Theorem relexp0 15060

Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by RP, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

Proof of Theorem relexp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0g 15059	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
2		relfld 6277	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → ∪ ∪ 𝑅 = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
3	2	reseq2d 5979	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
4	3	eqcomd 2775	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
5	1, 4	sylan9eq 2824	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911  ∪ cuni 4876   I cid 5556  dom cdm 5662  ran crn 5663   ↾ cres 5664  Rel wrel 5667  (class class class)co 7411  0cc0 11100  ↑_𝑟crelexp 15056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-mulcl 11162  ax-i2m1 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-n0 12505  df-relexp 15057

This theorem is referenced by:  relexp0d  15061  relexpsucl  15068  relexpsucr  15069  relexpindlem  15100