Theorem relexp0 14965

Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by RP, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

Proof of Theorem relexp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0g 14964	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
2		relfld 6236	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → ∪ ∪ 𝑅 = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
3	2	reseq2d 5939	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
4	3	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
5	1, 4	sylan9eq 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3909  ∪ cuni 4867   I cid 5525  dom cdm 5631  ran crn 5632   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636  (class class class)co 7369  0cc0 11044  ↑_𝑟crelexp 14961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-mulcl 11106  ax-i2m1 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-n0 12419  df-relexp 14962

This theorem is referenced by:  relexp0d  14966  relexpsucl  14973  relexpsucr  14974  relexpindlem  15005