Theorem recl 15056

Description: The real part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reval 15052	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
2		cjth 15049	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
3	2	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 12458	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
5	1, 4	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  ici 11111   + caddc 11112   · cmul 11114   − cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  ∗ccj 15042  ℜcre 15043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15045  df-re 15046

This theorem is referenced by:  imcl  15057  ref  15058  crre  15060  remim  15063  reim0b  15065  rereb  15066  mulre  15067  cjreb  15069  recj  15070  reneg  15071  readd  15072  resub  15073  remullem  15074  remul2  15076  rediv  15077  imcj  15078  imneg  15079  imadd  15080  immul2  15083  cjadd  15087  ipcnval  15089  cjmulval  15091  cjmulge0  15092  cjneg  15093  imval2  15097  cnrecnv  15111  sqeqd  15112  recli  15113  recld  15140  cnpart  15186  absrele  15254  releabs  15267  efeul  16104  absef  16139  absefib  16140  efieq1re  16141  cnsubrg  21004  mbfconst  25149  itgconst  25335  tanregt0  26047  argregt0  26117  tanarg  26126  logf1o2  26157  abscxp  26199  isosctrlem1  26320  asinsin  26394  acoscos  26395  atancj  26412  atantan  26425  cxploglim2  26480  zetacvg  26516  cncph  30067  ccfldextdgrr  32741  sqrtcvallem2  42378  sqrtcvallem3  42379  sqrtcvallem4  42380  sqrtcvallem5  42381  sqrtcval  42382