MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crre 15087
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crre ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ด)

Proof of Theorem crre
StepHypRef Expression
1 recn 11222 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-icn 11191 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
3 recn 11222 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 mulcl 11216 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancr 586 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 addcl 11214 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
71, 5, 6syl2an 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8 reval 15079 . . 3 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))
97, 8syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))
10 cjcl 15078 . . . . . 6 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
117, 10syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
127, 11addcld 11257 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
1312halfcld 12481 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆˆ โ„‚)
141adantr 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 recl 15083 . . . . . . 7 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
167, 15syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) โˆˆ โ„)
179, 16eqeltrrd 2830 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆˆ โ„)
18 simpl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1917, 18resubcld 11666 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
202a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
213adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
222, 21, 4sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
237, 11subcld 11595 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„‚)
2423halfcld 12481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆˆ โ„‚)
2520, 22, 24subdid 11694 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))) = ((i ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))))
2614, 22, 14pnpcand 11632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ ๐ด))
2722, 14, 22pnpcan2d 11633 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ ๐ด))
2826, 27eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))))
2928oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) = ((((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))))
3014, 14addcld 11257 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
317, 11, 30addsubd 11616 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))))
3222, 22addcld 11257 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3332, 7, 11subsubd 11623 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) = ((((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (๐ด + (i ยท ๐ต))) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))))
3429, 31, 333eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (๐ด + ๐ด)) = (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))))
35142timesd 12479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
3635oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) = (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (๐ด + ๐ด)))
37222timesd 12479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (i ยท ๐ต)) = ((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)))
3837oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) = (((i ยท ๐ต) + (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))))
3934, 36, 383eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) = ((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))))
4039oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) / 2) = (((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2))
41 2cn 12311 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„‚
42 mulcl 11216 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4341, 14, 42sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4441a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
45 2ne0 12340 . . . . . . . . . . 11 2 โ‰  0
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 2 โ‰  0)
4712, 43, 44, 46divsubdird 12053 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆ’ (2 ยท ๐ด)) / 2) = ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) / 2)))
48 mulcl 11216 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
4941, 22, 48sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
5049, 23, 44, 46divsubdird 12053 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2) = (((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5140, 47, 503eqtr3d 2776 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) / 2)) = (((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5214, 44, 46divcan3d 12019 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ๐ด) / 2) = ๐ด)
5352oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ((2 ยท ๐ด) / 2)) = ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด))
5422, 44, 46divcan3d 12019 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) = (i ยท ๐ต))
5554oveq1d 7429 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((2 ยท (i ยท ๐ต)) / 2) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5651, 53, 553eqtr3d 2776 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) = ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
5756oveq2d 7430 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) = (i ยท ((i ยท ๐ต) โˆ’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))))
5820, 20, 21mulassd 11261 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ต) = (i ยท (i ยท ๐ต)))
5920, 23, 44, 46divassd 12049 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2) = (i ยท (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2)))
6058, 59oveq12d 7432 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ต) โˆ’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2)) = ((i ยท (i ยท ๐ต)) โˆ’ (i ยท (((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2))))
6125, 57, 603eqtr4d 2778 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) = (((i ยท i) ยท ๐ต) โˆ’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2)))
62 ixi 11867 . . . . . . . 8 (i ยท i) = -1
63 neg1rr 12351 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„
6462, 63eqeltri 2825 . . . . . . 7 (i ยท i) โˆˆ โ„
65 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
66 remulcl 11217 . . . . . . 7 (((i ยท i) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
6764, 65, 66sylancr 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท i) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
68 cjth 15076 . . . . . . . . 9 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) โˆˆ โ„))
6968simprd 495 . . . . . . . 8 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) โˆˆ โ„)
707, 69syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) โˆˆ โ„)
7170rehalfcld 12483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2) โˆˆ โ„)
7267, 71resubcld 11666 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((i ยท i) ยท ๐ต) โˆ’ ((i ยท ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆ’ (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))))) / 2)) โˆˆ โ„)
7361, 72eqeltrd 2829 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
74 rimul 12227 . . . 4 ((((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (i ยท ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) = 0)
7519, 73, 74syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) โˆ’ ๐ด) = 0)
7613, 14, 75subeq0d 11603 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + (i ยท ๐ต)) + (โˆ—โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต)))) / 2) = ๐ด)
779, 76eqtrd 2768 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  โ„cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133  ici 11134   + caddc 11135   ยท cmul 11137   โˆ’ cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11895  2c2 12291  โˆ—ccj 15069  โ„œcre 15070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-2 12299  df-cj 15072  df-re 15073
This theorem is referenced by:  crim  15088  replim  15089  mulre  15094  recj  15097  reneg  15098  readd  15099  remullem  15101  rei  15129  crrei  15165  crred  15204  rennim  15212  absreimsq  15265  4sqlem4  16914  2sqlem2  27344  cnre2csqima  33506
  Copyright terms: Public domain W3C validator