MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recosval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recosval 15856
Description: The cosine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
recosval (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem recosval
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10941 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
2 recn 10972 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 cjmul 14864 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
5 cji 14881 . . . . . . . . 9 (∗‘i) = -i
65oveq1i 7282 . . . . . . . 8 ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
7 cjre 14861 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
87oveq2d 7288 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-i · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
96, 8eqtrid 2792 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
104, 9eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = (-i · 𝐴))
1110fveq2d 6775 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
12 mulcl 10966 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
131, 2, 12sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14 efcj 15812 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
1611, 15eqtr3d 2782 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
1716oveq2d 7288 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))))
1817oveq1d 7287 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
19 cosval 15843 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
202, 19syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
21 efcl 15803 . . 3 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22 reval 14828 . . 3 ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
2313, 21, 223syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / 2))
2418, 20, 233eqtr4d 2790 1 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = (ℜ‘(exp‘(i · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  cfv 6432  (class class class)co 7272  cc 10880  cr 10881  ici 10884   + caddc 10885   · cmul 10887  -cneg 11217   / cdiv 11643  2c2 12039  ccj 14818  cre 14819  expce 15782  cosccos 15785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-pm 8610  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-rp 12742  df-ico 13096  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-fl 13523  df-seq 13733  df-exp 13794  df-fac 13999  df-hash 14056  df-shft 14789  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-limsup 15191  df-clim 15208  df-rlim 15209  df-sum 15409  df-ef 15788  df-cos 15791
This theorem is referenced by:  recos4p  15859  recoscl  15861  cos0  15870  argregt0  25776  argrege0  25777  lawcos  25977
  Copyright terms: Public domain W3C validator