Theorem recl 15064

Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reval 15060	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
2		cjth 15057	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12466	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
5	1, 4	eqeltrd 2832	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  ici 11118   + caddc 11119   · cmul 11121   − cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  ∗ccj 15050  ℜcre 15051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-2 12282  df-cj 15053  df-re 15054

This theorem is referenced by:  imcl  15065  ref  15066  crre  15068  remim  15071  reim0b  15073  rereb  15074  mulre  15075  cjreb  15077  recj  15078  reneg  15079  readd  15080  resub  15081  remullem  15082  remul2  15084  rediv  15085  imcj  15086  imneg  15087  imadd  15088  immul2  15091  cjadd  15095  ipcnval  15097  cjmulval  15099  cjmulge0  15100  cjneg  15101  imval2  15105  cnrecnv  15119  sqeqd  15120  recli  15121  recld  15148  cnpart  15194  absrele  15262  releabs  15275  efeul  16112  absef  16147  absefib  16148  efieq1re  16149  cnsubrg  21209  mbfconst  25395  itgconst  25581  tanregt0  26299  argregt0  26369  tanarg  26378  logf1o2  26409  abscxp  26451  isosctrlem1  26574  asinsin  26648  acoscos  26649  atancj  26666  atantan  26679  cxploglim2  26734  zetacvg  26770  cncph  30354  ccfldextdgrr  33050  sqrtcvallem2  42703  sqrtcvallem3  42704  sqrtcvallem4  42705  sqrtcvallem5  42706  sqrtcval  42707