MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclreclem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rtrclreclem2 15003
Description: The reflexive, transitive closure is indeed reflexive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 13-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem2.1 (πœ‘ β†’ Rel 𝑅)
rtrclreclem2.2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Proof of Theorem rtrclreclem2
Dummy variables π‘Ÿ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12484 . . . . 5 0 ∈ β„•0
2 ssid 4004 . . . . . 6 ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅)
3 rtrclreclem2.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Rel 𝑅)
4 rtrclreclem2.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
53, 4relexp0d 14968 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿ0) = ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅))
62, 5sseqtrrid 4035 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ0))
7 oveq2 7414 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 β†’ (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿ0))
87sseq2d 4014 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ (( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ↔ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ0)))
98rspcev 3613 . . . . 5 ((0 ∈ β„•0 ∧ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿ0)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
101, 6, 9sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
11 ssiun 5049 . . . 4 (βˆƒπ‘› ∈ β„•0 ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
1210, 11syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
134elexd 3495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
14 nn0ex 12475 . . . . 5 β„•0 ∈ V
15 ovex 7439 . . . . 5 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
1614, 15iunex 7952 . . . 4 βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V
17 oveq1 7413 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
1817iuneq2d 5026 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
19 eqid 2733 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))
2018, 19fvmptg 6994 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›) ∈ V) β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
2113, 16, 20sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘…β†‘π‘Ÿπ‘›))
2212, 21sseqtrrd 4023 . 2 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
23 df-rtrclrec 15000 . . 3 t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))
24 fveq1 6888 . . . . 5 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (t*recβ€˜π‘…) = ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))
2524sseq2d 4014 . . . 4 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ (( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (t*recβ€˜π‘…) ↔ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…)))
2625imbi2d 341 . . 3 (t*rec = (π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›)) β†’ ((πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…))))
2723, 26ax-mp 5 . 2 ((πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (t*recβ€˜π‘…)) ↔ (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† ((π‘Ÿ ∈ V ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ β„•0 (π‘Ÿβ†‘π‘Ÿπ‘›))β€˜π‘…)))
2822, 27mpbir 230 1 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ βˆͺ βˆͺ 𝑅) βŠ† (t*recβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  Rel wrel 5681  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107  β„•0cn0 12469  β†‘π‘Ÿcrelexp 14963  t*reccrtrcl 14999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-mulcl 11169  ax-i2m1 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-nn 12210  df-n0 12470  df-relexp 14964  df-rtrclrec 15000
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  15006
  Copyright terms: Public domain W3C validator