Theorem ensym 8999

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensym	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 8998	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	biimpi 215	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5149   ≈ cen 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-er 8703  df-en 8940

This theorem is referenced by:  ensymi  9000  ensymd  9001  sbthb  9094  domnsym  9099  sdomdomtr  9110  domsdomtr  9112  enen1  9117  enen2  9118  domen1  9119  domen2  9120  sdomen1  9121  sdomen2  9122  domtriord  9123  xpen  9140  pwen  9150  nneneqOLD  9221  php2OLD  9223  php3OLD  9224  phpeqdOLD  9225  ominfOLD  9259  fineqvlem  9262  en1eqsnOLD  9275  dif1ennnALT  9277  enp1iOLD  9280  findcard3OLD  9286  isfinite2  9301  nnsdomgOLD  9303  domunfican  9320  infcntss  9321  fiint  9324  wdomen1  9571  wdomen2  9572  unxpwdom2  9583  karden  9890  finnum  9943  carden2b  9962  fidomtri2  9989  cardmin2  9994  pr2neOLD  10000  en2eleq  10003  infxpenlem  10008  acnen  10048  acnen2  10050  infpwfien  10057  alephordi  10069  alephinit  10090  dfac12lem2  10139  dfac12r  10141  undjudom  10162  djucomen  10172  djuinf  10183  pwsdompw  10199  infmap2  10213  ackbij1b  10234  cflim2  10258  fin4en1  10304  domfin4  10306  fin23lem25  10319  fin23lem23  10321  enfin1ai  10379  fin67  10390  isfin7-2  10391  fin1a2lem11  10405  axcc2lem  10431  axcclem  10452  numthcor  10489  carden  10546  sdomsdomcard  10555  canthnum  10644  canthwe  10646  canthp1lem2  10648  canthp1  10649  pwxpndom2  10660  gchdjuidm  10663  gchxpidm  10664  gchpwdom  10665  inawinalem  10684  grudomon  10812  isfinite4  14322  hashfn  14335  ramub2  16947  dfod2  19432  sylow2blem1  19488  znhash  21114  hauspwdom  23005  rectbntr0  24348  ovolctb  25007  dyadmbl  25117  eupthfi  29458  derangen  34163  finminlem  35203  domalom  36285  phpreu  36472  pellexlem4  41570  pellexlem5  41571  pellex  41573