Theorem cjcl 15012

Description: The conjugate of a complex number is a complex number (closure law). (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjf 15011	. 2 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
2	1	ffvelcdmi 7017	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  ℂcc 11007  ∗ccj 15003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-cj 15006

This theorem is referenced by:  crre  15021  cjcj  15047  ipcnval  15050  cjmulrcl  15051  addcj  15055  cjsub  15056  cjexp  15057  cjdiv  15071  cjcli  15076  cjcld  15103  absneg  15184  abscj  15186  sqabsadd  15189  sqabssub  15190  recval  15230  sqreulem  15267  cjcn2  15507  efcj  15999  cnsrng  21312  plycjlem  26180  coecj  26182  coecjOLD  26184  plyrecj  26185  aacjcl  26233  logcj  26513  argimlt0  26520  atancj  26818  cncph  30763  dipassr2  30791  his52  31031  his35  31032  brafnmul  31895  kbmul  31899  adjmul  32036  cnvbramul  32059  sigarac  46833  sigarid  46839