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Theorem lnopunilem1 29793
 Description: Lemma for lnopunii 29795. (Contributed by NM, 14-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopunilem.1 𝑇 ∈ LinOp
lnopunilem.2 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
lnopunilem.3 𝐴 ∈ ℋ
lnopunilem.4 𝐵 ∈ ℋ
lnopunilem1.5 𝐶 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
lnopunilem1 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem lnopunilem1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopunilem1.5 . . . 4 𝐶 ∈ ℂ
2 lnopunilem.3 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
3 lnopunilem.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 29752 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
54ffvelrni 6827 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝑇𝐴) ∈ ℋ)
62, 5ax-mp 5 . . . . 5 (𝑇𝐴) ∈ ℋ
7 lnopunilem.4 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
84ffvelrni 6827 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℋ → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
97, 8ax-mp 5 . . . . 5 (𝑇𝐵) ∈ ℋ
106, 9hicli 28864 . . . 4 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
111, 10mulcli 10637 . . 3 (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) ∈ ℂ
12 reval 14457 . . 3 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2))
1311, 12ax-mp 5 . 2 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2)
142, 7hicli 28864 . . . . 5 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
151, 14mulcli 10637 . . . 4 (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
16 reval 14457 . . . 4 ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2))
1715, 16ax-mp 5 . . 3 (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2)
18 lnopunilem.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥)
19 2fveq3 6650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm‘(𝑇𝑦)))
20 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (norm𝑥) = (norm𝑦))
2119, 20eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥) ↔ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦)))
2221cbvralvw 3396 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑥)) = (norm𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦))
2318, 22mpbi 233 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦)
24 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((norm𝑦)↑2))
254ffvelrni 6827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
26 normsq 28917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑦) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)))
28 normsq 28917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦)↑2) = (𝑦 ·ih 𝑦))
2927, 28eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑇𝑦))↑2) = ((norm𝑦)↑2) ↔ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)))
3024, 29syl5ib 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)))
3130ralimia 3126 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ ℋ (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦))
3223, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦)
33 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝐴))
3433, 33oveq12d 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
3635, 35oveq12d 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ·ih 𝑦) = (𝐴 ·ih 𝐴))
3734, 36eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)))
3837rspcv 3566 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)))
392, 32, 38mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) = (𝐴 ·ih 𝐴)
4039oveq2i 7146 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))
4140oveq2i 7146 . . . . . . . 8 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) = (𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
42 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝐵))
4342, 42oveq12d 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
4544, 44oveq12d 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ·ih 𝑦) = (𝐵 ·ih 𝐵))
4643, 45eqeq12d 2814 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)))
4746rspcv 3566 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)))
487, 32, 47mp2 9 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) = (𝐵 ·ih 𝐵)
4941, 48oveq12i 7147 . . . . . . 7 ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
5049oveq1i 7145 . . . . . 6 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))))
511cjcli 14520 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝐶) ∈ ℂ
526, 6hicli 28864 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)) ∈ ℂ
5351, 52mulcli 10637 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) ∈ ℂ
541, 53mulcli 10637 . . . . . . . 8 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) ∈ ℂ
559, 9hicli 28864 . . . . . . . 8 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)) ∈ ℂ
5611cjcli 14520 . . . . . . . 8 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) ∈ ℂ
5754, 55, 11, 56add42i 10854 . . . . . . 7 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
582, 2hicli 28864 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
5951, 58mulcli 10637 . . . . . . . . . 10 ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) ∈ ℂ
601, 59mulcli 10637 . . . . . . . . 9 (𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) ∈ ℂ
617, 7hicli 28864 . . . . . . . . 9 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
6215cjcli 14520 . . . . . . . . 9 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) ∈ ℂ
6360, 61, 15, 62add42i 10854 . . . . . . . 8 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
641, 2hvmulcli 28797 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ
6564, 7hvaddcli 28801 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ
66 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
6766, 66oveq12d 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
68 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → 𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))
6968, 68oveq12d 7153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (𝑦 ·ih 𝑦) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
7067, 69eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) → (((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) ↔ ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7170rspcv 3566 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ → (∀𝑦 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih (𝑇𝑦)) = (𝑦 ·ih 𝑦) → ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7265, 32, 71mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))
73 ax-his2 28866 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ) → (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
7464, 7, 65, 73mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
75 ax-his3 28867 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))))
761, 2, 65, 75mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
77 his7 28873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
782, 64, 7, 77mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
79 his5 28869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)))
801, 2, 2, 79mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))
8180oveq1i 7145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)) = (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
8278, 81eqtri 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))
