Theorem brric 20760

Description: The relation "is isomorphic to" for (unital) rings. (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brric	⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem brric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ric 20758	. 2 ⊢ ≃𝑟 = (◡ RingIso “ (V ∖ 1o))
2		rimfn 20752	. 2 ⊢ RingIso Fn (V × V)
3	1, 2	brwitnlem 8529	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 RingIso 𝑆) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5106   × cxp 5653  (class class class)co 7430   RingIso crs 20715   ≃_𝑟 cric 20716

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-1o 8490  df-rim 20718  df-ric 20758

This theorem is used by:  brrici  20761  riclcl  20764  ricrcl  20765  ricsym  20766  rictr  20767  isbrric2  20768  mat1ric  22817  scmatric  22867  matcpmric  23092  pmmpric  23156  ricnzr1  33905  ricdomn1  33906  riccrng1  43728  ricdrng1  43738