Theorem dfric2 20784

Description: Alternate definition of the ring isomorphism relation. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.) (Revised by AV, 23-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dfric2	⊢ ≃𝑟 = {⟨𝑟, 𝑠⟩ ∣ ((𝑟 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingIso 𝑠))}

Distinct variable group:   𝑓,𝑟,𝑠

Proof of Theorem dfric2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbrric2 20780	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ≃𝑟 𝑠 ↔ ((𝑟 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingIso 𝑠)))
2	1	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = ⟨𝑟, 𝑠⟩ ∧ 𝑟 ≃𝑟 𝑠) ↔ (𝑥 = ⟨𝑟, 𝑠⟩ ∧ ((𝑟 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingIso 𝑠))))
3	2	2exbii 1882	. . 3 ⊢ (∃𝑟∃𝑠(𝑥 = ⟨𝑟, 𝑠⟩ ∧ 𝑟 ≃𝑟 𝑠) ↔ ∃𝑟∃𝑠(𝑥 = ⟨𝑟, 𝑠⟩ ∧ ((𝑟 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingIso 𝑠))))
4		ricrel 20771	. . . 4 ⊢ Rel ≃𝑟
5		elrelb 5780	. . . 4 ⊢ (Rel ≃𝑟 → (𝑥 ∈ ≃𝑟 ↔ ∃𝑟∃𝑠(𝑥 = ⟨𝑟, 𝑠⟩ ∧ 𝑟 ≃𝑟 𝑠)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ≃𝑟 ↔ ∃𝑟∃𝑠(𝑥 = ⟨𝑟, 𝑠⟩ ∧ 𝑟 ≃𝑟 𝑠))
7		elopab 5505	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {⟨𝑟, 𝑠⟩ ∣ ((𝑟 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingIso 𝑠))} ↔ ∃𝑟∃𝑠(𝑥 = ⟨𝑟, 𝑠⟩ ∧ ((𝑟 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingIso 𝑠))))
8	3, 6, 7	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ≃𝑟 ↔ 𝑥 ∈ {⟨𝑟, 𝑠⟩ ∣ ((𝑟 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingIso 𝑠))})
9	8	eqriv 2760	1 ⊢ ≃𝑟 = {⟨𝑟, 𝑠⟩ ∣ ((𝑟 ∈ Ring ∧ 𝑠 ∈ Ring) ∧ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑟 RingIso 𝑠))}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  {copab 5170  Rel wrel 5660  (class class class)co 7440  Ringcrg 20486   RingIso crs 20727   ≃_𝑟 cric 20728

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mhm 19004  df-ghm 19454  df-mgp 20388  df-ur 20435  df-ring 20488  df-rhm 20729  df-rim 20730  df-ric 20770

This theorem is used by: (None)