Theorem reval 15197

Description: The value of the real part of a complex number. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))

Proof of Theorem reval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴))
2		oveq12 7426	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴)) → (𝑥 + (∗‘𝑥)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
3	1, 2	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + (∗‘𝑥)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
4	3	oveq1d 7432	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
5		df-re 15191	. 2 ⊢ ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2))
6		ovex 7450	. 2 ⊢ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6990	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   / cdiv 11899  2c2 12323  ∗ccj 15187  ℜcre 15188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-re 15191

This theorem is used by:  recl  15201  ref  15203  crre  15205  addcj  15239  sqreulem  15451  recosval  16230  dvmptre  26203  cosargd  26853  lnopunilem1  32499  constrrecl  34287  cnre2csqima  34429