MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosargd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosargd 25979
Description: The cosine of the argument is the quotient of the real part and the absolute value. Compare to efiarg 25978. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cosargd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
cosargd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
cosargd (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))) = ((โ„œโ€˜๐‘‹) / (absโ€˜๐‘‹)))

Proof of Theorem cosargd
StepHypRef Expression
1 cosargd.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21cjcld 15087 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
31, 2addcld 11179 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (โˆ—โ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
41abscld 15327 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„)
54recnd 11188 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
6 2cnd 12236 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7 cosargd.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)
81, 7absne0d 15338 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‹) โ‰  0)
9 2ne0 12262 . . . 4 2 โ‰  0
109a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
113, 5, 6, 8, 10divdiv32d 11961 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ + (โˆ—โ€˜๐‘‹)) / (absโ€˜๐‘‹)) / 2) = (((๐‘‹ + (โˆ—โ€˜๐‘‹)) / 2) / (absโ€˜๐‘‹)))
121, 7logcld 25942 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
1312imcld 15086 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„)
1413recnd 11188 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„‚)
15 cosval 16010 . . . 4 ((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))) = (((expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) + (expโ€˜(-i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))) / 2))
1614, 15syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))) = (((expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) + (expโ€˜(-i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))) / 2))
17 efiarg 25978 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) = (๐‘‹ / (absโ€˜๐‘‹)))
181, 7, 17syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) = (๐‘‹ / (absโ€˜๐‘‹)))
19 ax-icn 11115 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
2120, 14mulcld 11180 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))) โˆˆ โ„‚)
22 efcj 15979 . . . . . . . . 9 ((i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))) โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(โˆ—โ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))) = (โˆ—โ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(โˆ—โ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))) = (โˆ—โ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))))
2420, 14cjmuld 15112 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) = ((โˆ—โ€˜i) ยท (โˆ—โ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))))
25 cji 15050 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ—โ€˜i) = -i
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜i) = -i)
2713cjred 15117 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))) = (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))
2826, 27oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜i) ยท (โˆ—โ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) = (-i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))
2924, 28eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) = (-i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))
3029fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(โˆ—โ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))) = (expโ€˜(-i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))))
3118fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜(expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))) = (โˆ—โ€˜(๐‘‹ / (absโ€˜๐‘‹))))
3223, 30, 313eqtr3d 2781 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(-i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) = (โˆ—โ€˜(๐‘‹ / (absโ€˜๐‘‹))))
331, 5, 8cjdivd 15114 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜(๐‘‹ / (absโ€˜๐‘‹))) = ((โˆ—โ€˜๐‘‹) / (โˆ—โ€˜(absโ€˜๐‘‹))))
344cjred 15117 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜(absโ€˜๐‘‹)) = (absโ€˜๐‘‹))
3534oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ—โ€˜๐‘‹) / (โˆ—โ€˜(absโ€˜๐‘‹))) = ((โˆ—โ€˜๐‘‹) / (absโ€˜๐‘‹)))
3632, 33, 353eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜(-i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) = ((โˆ—โ€˜๐‘‹) / (absโ€˜๐‘‹)))
3718, 36oveq12d 7376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) + (expโ€˜(-i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))) = ((๐‘‹ / (absโ€˜๐‘‹)) + ((โˆ—โ€˜๐‘‹) / (absโ€˜๐‘‹))))
381, 2, 5, 8divdird 11974 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + (โˆ—โ€˜๐‘‹)) / (absโ€˜๐‘‹)) = ((๐‘‹ / (absโ€˜๐‘‹)) + ((โˆ—โ€˜๐‘‹) / (absโ€˜๐‘‹))))
3937, 38eqtr4d 2776 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) + (expโ€˜(-i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))) = ((๐‘‹ + (โˆ—โ€˜๐‘‹)) / (absโ€˜๐‘‹)))
4039oveq1d 7373 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((expโ€˜(i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹)))) + (expโ€˜(-i ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))))) / 2) = (((๐‘‹ + (โˆ—โ€˜๐‘‹)) / (absโ€˜๐‘‹)) / 2))
4116, 40eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))) = (((๐‘‹ + (โˆ—โ€˜๐‘‹)) / (absโ€˜๐‘‹)) / 2))
42 reval 14997 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘‹) = ((๐‘‹ + (โˆ—โ€˜๐‘‹)) / 2))
431, 42syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐‘‹) = ((๐‘‹ + (โˆ—โ€˜๐‘‹)) / 2))
4443oveq1d 7373 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โ„œโ€˜๐‘‹) / (absโ€˜๐‘‹)) = (((๐‘‹ + (โˆ—โ€˜๐‘‹)) / 2) / (absโ€˜๐‘‹)))
4511, 41, 443eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐‘‹))) = ((โ„œโ€˜๐‘‹) / (absโ€˜๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  ici 11058   + caddc 11059   ยท cmul 11061  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  โˆ—ccj 14987  โ„œcre 14988  โ„‘cim 14989  abscabs 15125  expce 15949  cosccos 15952  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  cosarg0d  25980  cosangneg2d  26173
  Copyright terms: Public domain W3C validator