Theorem recosval 16230

Description: The cosine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recosval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem recosval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11187	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
2		recn 11218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		cjmul 15233	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
5		cji 15250	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
6	5	oveq1i 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
7		cjre 15230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
8	7	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-i · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
9	6, 8	eqtrid 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
10	4, 9	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = (-i · 𝐴))
11	10	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
12		mulcl 11212	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
13	1, 2, 12	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14		efcj 16184	. . . . . 6 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
15	13, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
16	11, 15	eqtr3d 2799	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
17	16	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))))
18	17	oveq1d 7432	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
19		cosval 16217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
20	2, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
21		efcl 16174	. . 3 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22		reval 15197	. . 3 ⊢ ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
23	13, 21, 22	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
24	18, 20, 23	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  ici 11130   + caddc 11131   · cmul 11133  -cneg 11470   / cdiv 11899  2c2 12323  ∗ccj 15187  ℜcre 15188  expce 16153  cosccos 16156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-cos 16162

This theorem is used by:  recos4p  16233  recoscl  16235  cos0  16244  argregt0  26855  argrege0  26856  lawcos  27061