Theorem relexp0 14930

Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by RP, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

Proof of Theorem relexp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0g 14929	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
2		relfld 6223	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → ∪ ∪ 𝑅 = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
3	2	reseq2d 5930	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
4	3	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
5	1, 4	sylan9eq 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3901  ∪ cuni 4858   I cid 5513  dom cdm 5619  ran crn 5620   ↾ cres 5621  Rel wrel 5624  (class class class)co 7349  0cc0 11009  ↑_𝑟crelexp 14926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-mulcl 11071  ax-i2m1 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-n0 12385  df-relexp 14927

This theorem is referenced by:  relexp0d  14931  relexpsucl  14938  relexpsucr  14939  relexpindlem  14970