Theorem cosargd 26660

Description: The cosine of the argument is the quotient of the real part and the absolute value. Compare to efiarg 26659. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cosargd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
cosargd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cosargd	⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = ((ℜ‘𝑋) / (abs‘𝑋)))

Proof of Theorem cosargd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosargd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	cjcld 15213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (∗‘𝑋)) ∈ ℂ)
4	1	abscld 15456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
6		2cnd 12289	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7		cosargd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
8	1, 7	absne0d 15467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
9		2ne0 12317	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
11	3, 5, 6, 8, 10	divdiv32d 11985	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) / 2) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2) / (abs‘𝑋)))
12	1, 7	logcld 26622	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
13	12	imcld 15212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝑋)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝑋)) ∈ ℂ)
15		cosval 16145	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝑋)) ∈ ℂ → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) / 2))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) / 2))
17		efiarg 26659	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (𝑋 / (abs‘𝑋)))
18	1, 7, 17	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (𝑋 / (abs‘𝑋)))
19		ax-icn 11125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
21	20, 14	mulcld 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘(log‘𝑋))) ∈ ℂ)
22		efcj 16112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (ℑ‘(log‘𝑋))) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (∗‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (∗‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))))
24	20, 14	cjmuld 15238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = ((∗‘i) · (∗‘(ℑ‘(log‘𝑋)))))
25		cji 15176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘i) = -i
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘i) = -i)
27	13	cjred 15243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (ℑ‘(log‘𝑋)))
28	26, 27	oveq12d 7408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗‘i) · (∗‘(ℑ‘(log‘𝑋)))) = (-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))
29	24, 28	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))
30	29	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋)))))
31	18	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (∗‘(𝑋 / (abs‘𝑋))))
32	23, 30, 31	3eqtr3d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (∗‘(𝑋 / (abs‘𝑋))))
33	1, 5, 8	cjdivd 15240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 / (abs‘𝑋))) = ((∗‘𝑋) / (∗‘(abs‘𝑋))))
34	4	cjred 15243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
35	34	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑋) / (∗‘(abs‘𝑋))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
36	32, 33, 35	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
37	18, 36	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = ((𝑋 / (abs‘𝑋)) + ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋))))
38	1, 2, 5, 8	divdird 11998	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) = ((𝑋 / (abs‘𝑋)) + ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋))))
39	37, 38	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)))
40	39	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) / 2) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) / 2))
41	16, 40	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) / 2))
42		reval 15123	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑋) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2))
43	1, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2))
44	43	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) / (abs‘𝑋)) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2) / (abs‘𝑋)))
45	11, 41, 44	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = ((ℜ‘𝑋) / (abs‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  0cc0 11066  ici 11068   + caddc 11069   · cmul 11071  -cneg 11408   / cdiv 11837  2c2 12265  ∗ccj 15113  ℜcre 15114  ℑcim 15115  abscabs 15251  expce 16081  cosccos 16084  logclog 26606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-ef 16087  df-sin 16089  df-cos 16090  df-pi 16092  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17522  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-cnfld 21412  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cld 23066  df-ntr 23067  df-cls 23068  df-nei 23145  df-lp 23183  df-perf 23184  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-haus 23362  df-tx 23609  df-hmeo 23802  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-xms 24367  df-ms 24368  df-tms 24369  df-cncf 24927  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26608

This theorem is referenced by:  cosarg0d  26661  cosangneg2d  26859