MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crre 15059
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crre ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ด)

Proof of Theorem crre
StepHypRef Expression
1 recn 11197 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-icn 11166 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
3 recn 11197 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 mulcl 11191 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancr 586 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 addcl 11189 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
71, 5, 6syl2an 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8 reval 15051 . . 3 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))
97, 8syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))
10 cjcl 15050 . . . . . 6 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
117, 10syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
127, 11addcld 11231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
1312halfcld 12455 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆˆ โ„‚)
141adantr 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 recl 15055 . . . . . . 7 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
167, 15syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
179, 16eqeltrrd 2826 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆˆ โ„)
18 simpl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1917, 18resubcld 11640 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
202a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
213adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
222, 21, 4sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
237, 11subcld 11569 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
2423halfcld 12455 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆˆ โ„‚)
2520, 22, 24subdid 11668 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))) = ((i ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))))
2614, 22, 14pnpcand 11606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ ๐ด))
2722, 14, 22pnpcan2d 11607 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ ๐ด))
2826, 27eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))))
2928oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) = ((((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))))
3014, 14addcld 11231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
317, 11, 30addsubd 11590 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))))
3222, 22addcld 11231 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3332, 7, 11subsubd 11597 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) = ((((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))))
3429, 31, 333eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))))
35142timesd 12453 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
3635oveq2d 7418 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (๐ด + ๐ด)))
37222timesd 12453 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (i ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)))
3837oveq1d 7417 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) = (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))))
3934, 36, 383eqtr4d 2774 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) = ((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))))
4039oveq1d 7417 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) / 2) = (((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2))
41 2cn 12285 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
42 mulcl 11191 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4341, 14, 42sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
45 2ne0 12314 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 2 โ‰  0)
4712, 43, 44, 46divsubdird 12027 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) / 2) = ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) / 2)))
48 mulcl 11191 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
4941, 22, 48sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
5049, 23, 44, 46divsubdird 12027 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2) = (((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5140, 47, 503eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) / 2)) = (((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5214, 44, 46divcan3d 11993 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ๐ด) / 2) = ๐ด)
5352oveq2d 7418 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) / 2)) = ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด))
5422, 44, 46divcan3d 11993 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) = (i ยท ๐ต))
5554oveq1d 7417 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5651, 53, 553eqtr3d 2772 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5756oveq2d 7418 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) = (i ยท ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))))
5820, 20, 21mulassd 11235 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ต) = (i ยท (i ยท ๐ต)))
5920, 23, 44, 46divassd 12023 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2) = (i ยท (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
6058, 59oveq12d 7420 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ต) โˆ’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2)) = ((i ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))))
6125, 57, 603eqtr4d 2774 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) = (((i ยท i) ยท ๐ต) โˆ’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2)))
62 ixi 11841 . . . . . . . 8 (i ยท i) = -1
63 neg1rr 12325 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„
6462, 63eqeltri 2821 . . . . . . 7 (i ยท i) โˆˆ โ„
65 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
66 remulcl 11192 . . . . . . 7 (((i ยท i) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6764, 65, 66sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
68 cjth 15048 . . . . . . . . 9 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) โˆˆ โ„))
6968simprd 495 . . . . . . . 8 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) โˆˆ โ„)
707, 69syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) โˆˆ โ„)
7170rehalfcld 12457 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2) โˆˆ โ„)
7267, 71resubcld 11640 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ต) โˆ’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2)) โˆˆ โ„)
7361, 72eqeltrd 2825 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
74 rimul 12201 . . . 4 ((((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) = 0)
7519, 73, 74syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) = 0)
7613, 14, 75subeq0d 11577 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) = ๐ด)
779, 76eqtrd 2764 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11442  -cneg 11443   / cdiv 11869  2c2 12265  โˆ—ccj 15041  โ„œcre 15042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-2 12273  df-cj 15044  df-re 15045
This theorem is referenced by:  crim  15060  replim  15061  mulre  15066  recj  15069  reneg  15070  readd  15071  remullem  15073  rei  15101  crrei  15137  crred  15176  rennim  15184  absreimsq  15237  4sqlem4  16886  2sqlem2  27270  cnre2csqima  33383
  Copyright terms: Public domain W3C validator