MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recl 14191
Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
recl (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recl
StepHypRef Expression
1 reval 14187 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
2 cjth 14184 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
32simpld 489 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
43rehalfcld 11567 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
51, 4eqeltrd 2878 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  ici 10226   + caddc 10227   · cmul 10229  cmin 10556   / cdiv 10976  2c2 11368  ccj 14177  cre 14178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-2 11376  df-cj 14180  df-re 14181
This theorem is referenced by:  imcl  14192  ref  14193  crre  14195  remim  14198  reim0b  14200  rereb  14201  mulre  14202  cjreb  14204  recj  14205  reneg  14206  readd  14207  resub  14208  remullem  14209  remul2  14211  rediv  14212  imcj  14213  imneg  14214  imadd  14215  immul2  14218  cjadd  14222  ipcnval  14224  cjmulval  14226  cjmulge0  14227  cjneg  14228  imval2  14232  cnrecnv  14246  sqeqd  14247  recli  14248  recld  14275  cnpart  14321  absrele  14389  releabs  14402  efeul  15228  absef  15263  absefib  15264  efieq1re  15265  cnsubrg  20128  mbfconst  23741  itgconst  23926  tanregt0  24627  argregt0  24697  tanarg  24706  logf1o2  24737  abscxp  24779  isosctrlem1  24900  asinsin  24971  acoscos  24972  atancj  24989  atantan  25002  cxploglim2  25057  zetacvg  25093  cncph  28199
  Copyright terms: Public domain W3C validator