MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcj 15146
Description: A number plus its conjugate is twice its real part. Compare Proposition 10-3.4(h) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 21-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
addcj (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) = (2 · (ℜ‘𝐴)))

Proof of Theorem addcj
StepHypRef Expression
1 reval 15104 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
21oveq2d 7430 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (ℜ‘𝐴)) = (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)))
3 cjcl 15103 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4 addcl 11229 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
53, 4mpdan 685 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
6 2cn 12331 . . . 4 2 ∈ ℂ
7 2ne0 12360 . . . 4 2 ≠ 0
8 divcan2 11920 . . . 4 (((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
96, 7, 8mp3an23 1450 . . 3 ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ → (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
105, 9syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2)) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
112, 10eqtr2d 2767 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + (∗‘𝐴)) = (2 · (ℜ‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cfv 6544  (class class class)co 7414  cc 11145  0cc0 11147   + caddc 11150   · cmul 11152   / cdiv 11910  2c2 12311  ccj 15094  cre 15095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-2 12319  df-cj 15097  df-re 15098
This theorem is referenced by:  addcji  15181  addcjd  15210
  Copyright terms: Public domain W3C validator