8382oveq2i 7146 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (𝐴 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (𝐶 · (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
841, 59, 14adddii 10642 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴)) + (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
8576, 83, 843eqtri 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
86 his7 28873 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
877, 64, 7, 86mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵))
88 his5 28869 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)))
891, 7, 2, 88mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))
901, 14cjmuli 14540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
917, 2his1i 28883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ·ih 𝐴) = (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵))
9291oveq2i 7146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((∗‘𝐶) · (∗‘(𝐴 ·ih 𝐵)))
9390, 92eqtr4i 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐶) · (𝐵 ·ih 𝐴))
9489, 93eqtr4i 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) = (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
9594oveq1i 7145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ·ih (𝐶 · 𝐴)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
9687, 95eqtri 2821 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))
9785, 96oveq12i 7147 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · 𝐴) ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) + (𝐵 ·ih ((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
9872, 74, 973eqtrri 2826 . . . . . . . . 9 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)))
993lnopli 29751 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
1001, 2, 7, 99mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))
101100, 100oveq12i 7147 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))
1021, 6hvmulcli 28797 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ
103102, 9hvaddcli 28801 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ
104 ax-his2 28866 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ) → (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))))
105102, 9, 103, 104mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
106101, 105eqtri 2821 . . . . . . . . 9 ((𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵)) ·ih (𝑇‘((𝐶 · 𝐴) + 𝐵))) = (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
107 ax-his3 28867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)) ∈ ℋ) → ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))))
1081, 6, 103, 107mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))))
109 his7 28873 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1106, 102, 9, 109mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
111 his5 28869 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))))
1121, 6, 6, 111mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))
113112oveq1i 7145 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝐴) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) = (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
114110, 113eqtri 2821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
115114oveq2i 7146 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))) = (𝐶 · (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1161, 53, 10adddii 10642 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · (((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
117108, 115, 1163eqtri 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
118 his7 28873 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 · (𝑇𝐴)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
1199, 102, 9, 118mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
120 his5 28869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴))))
1211, 9, 6, 120mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)))
1221, 10cjmuli 14540 . . . . . . . . . . . . . 14 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
1239, 6his1i 28883 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)) = (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))
124123oveq2i 7146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴))) = ((∗‘𝐶) · (∗‘((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
125122, 124eqtr4i 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐴)))
126121, 125eqtr4i 2824 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) = (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))
127126oveq1i 7145 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝐵) ·ih (𝐶 · (𝑇𝐴))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) = ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
128119, 127eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) = ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))
129117, 128oveq12i 7147 . . . . . . . . 9 (((𝐶 · (𝑇𝐴)) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵))) + ((𝑇𝐵) ·ih ((𝐶 · (𝑇𝐴)) + (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
13098, 106, 1293eqtrri 2826 . . . . . . . 8 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵)))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + ((∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
13163, 130eqtr4i 2824 . . . . . . 7 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + (𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))))
13257, 131eqtr4i 2824 . . . . . 6 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐴)))) + ((𝑇𝐵) ·ih (𝑇𝐵))) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
13350, 132eqtr3i 2823 . . . . 5 (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
13460, 61addcli 10636 . . . . . 6 ((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
13511, 56addcli 10636 . . . . . 6 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) ∈ ℂ
13615, 62addcli 10636 . . . . . 6 ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) ∈ ℂ
137134, 135, 136addcani 10822 . . . . 5 ((((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))))) = (((𝐶 · ((∗‘𝐶) · (𝐴 ·ih 𝐴))) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))) ↔ ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) = ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))))
138133, 137mpbi 233 . . . 4 ((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) = ((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))))
139138oveq1i 7145 . . 3 (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2) = (((𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (∗‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))) / 2)
14017, 139eqtr4i 2824 . 2 (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (((𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))) + (∗‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵))))) / 2)
14113, 140eqtr4i 2824 1 (ℜ‘(𝐶 · ((𝑇𝐴) ·ih (𝑇𝐵)))) = (ℜ‘(𝐶 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   · cmul 10531   / cdiv 11286  2c2 11680  ↑cexp 13425  ∗ccj 14447  ℜcre 14448   ℋchba 28702   +ℎ cva 28703   ·ℎ csm 28704   ·ih csp 28705  normℎcno 28706  LinOpclo 28730 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-hilex 28782  ax-hfvadd 28783  ax-hv0cl 28786  ax-hfvmul 28788  ax-hvmul0 28793  ax-hfi 28862  ax-his1 28865  ax-his2 28866  ax-his3 28867  ax-his4 28868 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-hnorm 28751  df-lnop 29624 This theorem is referenced by:  lnopunilem2  29794
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