Theorem sbthb 8881

Description: Schroeder-Bernstein Theorem and its converse. (Contributed by NM, 8-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sbthb	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵)

Proof of Theorem sbthb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 8880	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		endom 8767	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
3		ensym 8789	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
4		endom 8767	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴)
6	2, 5	jca 512	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴))
7	1, 6	impbii 208	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   class class class wbr 5074   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735

This theorem is referenced by:  sbthcl  8882  dom0OLD  8890  carden2  9745  axgroth2  10581