MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crre 14556
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)

Proof of Theorem crre
StepHypRef Expression
1 recn 10698 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ax-icn 10667 . . . . 5 i ∈ ℂ
3 recn 10698 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4 mulcl 10692 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 590 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6 addcl 10690 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
71, 5, 6syl2an 599 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8 reval 14548 . . 3 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))
10 cjcl 14547 . . . . . 6 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
117, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
127, 11addcld 10731 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ)
1312halfcld 11954 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℂ)
141adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 recl 14552 . . . . . . 7 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
167, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
179, 16eqeltrrd 2834 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℝ)
18 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1917, 18resubcld 11139 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
202a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
213adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
222, 21, 4sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
237, 11subcld 11068 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ)
2423halfcld 11954 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℂ)
2520, 22, 24subdid 11167 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))) = ((i · (i · 𝐵)) − (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
2614, 22, 14pnpcand 11105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) = ((i · 𝐵) − 𝐴))
2722, 14, 22pnpcan2d 11106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐵) − 𝐴))
2826, 27eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))))
2928oveq1d 7179 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
3014, 14addcld 10731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
317, 11, 30addsubd 11089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
3222, 22addcld 10731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
3332, 7, 11subsubd 11096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
3429, 31, 333eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
35142timesd 11952 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3635oveq2d 7180 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)))
37222timesd 11952 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) + (i · 𝐵)))
3837oveq1d 7179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
3934, 36, 383eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) = ((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
4039oveq1d 7179 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) / 2) = (((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2))
41 2cn 11784 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
42 mulcl 10692 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
4341, 14, 42sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
4441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
45 2ne0 11813 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 ≠ 0)
4712, 43, 44, 46divsubdird 11526 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) / 2) = ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)))
48 mulcl 10692 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
4941, 22, 48sylancr 590 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
5049, 23, 44, 46divsubdird 11526 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) = (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
5140, 47, 503eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)) = (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
5214, 44, 46divcan3d 11492 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
5352oveq2d 7180 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)) = ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴))
5422, 44, 46divcan3d 11492 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · (i · 𝐵)) / 2) = (i · 𝐵))
5554oveq1d 7179 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)) = ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
5651, 53, 553eqtr3d 2781 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
5756oveq2d 7180 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) = (i · ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
5820, 20, 21mulassd 10735 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) = (i · (i · 𝐵)))
5920, 23, 44, 46divassd 11522 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
6058, 59oveq12d 7182 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)) = ((i · (i · 𝐵)) − (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
6125, 57, 603eqtr4d 2783 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) = (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)))
62 ixi 11340 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
63 neg1rr 11824 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
6462, 63eqeltri 2829 . . . . . . 7 (i · i) ∈ ℝ
65 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
66 remulcl 10693 . . . . . . 7 (((i · i) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) ∈ ℝ)
6764, 65, 66sylancr 590 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) ∈ ℝ)
68 cjth 14545 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ))
6968simprd 499 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ)
707, 69syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ)
7170rehalfcld 11956 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) ∈ ℝ)
7267, 71resubcld 11139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)) ∈ ℝ)
7361, 72eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
74 rimul 11700 . . . 4 ((((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = 0)
7519, 73, 74syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = 0)
7613, 14, 75subeq0d 11076 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) = 𝐴)
779, 76eqtrd 2773 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609  ici 10610   + caddc 10611   · cmul 10613  cmin 10941  -cneg 10942   / cdiv 11368  2c2 11764  ccj 14538  cre 14539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-2 11772  df-cj 14541  df-re 14542
This theorem is referenced by:  crim  14557  replim  14558  mulre  14563  recj  14566  reneg  14567  readd  14568  remullem  14570  rei  14598  crrei  14634  crred  14673  rennim  14681  absreimsq  14735  4sqlem4  16381  2sqlem2  26146  cnre2csqima  31425
  Copyright terms: Public domain W3C validator