Theorem recl 15063

Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reval 15059	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
2		cjth 15056	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
5	1, 4	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  ∗ccj 15049  ℜcre 15050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-cj 15052  df-re 15053

This theorem is referenced by:  imcl  15064  ref  15065  crre  15067  remim  15070  reim0b  15072  rereb  15073  mulre  15074  cjreb  15076  recj  15077  reneg  15078  readd  15079  resub  15080  remullem  15081  remul2  15083  rediv  15084  imcj  15085  imneg  15086  imadd  15087  immul2  15090  cjadd  15094  ipcnval  15096  cjmulval  15098  cjmulge0  15099  cjneg  15100  imval2  15104  cnrecnv  15118  sqeqd  15119  recli  15120  recld  15147  cnpart  15193  absrele  15261  releabs  15275  efeul  16120  absef  16155  absefib  16156  efieq1re  16157  cnsubrg  21417  mbfconst  25610  itgconst  25796  tanregt0  26516  argregt0  26587  tanarg  26596  logf1o2  26627  abscxp  26669  isosctrlem1  26795  asinsin  26869  acoscos  26870  atancj  26887  atantan  26900  cxploglim2  26956  zetacvg  26992  cncph  30905  ccfldextdgrr  33832  sqrtcvallem2  44082  sqrtcvallem3  44083  sqrtcvallem4  44084  sqrtcvallem5  44085  sqrtcval  44086