Theorem sbthb 9022

Description: Schroeder-Bernstein Theorem and its converse. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sbthb	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem sbthb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 9021	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		endom 8911	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		ensym 8935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		endom 8911	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
6	2, 5	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))
7	1, 6	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   class class class wbr 5095   ≈ cen 8876   ≼ cdom 8877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881

This theorem is referenced by:  sbthcl  9023  carden2  9902  axgroth2  10738