MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recl 14464
Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
recl (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recl
StepHypRef Expression
1 reval 14460 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
2 cjth 14457 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
32simpld 495 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
43rehalfcld 11878 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
51, 4eqeltrd 2918 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  ici 10533   + caddc 10534   · cmul 10536  cmin 10864   / cdiv 11291  2c2 11686  ccj 14450  cre 14451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-cj 14453  df-re 14454
This theorem is referenced by:  imcl  14465  ref  14466  crre  14468  remim  14471  reim0b  14473  rereb  14474  mulre  14475  cjreb  14477  recj  14478  reneg  14479  readd  14480  resub  14481  remullem  14482  remul2  14484  rediv  14485  imcj  14486  imneg  14487  imadd  14488  immul2  14491  cjadd  14495  ipcnval  14497  cjmulval  14499  cjmulge0  14500  cjneg  14501  imval2  14505  cnrecnv  14519  sqeqd  14520  recli  14521  recld  14548  cnpart  14594  absrele  14663  releabs  14676  efeul  15510  absef  15545  absefib  15546  efieq1re  15547  cnsubrg  20540  mbfconst  24168  itgconst  24353  tanregt0  25055  argregt0  25125  tanarg  25134  logf1o2  25165  abscxp  25207  isosctrlem1  25328  asinsin  25402  acoscos  25403  atancj  25420  atantan  25433  cxploglim2  25489  zetacvg  25525  cncph  28529  ccfldextdgrr  30962
  Copyright terms: Public domain W3C validator