Theorem eluz2 13011

Description: Membership in an upper set of integers. We use the fact that a function's value (under our function value definition) is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 5-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem eluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 13010	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluz1 13009	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
4		ibar 538	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
5	3, 4	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))))
6		3anass 1111	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
7	5, 6	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
8	1, 2, 7	pm5.21nii 381	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566   ≤ cle 11383  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-neg 11583  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  eluzmn  13012  eluzuzle  13014  eluzelz  13015  eluzle  13018  uztrn  13023  eluzp1p1  13033  eluzadd  13034  eluzsub  13035  subeluzsub  13038  uzm1  13039  uznn0sub  13040  1eluzge0  13047  2eluzge1  13049  5eluz3  13050  uz3m2nn  13061  raluz2  13064  rexuz2  13066  peano2uz  13068  nn0pzuz  13072  uzind4  13073  uzinfi  13095  zsupss  13104  nn01to3  13108  nn0ge2m1nnALT  13109  elfzuzb  13690  uzsubsubfz  13720  ssfzunsn  13744  ige2m1fz  13791  fz0to4untppr  13804  fz0to5un2tp  13805  4fvwrd4  13822  elfzo2  13836  elfzouz2  13849  fzossrbm1  13863  fzossfzop1  13918  ssfzo12bi  13936  fzoopth  13937  elfzonelfzo  13944  elfzomelpfzo  13947  fzosplitprm1  13953  fzostep1  13961  fzind2  13963  flword2  13993  fldiv4p1lem1div2  14015  uzsup  14043  modaddmodup  14117  fzsdom2  14614  ccatdmss  14768  swrdsbslen  14856  swrdspsleq  14857  pfxtrcfv0  14885  pfxtrcfvl  14888  pfxccatin12lem2a  14918  cshwidxmod  14996  rexuzre  15564  limsupgre  15692  rlimclim1  15756  rlimclim  15757  climrlim2  15758  isercolllem1  15876  isercoll  15879  climcndslem1  16062  fallfacval4  16253  oddge22np1  16563  nn0o  16597  bitsmod  16650  smueqlem  16704  dvdsnprmd  16909  2mulprm  16912  oddprmgt2  16919  oddprmge3  16920  ge2nprmge4  16921  modprm0  17027  prm23ge5  17037  vdwlem9  17211  prmgaplem3  17275  prmgaplem5  17277  prmgaplem6  17278  prmgaplem7  17279  strleun  17379  setsstruct  17398  chnub  18846  fislw  19890  efgsp1  20002  efgredleme  20008  lt6abl  20160  telgsumfzs  20254  ablfac1eu  20340  znidomb  21922  chfacfscmul0  23231  chfacfscmulfsupp  23232  chfacfpmmul0  23235  chfacfpmmulfsupp  23236  dvfsumlem1  26401  dvfsumlem3  26403  plyaddlem1  26587  coeidlem  26611  2logb9irr  27180  ppisval  27488  chtdif  27542  ppidif  27547  ppiublem1  27586  ppiub  27588  chtub  27596  lgsdilem2  27717  gausslemma2dlem2  27751  gausslemma2dlem4  27753  gausslemma2dlem5  27755  gausslemma2dlem6  27756  lgsquadlem1  27764  lgsquadlem3  27766  2lgslem1  27778  chebbnd1lem1  27853  chebbnd1lem2  27854  chebbnd1lem3  27855  dchrisumlem2  27874  dchrvmasumiflem1  27885  mulog2sumlem2  27919  logdivbnd  27940  pntlemg  27982  pntlemq  27985  pntlemf  27989  fltoprmlem2  28051  axlowdim  29596  pthdlem1  30409  crctcshwlkn0lem3  30458  crctcshwlkn0lem4  30459  crctcshwlkn0lem5  30460  crctcshwlkn0lem6  30461  wwlksm1edg  30527  wwlksnred  30538  clwlkclwwlklem2fv1  30643  clwlkclwwlklem2  30648  clwwisshclwwslem  30662  clwwlkinwwlk  30688  clwwlkf  30695  clwwlkext2edg  30704  wwlksubclwwlk  30706  frgrreggt1  31051  ssnnssfz  33475  cycpmco2lem6  33791  ballotlemsdom  35255  ballotlemsel1i  35256  ballotlemfrceq  35272  signstfvc  35314  signstfveq0  35317  prodfzo03  35343  erdszelem8  36171  climuzcnv  36644  poimirlem6  38812  fdc  38945  sticksstones12  43474  eluzp1  43630  fimgmcyc  43864  eldioph2lem1  44037  hbt  44397  ssinc  46375  ssdec  46376  monoords  46586  fzdifsuc2  46599  eluzd  46692  fmul01lt1lem2  46870  sumnnodd  46915  ioodvbdlimc1lem2  47215  ioodvbdlimc2lem  47217  dvnmul  47226  dvnprodlem2  47230  itgspltprt  47262  stoweidlem11  47294  stoweidlem26  47309  wallispilem4  47351  fourierdlem12  47402  fourierdlem20  47410  fourierdlem41  47431  fourierdlem50  47439  fourierdlem54  47443  fourierdlem79  47468  fourierdlem102  47491  fourierdlem111  47500  fourierdlem114  47503  etransclem23  47540  etransclem48  47565  caratheodorylem1  47809  smfmullem4  48077  eluzge0nn0  48655  ssfz12  48657  elfzlble  48663  fzopredsuc  48667  ceilhalfelfzo1  48677  addmodne  48693  m1modnep2mod  48701  m1modmmod  48707  modm2nep1  48715  modp2nep1  48716  modm1nep2  48717  modm1nem2  48718  modm1p1ne  48719  2timesltsqm1  48722  muldvdsfacgt  48729  muldvdsfacm1  48730  iccpartipre  48776  iccpartiltu  48777  iccpartgt  48782  fmtnoge3  48888  odz2prm2pw  48921  fmtnoprmfac2lem1  48924  fmtno4prmfac  48930  31prm  48955  lighneallem4b  48967  nprmdvdsfacm1lem2  48979  nprmdvdsfacm1lem3  48980  nprmdvdsfacm1lem4  48981  nprmdvdsfacm1  48982  ppivalnnnprmge6  48984  341fppr2  49105  9fppr8  49108  fpprel2  49112  nfermltl8rev  49113  nfermltl2rev  49114  gbegt5  49132  gbowgt5  49133  sbgoldbm  49155  mogoldbb  49156  sbgoldbo  49158  nnsum3primesle9  49165  nnsum4primesodd  49167  nnsum4primesoddALTV  49168  evengpop3  49169  evengpoap3  49170  nnsum4primeseven  49171  nnsum4primesevenALTV  49172  wtgoldbnnsum4prm  49173  bgoldbnnsum3prm  49175  bgoldbtbndlem3  49178  tgblthelfgott  49186  gpgusgralem  49427  gpgedgvtx1  49433  gpg5nbgrvtx13starlem2  49443  gpg3nbgrvtx0  49447  gpg3nbgrvtx0ALT  49448  gpg5nbgr3star  49452  gpg3kgrtriexlem3  49456  gpg3kgrtriexlem6  49459  gpg5edgnedg  49501  cznnring  49632  ssnn0ssfz  49792  elfzolborelfzop1  49962  rege1logbzge0  50002  fllog2  50011  nnolog2flm1  50033  dignn0ldlem  50045