Theorem sbthb 9134

Description: Schroeder-Bernstein Theorem and its converse. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sbthb	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem sbthb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 9133	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		endom 9019	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		ensym 9043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		endom 9019	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
6	2, 5	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))
7	1, 6	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   class class class wbr 5143   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987

This theorem is referenced by:  sbthcl  9135  dom0OLD  9143  carden2  10027  axgroth2  10865