MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclreclem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rtrclreclem2 15003
Description: The reflexive, transitive closure is indeed reflexive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem2.1 (πœ‘ β†’ Rel 𝑅)
rtrclreclem2.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Proof of Theorem rtrclreclem2
Dummy variables π‘Ÿ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12484 . . . . 5 0 ∈ β„•0
2 ssid 3996 . . . . . 6 ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅)
3 rtrclreclem2.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Rel 𝑅)
4 rtrclreclem2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
53, 4relexp0d 14968 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ0) = ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅))
62, 5sseqtrrid 4027 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ0))
7 oveq2 7409 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿ0))
87sseq2d 4006 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ (( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ↔ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ0)))
98rspcev 3604 . . . . 5 ((0 ∈ β„•0 ∧ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ0)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
101, 6, 9sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
11 ssiun 5039 . . . 4 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
1210, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
134elexd 3487 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
14 nn0ex 12475 . . . . 5 β„•0 ∈ V
15 ovex 7434 . . . . 5 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
1614, 15iunex 7948 . . . 4 βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
17 oveq1 7408 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
1817iuneq2d 5016 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
19 eqid 2724 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))
2018, 19fvmptg 6986 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V) β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
2113, 16, 20sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
2212, 21sseqtrrd 4015 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
23 df-rtrclrec 15000 . . 3 t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))
24 fveq1 6880 . . . . 5 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (t*recβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
2524sseq2d 4006 . . . 4 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (t*recβ€˜π‘…) ↔ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…)))
2625imbi2d 340 . . 3 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ ((πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))))
2723, 26ax-mp 5 . 2 ((πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…)))
2822, 27mpbir 230 1 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βŠ† wss 3940  βˆͺ cuni 4899  βˆͺ ciun 4987   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   β†Ύ cres 5668  Rel wrel 5671  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106  β„•0cn0 12469  β†‘π‘Ÿcrelexp 14963  t*reccrtrcl 14999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-mulcl 11168  ax-i2m1 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-nn 12210  df-n0 12470  df-relexp 14964  df-rtrclrec 15000
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  15006
  Copyright terms: Public domain W3C validator