MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crre 15006
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crre ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ด)

Proof of Theorem crre
StepHypRef Expression
1 recn 11148 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-icn 11117 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
3 recn 11148 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 mulcl 11142 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancr 588 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 addcl 11140 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
71, 5, 6syl2an 597 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8 reval 14998 . . 3 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))
97, 8syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))
10 cjcl 14997 . . . . . 6 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
117, 10syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
127, 11addcld 11181 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
1312halfcld 12405 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆˆ โ„‚)
141adantr 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 recl 15002 . . . . . . 7 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
167, 15syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
179, 16eqeltrrd 2839 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆˆ โ„)
18 simpl 484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1917, 18resubcld 11590 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
202a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
213adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
222, 21, 4sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
237, 11subcld 11519 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
2423halfcld 12405 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆˆ โ„‚)
2520, 22, 24subdid 11618 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))) = ((i ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))))
2614, 22, 14pnpcand 11556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ ๐ด))
2722, 14, 22pnpcan2d 11557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ ๐ด))
2826, 27eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))))
2928oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) = ((((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))))
3014, 14addcld 11181 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
317, 11, 30addsubd 11540 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))))
3222, 22addcld 11181 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3332, 7, 11subsubd 11547 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) = ((((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))))
3429, 31, 333eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))))
35142timesd 12403 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
3635oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (๐ด + ๐ด)))
37222timesd 12403 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (i ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)))
3837oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) = (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))))
3934, 36, 383eqtr4d 2787 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) = ((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))))
4039oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) / 2) = (((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2))
41 2cn 12235 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
42 mulcl 11142 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4341, 14, 42sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
45 2ne0 12264 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 2 โ‰  0)
4712, 43, 44, 46divsubdird 11977 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) / 2) = ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) / 2)))
48 mulcl 11142 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
4941, 22, 48sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
5049, 23, 44, 46divsubdird 11977 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2) = (((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5140, 47, 503eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) / 2)) = (((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5214, 44, 46divcan3d 11943 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ๐ด) / 2) = ๐ด)
5352oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) / 2)) = ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด))
5422, 44, 46divcan3d 11943 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) = (i ยท ๐ต))
5554oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5651, 53, 553eqtr3d 2785 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5756oveq2d 7378 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) = (i ยท ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))))
5820, 20, 21mulassd 11185 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ต) = (i ยท (i ยท ๐ต)))
5920, 23, 44, 46divassd 11973 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2) = (i ยท (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
6058, 59oveq12d 7380 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ต) โˆ’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2)) = ((i ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))))
6125, 57, 603eqtr4d 2787 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) = (((i ยท i) ยท ๐ต) โˆ’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2)))
62 ixi 11791 . . . . . . . 8 (i ยท i) = -1
63 neg1rr 12275 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„
6462, 63eqeltri 2834 . . . . . . 7 (i ยท i) โˆˆ โ„
65 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
66 remulcl 11143 . . . . . . 7 (((i ยท i) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6764, 65, 66sylancr 588 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
68 cjth 14995 . . . . . . . . 9 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) โˆˆ โ„))
6968simprd 497 . . . . . . . 8 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) โˆˆ โ„)
707, 69syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) โˆˆ โ„)
7170rehalfcld 12407 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2) โˆˆ โ„)
7267, 71resubcld 11590 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ต) โˆ’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2)) โˆˆ โ„)
7361, 72eqeltrd 2838 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
74 rimul 12151 . . . 4 ((((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) = 0)
7519, 73, 74syl2anc 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) = 0)
7613, 14, 75subeq0d 11527 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) = ๐ด)
779, 76eqtrd 2777 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  โˆ—ccj 14988  โ„œcre 14989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-2 12223  df-cj 14991  df-re 14992
This theorem is referenced by:  crim  15007  replim  15008  mulre  15013  recj  15016  reneg  15017  readd  15018  remullem  15020  rei  15048  crrei  15084  crred  15123  rennim  15131  absreimsq  15184  4sqlem4  16831  2sqlem2  26782  cnre2csqima  32532
  Copyright terms: Public domain W3C validator