Theorem cjcl 15180

Description: The conjugate of a complex number is a complex number (closure law). (Contributed by NM, 10-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjcl	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

Proof of Theorem cjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjf 15179	. 2 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
2	1	ffvelcdmi 7082	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  ℂcc 11113  ∗ccj 15171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-cj 15174

This theorem is used by:  crre  15189  cjcj  15215  ipcnval  15218  cjmulrcl  15219  addcj  15223  cjsub  15224  cjexp  15225  cjdiv  15239  cjcli  15244  cjcld  15271  absneg  15352  abscj  15354  sqabsadd  15357  sqabssub  15358  recval  15398  sqreulem  15435  cjcn2  15675  efcj  16168  cnsrng  21606  plycjlem  26484  coecj  26486  coecjOLD  26488  plyrecj  26489  aacjcl  26541  logcj  26822  argimlt0  26829  atancj  27126  cncph  31242  dipassr2  31270  his52  31510  his35  31511  brafnmul  32374  kbmul  32378  adjmul  32515  cnvbramul  32538  sigarac  47624  sigarid  47630