Theorem reval 15183

Description: The value of the real part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))

Proof of Theorem reval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴))
2		oveq12 7432	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴)) → (𝑥 + (∗‘𝑥)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
3	1, 2	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + (∗‘𝑥)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
4	3	oveq1d 7438	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
5		df-re 15177	. 2 ⊢ ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2))
6		ovex 7456	. 2 ⊢ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6996	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   / cdiv 11889  2c2 12313  ∗ccj 15173  ℜcre 15174

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-re 15177

This theorem is used by:  recl  15187  ref  15189  crre  15191  addcj  15225  sqreulem  15437  recosval  16217  dvmptre  26165  cosargd  26810  lnopunilem1  32399  constrrecl  34190  cnre2csqima  34332