Theorem relexp0 15188

Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by RP, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

Proof of Theorem relexp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0g 15187	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
2		relfld 6283	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → ∪ ∪ 𝑅 = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
3	2	reseq2d 5974	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
4	3	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
5	1, 4	sylan9eq 2818	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∪ cun 4151  ∪ cuni 4869   I cid 5548  dom cdm 5654  ran crn 5655   ↾ cres 5656  Rel wrel 5659  (class class class)co 7427  0cc0 11210  ↑_𝑟crelexp 15184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-mulcl 11272  ax-i2m1 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-n0 12617  df-relexp 15185

This theorem is used by:  relexp0d  15189  relexpsucl  15196  relexpsucr  15197  relexpindlem  15228