Theorem ricrel 20753

Description: The domain of the ring isomorphism relation is a relation. (Contributed by AV, 24-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ricrel	⊢ Rel ≃𝑟

Proof of Theorem ricrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ric 20752	. . 3 ⊢ ≃𝑟 = (◡ RingIso “ (V ∖ 1o))
2		cnvimass 6201	. . . 4 ⊢ (◡ RingIso “ (V ∖ 1o)) ⊆ dom RingIso
3		rimfn 20746	. . . . 5 ⊢ RingIso Fn (V × V)
4	3	fndmi 6648	. . . 4 ⊢ dom RingIso = (V × V)
5	2, 4	sseqtri 3957	. . 3 ⊢ (◡ RingIso “ (V ∖ 1o)) ⊆ (V × V)
6	1, 5	eqsstri 3955	. 2 ⊢ ≃𝑟 ⊆ (V × V)
7		relxp 5669	. 2 ⊢ Rel (V × V)
8		relss 5759	. 2 ⊢ ( ≃𝑟 ⊆ (V × V) → (Rel (V × V) → Rel ≃𝑟 ))
9	6, 7, 8	mp2 9	1 ⊢ Rel ≃𝑟

This proof depends on syntax axioms:  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   “ cima 5654  Rel wrel 5656  1_oc1o 8476   RingIso crs 20709   ≃_𝑟 cric 20710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-rim 20712  df-ric 20752

This theorem is used by:  ricer  20765  dfric2  20766