MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sbthb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sbthb 9091
Description: Schroeder-Bernstein Theorem and its converse. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
sbthb ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵)

Proof of Theorem sbthb
StepHypRef Expression
1 sbth 9090 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
2 endom 8972 . . 3 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
3 ensym 8996 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 endom 8972 . . . 4 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
53, 4syl 17 . . 3 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
62, 5jca 511 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
71, 6impbii 208 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   class class class wbr 5139  cen 8933  cdom 8934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938
This theorem is referenced by:  sbthcl  9092  dom0OLD  9100  carden2  9979  axgroth2  10817
  Copyright terms: Public domain W3C validator