MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbthb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbthb 8475
Description: Schroeder-Bernstein Theorem and its converse. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sbthb ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵)

Proof of Theorem sbthb
StepHypRef Expression
1 sbth 8474 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
2 endom 8374 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
3 ensym 8396 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 endom 8374 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
53, 4syl 17 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
62, 5jca 512 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
71, 6impbii 210 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396   class class class wbr 4956  cen 8344  cdom 8345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-br 4957  df-opab 5019  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349
This theorem is referenced by:  sbthcl  8476  dom0  8482  carden2  9251  axgroth2  10082
  Copyright terms: Public domain W3C validator