Theorem dvmptre 24734

Description: Function-builder for derivative, real part. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptcj.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptcj.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvmptcj.da	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
dvmptre	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℜ‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℜ‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem dvmptre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 10720	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		dvmptcj.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	cjcld 14658	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
5	3, 4	addcld 10751	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
6		dvmptcj.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑉)
7		dvmptcj.da	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
8	2, 3, 6, 7	dvmptcl 24724	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	cjcld 14658	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
10	8, 9	addcld 10751	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (∗‘𝐵)) ∈ ℂ)
11	3, 6, 7	dvmptcj 24733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘𝐵)))
12	2, 3, 6, 7, 4, 9, 11	dvmptadd 24725	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 + (∗‘𝐴)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐵 + (∗‘𝐵))))
13		halfcn 11944	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
15	2, 5, 10, 12, 14	dvmptcmul 24729	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((1 / 2) · (𝐴 + (∗‘𝐴))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((1 / 2) · (𝐵 + (∗‘𝐵)))))
16		reval 14568	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
17	3, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (ℜ‘𝐴) = ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2))
18		2cn 11804	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
19		2ne0 11833	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
20		divrec2 11406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) = ((1 / 2) · (𝐴 + (∗‘𝐴))))
21	18, 19, 20	mp3an23 1454	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) = ((1 / 2) · (𝐴 + (∗‘𝐴))))
22	5, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) / 2) = ((1 / 2) · (𝐴 + (∗‘𝐴))))
23	17, 22	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (ℜ‘𝐴) = ((1 / 2) · (𝐴 + (∗‘𝐴))))
24	23	mpteq2dva 5135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℜ‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((1 / 2) · (𝐴 + (∗‘𝐴)))))
25	24	oveq2d 7199	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℜ‘𝐴))) = (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((1 / 2) · (𝐴 + (∗‘𝐴))))))
26		reval 14568	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) = ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2))
27	8, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (ℜ‘𝐵) = ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2))
28		divrec2 11406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 + (∗‘𝐵)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵 + (∗‘𝐵))))
29	18, 19, 28	mp3an23 1454	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 + (∗‘𝐵)) ∈ ℂ → ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵 + (∗‘𝐵))))
30	10, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐵 + (∗‘𝐵)) / 2) = ((1 / 2) · (𝐵 + (∗‘𝐵))))
31	27, 30	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (ℜ‘𝐵) = ((1 / 2) · (𝐵 + (∗‘𝐵))))
32	31	mpteq2dva 5135	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((1 / 2) · (𝐵 + (∗‘𝐵)))))
33	15, 25, 32	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℜ‘𝐴))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℜ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  {cpr 4528   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  ℂcc 10626  ℝcr 10627  0cc0 10628  1c1 10629   + caddc 10631   · cmul 10633   / cdiv 11388  2c2 11784  ∗ccj 14558  ℜcre 14559   D cdv 24628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-supp 7870  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-ixp 8521  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fsupp 8920  df-fi 8961  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-ioo 12838  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-hom 16705  df-cco 16706  df-rest 16812  df-topn 16813  df-0g 16831  df-gsum 16832  df-topgen 16833  df-pt 16834  df-prds 16837  df-xrs 16891  df-qtop 16896  df-imas 16897  df-xps 16899  df-mre 16973  df-mrc 16974  df-acs 16976  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-submnd 18086  df-mulg 18356  df-cntz 18578  df-cmn 19039  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-fbas 20227  df-fg 20228  df-cnfld 20231  df-top 21658  df-topon 21675  df-topsp 21697  df-bases 21710  df-cld 21783  df-ntr 21784  df-cls 21785  df-nei 21862  df-lp 21900  df-perf 21901  df-cn 21991  df-cnp 21992  df-haus 22079  df-tx 22326  df-hmeo 22519  df-fil 22610  df-fm 22702  df-flim 22703  df-flf 22704  df-xms 23086  df-ms 23087  df-tms 23088  df-cncf 23643  df-limc 24631  df-dv 24632

This theorem is referenced by:  dvlip  24758