Theorem addcj 15197

Description: A number plus its conjugate is twice its real part. Compare Proposition 10-3.4(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 21-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
addcj	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) = (2 · (ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem addcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reval 15155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
2	1	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)))
3		cjcl 15154	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		addcl 11266	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
5	3, 4	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
6		2cn 12368	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
7		2ne0 12397	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
8		divcan2 11957	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
9	6, 7, 8	mp3an23 1453	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
10	5, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
11	2, 10	eqtr2d 2781	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) = (2 · (ℜ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189   / cdiv 11947  2c2 12348  ∗ccj 15145  ℜcre 15146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-cj 15148  df-re 15149

This theorem is referenced by:  addcji  15232  addcjd  15261