MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcj 14496
Description: A number plus its conjugate is twice its real part. Compare Proposition 10-3.4(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 21-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
addcj (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) = (2 · (ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem addcj
StepHypRef Expression
1 reval 14454 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
21oveq2d 7154 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)))
3 cjcl 14453 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4 addcl 10604 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
53, 4mpdan 686 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
6 2cn 11698 . . . 4 2 ∈ ℂ
7 2ne0 11727 . . . 4 2 ≠ 0
8 divcan2 11291 . . . 4 (((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
96, 7, 8mp3an23 1450 . . 3 ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
105, 9syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
112, 10eqtr2d 2860 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) = (2 · (ℜ‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cfv 6336  (class class class)co 7138  cc 10520  0cc0 10522   + caddc 10525   · cmul 10527   / cdiv 11282  2c2 11678  ccj 14444  cre 14445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-2 11686  df-cj 14447  df-re 14448
This theorem is referenced by:  addcji  14531  addcjd  14560
  Copyright terms: Public domain W3C validator