MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ref 14461
Description: Domain and codomain of the real part function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ref ℜ:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem ref
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-re 14449 . 2 ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2))
2 reval 14455 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑥) = ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2))
3 recl 14459 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
42, 3eqeltrrd 2914 . 2 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2) ∈ ℝ)
51, 4fmpti 6869 1 ℜ:ℂ⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  cc 10524  cr 10525   + caddc 10529   / cdiv 11286  2c2 11681  ccj 14445  cre 14446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11689  df-cj 14448  df-re 14449
This theorem is referenced by:  recn2  14947  climre  14952  rlimre  14957  caucvgr  15022  fsumre  15153  recncf  23439  cnrehmeo  23486  mbfdm  24156  ismbf  24158  ismbfcn  24159  mbfconst  24163  ismbfcn2  24168  mbfres  24174  mbfimaopnlem  24185  dvlip  24519  cxpcn3lem  25255  cxpcn3  25256  resqrtcn  25257  mbfresfi  34820  itgaddnc  34834  itgmulc2nc  34842  ftc1anclem5  34853  mbfres2cn  42123
  Copyright terms: Public domain W3C validator