Theorem recl 15181

Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reval 15177	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
2		cjth 15174	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
3	2	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12502	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
5	1, 4	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  ici 11113   + caddc 11114   · cmul 11116   − cmin 11452   / cdiv 11882  2c2 12306  ∗ccj 15167  ℜcre 15168

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-cj 15170  df-re 15171

This theorem is used by:  imcl  15182  ref  15183  crre  15185  remim  15188  reim0b  15190  rereb  15191  mulre  15192  cjreb  15194  recj  15195  reneg  15196  readd  15197  resub  15198  remullem  15199  remul2  15201  rediv  15202  imcj  15203  imneg  15204  imadd  15205  immul2  15208  cjadd  15212  ipcnval  15214  cjmulval  15216  cjmulge0  15217  cjneg  15218  imval2  15222  cnrecnv  15236  sqeqd  15237  recli  15238  recld  15265  cnpart  15311  absrele  15379  releabs  15393  efeul  16236  absef  16271  absefib  16272  efieq1re  16273  cnsubrg  21607  mbfconst  25823  itgconst  26009  tanregt0  26735  argregt0  26806  tanarg  26815  logf1o2  26846  abscxp  26888  isosctrlem1  27014  asinsin  27088  acoscos  27089  atancj  27106  atantan  27119  cxploglim2  27174  zetacvg  27210  cncph  31218  ccfldextdgrr  34102  sqrtcvallem2  44396  sqrtcvallem3  44397  sqrtcvallem4  44398  sqrtcvallem5  44399  sqrtcval  44400