MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crre 14261
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)

Proof of Theorem crre
StepHypRef Expression
1 recn 10362 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ax-icn 10331 . . . . 5 i ∈ ℂ
3 recn 10362 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4 mulcl 10356 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 581 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6 addcl 10354 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
71, 5, 6syl2an 589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8 reval 14253 . . 3 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))
10 cjcl 14252 . . . . . 6 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
117, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℂ)
127, 11addcld 10396 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ)
1312halfcld 11627 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℂ)
141adantr 474 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 recl 14257 . . . . . . 7 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
167, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) ∈ ℝ)
179, 16eqeltrrd 2860 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℝ)
18 simpl 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1917, 18resubcld 10803 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
202a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
213adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
222, 21, 4sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
237, 11subcld 10734 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℂ)
2423halfcld 11627 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) ∈ ℂ)
2520, 22, 24subdid 10831 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))) = ((i · (i · 𝐵)) − (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
2614, 22, 14pnpcand 10771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) = ((i · 𝐵) − 𝐴))
2722, 14, 22pnpcan2d 10772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) = ((i · 𝐵) − 𝐴))
2826, 27eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))))
2928oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) = ((((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
3014, 14addcld 10396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐴) ∈ ℂ)
317, 11, 30addsubd 10755 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (𝐴 + 𝐴)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
3222, 22addcld 10396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
3332, 7, 11subsubd 10762 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = ((((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − (𝐴 + (i · 𝐵))) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))))
3429, 31, 333eqtr4d 2824 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
35142timesd 11625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3635oveq2d 6938 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) = (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (𝐴 + 𝐴)))
37222timesd 11625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · (i · 𝐵)) = ((i · 𝐵) + (i · 𝐵)))
3837oveq1d 6937 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) = (((i · 𝐵) + (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
3934, 36, 383eqtr4d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) = ((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))))
4039oveq1d 6937 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) / 2) = (((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2))
41 2cn 11450 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
42 mulcl 10356 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
4341, 14, 42sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
4441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
45 2ne0 11486 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 ≠ 0)
4712, 43, 44, 46divsubdird 11190 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) − (2 · 𝐴)) / 2) = ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)))
48 mulcl 10356 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
4941, 22, 48sylancr 581 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
5049, 23, 44, 46divsubdird 11190 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((2 · (i · 𝐵)) − ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) = (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
5140, 47, 503eqtr3d 2822 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)) = (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
5214, 44, 46divcan3d 11156 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
5352oveq2d 6938 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − ((2 · 𝐴) / 2)) = ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴))
5422, 44, 46divcan3d 11156 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((2 · (i · 𝐵)) / 2) = (i · 𝐵))
5554oveq1d 6937 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((2 · (i · 𝐵)) / 2) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)) = ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
5651, 53, 553eqtr3d 2822 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
5756oveq2d 6938 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) = (i · ((i · 𝐵) − (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
5820, 20, 21mulassd 10400 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) = (i · (i · 𝐵)))
5920, 23, 44, 46divassd 11186 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) = (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2)))
6058, 59oveq12d 6940 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)) = ((i · (i · 𝐵)) − (i · (((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2))))
6125, 57, 603eqtr4d 2824 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) = (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)))
62 ixi 11004 . . . . . . . 8 (i · i) = -1
63 neg1rr 11497 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
6462, 63eqeltri 2855 . . . . . . 7 (i · i) ∈ ℝ
65 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
66 remulcl 10357 . . . . . . 7 (((i · i) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) ∈ ℝ)
6764, 65, 66sylancr 581 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · i) · 𝐵) ∈ ℝ)
68 cjth 14250 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ))
6968simprd 491 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ)
707, 69syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) ∈ ℝ)
7170rehalfcld 11629 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2) ∈ ℝ)
7267, 71resubcld 10803 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((i · i) · 𝐵) − ((i · ((𝐴 + (i · 𝐵)) − (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵))))) / 2)) ∈ ℝ)
7361, 72eqeltrd 2859 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ)
74 rimul 11365 . . . 4 ((((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ (i · ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴)) ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = 0)
7519, 73, 74syl2anc 579 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) − 𝐴) = 0)
7613, 14, 75subeq0d 10742 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (i · 𝐵)) + (∗‘(𝐴 + (i · 𝐵)))) / 2) = 𝐴)
779, 76eqtrd 2814 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273  ici 10274   + caddc 10275   · cmul 10277  cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032  2c2 11430  ccj 14243  cre 14244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438  df-cj 14246  df-re 14247
This theorem is referenced by:  crim  14262  replim  14263  mulre  14268  recj  14271  reneg  14272  readd  14273  remullem  14275  rei  14303  crrei  14339  crred  14378  rennim  14386  absreimsq  14439  4sqlem4  16060  2sqlem2  25595  cnre2csqima  30555
  Copyright terms: Public domain W3C validator