Theorem ref 15055

Description: Domain and codomain of the real part function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ref	⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem ref

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-re 15043	. 2 ⊢ ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2))
2		reval 15049	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑥) = ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2))
3		recl 15053	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
4	2, 3	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2) ∈ ℝ)
5	1, 4	fmpti 7108	1 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105   + caddc 11109   / cdiv 11867  2c2 12263  ∗ccj 15039  ℜcre 15040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-cj 15042  df-re 15043

This theorem is referenced by:  recn2  15541  climre  15546  rlimre  15551  caucvgr  15618  fsumre  15750  recncf  24409  cnrehmeo  24460  mbfdm  25134  ismbf  25136  ismbfcn  25137  mbfconst  25141  ismbfcn2  25146  mbfres  25152  mbfimaopnlem  25163  dvlip  25501  cxpcn3lem  26244  cxpcn3  26245  resqrtcn  26246  gg-cnrehmeo  35159  mbfresfi  36522  itgaddnc  36536  itgmulc2nc  36544  ftc1anclem5  36553  mbfres2cn  44660