Theorem rtrclreclem2 14417

Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rtrclreclem.ex	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)

Assertion

Ref	Expression
rtrclreclem2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem2

Dummy variables 𝑟 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11912	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		ssidd 3989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑅)
3		rtrclreclem.ex	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
4	3	relexp1d 14389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟1) = 𝑅)
5	2, 4	sseqtrrd 4007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟1))
6		oveq2 7163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟1))
7	6	sseq2d 3998	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛) ↔ 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟1)))
8	7	rspcev 3622	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
9	1, 5, 8	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛))
10		ssiun 4969	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅↑𝑟𝑛) → 𝑅 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
12		eqidd 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)))
13		oveq1 7162	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟↑𝑟𝑛) = (𝑅↑𝑟𝑛))
14	13	iuneq2d 4947	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
15	14	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
16		nn0ex 11902	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
17		ovex 7188	. . . . . 6 ⊢ (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
18	16, 17	iunex 7668	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛) ∈ V)
20	12, 15, 3, 19	fvmptd 6774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅↑𝑟𝑛))
21	11, 20	sseqtrrd 4007	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅))
22		df-rtrclrec 14414	. . 3 ⊢ t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))
23		fveq1 6668	. . . . 5 ⊢ (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) → (t*rec‘𝑅) = ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅))
24	23	sseq2d 3998	. . . 4 ⊢ (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) → (𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅) ↔ 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅)))
25	24	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛)) → ((𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅))))
26	22, 25	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝜑 → 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟↑𝑟𝑛))‘𝑅)))
27	21, 26	mpbir 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ∪ ciun 4918   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  1c1 10537  ℕ₀cn0 11896  ↑_𝑟crelexp 14378  t*reccrtrcl 14413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-seq 13369  df-relexp 14379  df-rtrclrec 14414

This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  14420