Theorem cosargd 25193

Description: The cosine of the argument is the quotient of the real part and the absolute value. Compare to efiarg 25192. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cosargd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
cosargd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
cosargd	⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = ((ℜ‘𝑋) / (abs‘𝑋)))

Proof of Theorem cosargd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosargd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
2	1	cjcld 14557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 10662	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (∗‘𝑋)) ∈ ℂ)
4	1	abscld 14798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
5	4	recnd 10671	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
6		2cnd 11718	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7		cosargd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
8	1, 7	absne0d 14809	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) ≠ 0)
9		2ne0 11744	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
11	3, 5, 6, 8, 10	divdiv32d 11443	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) / 2) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2) / (abs‘𝑋)))
12	1, 7	logcld 25156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
13	12	imcld 14556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝑋)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 10671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝑋)) ∈ ℂ)
15		cosval 15478	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝑋)) ∈ ℂ → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) / 2))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) / 2))
17		efiarg 25192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (𝑋 / (abs‘𝑋)))
18	1, 7, 17	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (𝑋 / (abs‘𝑋)))
19		ax-icn 10598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
21	20, 14	mulcld 10663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (i · (ℑ‘(log‘𝑋))) ∈ ℂ)
22		efcj 15447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (ℑ‘(log‘𝑋))) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (∗‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (∗‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))))
24	20, 14	cjmuld 14582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = ((∗‘i) · (∗‘(ℑ‘(log‘𝑋)))))
25		cji 14520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∗‘i) = -i
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘i) = -i)
27	13	cjred 14587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∗‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (ℑ‘(log‘𝑋)))
28	26, 27	oveq12d 7176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((∗‘i) · (∗‘(ℑ‘(log‘𝑋)))) = (-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))
29	24, 28	eqtrd 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))
30	29	fveq2d 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘(∗‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋)))))
31	18	fveq2d 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = (∗‘(𝑋 / (abs‘𝑋))))
32	23, 30, 31	3eqtr3d 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = (∗‘(𝑋 / (abs‘𝑋))))
33	1, 5, 8	cjdivd 14584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝑋 / (abs‘𝑋))) = ((∗‘𝑋) / (∗‘(abs‘𝑋))))
34	4	cjred 14587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∗‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
35	34	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∗‘𝑋) / (∗‘(abs‘𝑋))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
36	32, 33, 35	3eqtrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) = ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋)))
37	18, 36	oveq12d 7176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = ((𝑋 / (abs‘𝑋)) + ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋))))
38	1, 2, 5, 8	divdird 11456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) = ((𝑋 / (abs‘𝑋)) + ((∗‘𝑋) / (abs‘𝑋))))
39	37, 38	eqtr4d 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)))
40	39	oveq1d 7173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝑋)))) + (exp‘(-i · (ℑ‘(log‘𝑋))))) / 2) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) / 2))
41	16, 40	eqtrd 2858	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / (abs‘𝑋)) / 2))
42		reval 14467	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑋) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2))
43	1, 42	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝑋) = ((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2))
44	43	oveq1d 7173	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘𝑋) / (abs‘𝑋)) = (((𝑋 + (∗‘𝑋)) / 2) / (abs‘𝑋)))
45	11, 41, 44	3eqtr4d 2868	1 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘𝑋))) = ((ℜ‘𝑋) / (abs‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539  ici 10541   + caddc 10542   · cmul 10544  -cneg 10873   / cdiv 11299  2c2 11695  ∗ccj 14457  ℜcre 14458  ℑcim 14459  abscabs 14595  expce 15417  cosccos 15420  logclog 25140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426  df-pi 15428  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467  df-log 25142

This theorem is referenced by:  cosarg0d  25194  cosangneg2d  25387