Theorem relexp0 14946

Description: A relation composed zero times is the (restricted) identity. (Contributed by RP, 22-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexp0	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

Proof of Theorem relexp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexp0g 14945	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
2		relfld 6233	. . . 4 ⊢ (Rel 𝑅 → ∪ ∪ 𝑅 = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
3	2	reseq2d 5938	. . 3 ⊢ (Rel 𝑅 → ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
4	3	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (Rel 𝑅 → ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))
5	1, 4	sylan9eq 2791	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ Rel 𝑅) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899  ∪ cuni 4863   I cid 5518  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626  Rel wrel 5629  (class class class)co 7358  0cc0 11026  ↑_𝑟crelexp 14942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-mulcl 11088  ax-i2m1 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-n0 12402  df-relexp 14943

This theorem is referenced by:  relexp0d  14947  relexpsucl  14954  relexpsucr  14955  relexpindlem  14986