MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ref 14464
Description: Domain and codomain of the real part function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ref ℜ:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem ref
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-re 14452 . 2 ℜ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2))
2 reval 14458 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑥) = ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2))
3 recl 14462 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
42, 3eqeltrrd 2918 . 2 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 + (∗‘𝑥)) / 2) ∈ ℝ)
51, 4fmpti 6871 1 ℜ:ℂ⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528   + caddc 10532   / cdiv 11289  2c2 11684  ccj 14448  cre 14449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-cj 14451  df-re 14452
This theorem is referenced by:  recn2  14950  climre  14955  rlimre  14960  caucvgr  15025  fsumre  15155  recncf  23425  cnrehmeo  23472  mbfdm  24142  ismbf  24144  ismbfcn  24145  mbfconst  24149  ismbfcn2  24154  mbfres  24160  mbfimaopnlem  24171  dvlip  24505  cxpcn3lem  25241  cxpcn3  25242  resqrtcn  25243  mbfresfi  34805  itgaddnc  34819  itgmulc2nc  34827  ftc1anclem5  34838  mbfres2cn  42104
  Copyright terms: Public domain W3C validator