Theorem ricrel 20622

Description: The domain of the ring isomorphism relation is a relation. (Contributed by AV, 24-Jul-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ricrel	⊢ Rel ≃𝑟

Proof of Theorem ricrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ric 20621	. . 3 ⊢ ≃𝑟 = (◡ RingIso “ (V ∖ 1o))
2		cnvimass 6086	. . . 4 ⊢ (◡ RingIso “ (V ∖ 1o)) ⊆ dom RingIso
3		rimfn 20615	. . . . 5 ⊢ RingIso Fn (V × V)
4	3	fndmi 6643	. . . 4 ⊢ dom RingIso = (V × V)
5	2, 4	sseqtri 3986	. . 3 ⊢ (◡ RingIso “ (V ∖ 1o)) ⊆ (V × V)
6	1, 5	eqsstri 3984	. 2 ⊢ ≃𝑟 ⊆ (V × V)
7		relxp 5681	. 2 ⊢ Rel (V × V)
8		relss 5770	. 2 ⊢ ( ≃𝑟 ⊆ (V × V) → (Rel (V × V) → Rel ≃𝑟 ))
9	6, 7, 8	mp2 9	1 ⊢ Rel ≃𝑟

This proof depends on syntax axioms:  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   “ cima 5666  Rel wrel 5668  1_oc1o 8448   RingIso crs 20578   ≃_𝑟 cric 20579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-rim 20581  df-ric 20621

This theorem is used by:  ricer  20634