpt 5225   I cid 5569  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  Rel wrel 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  β„•0cn0 12488  β†‘π‘Ÿcrelexp 14984  t*reccrtrcl 15020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-seq 13985  df-relexp 14985  df-rtrclrec 15021
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  15027
  Copyright terms: Public domain W3C validator