Theorem ensym 9013

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensym	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 9012	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	biimpi 219	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   class class class wbr 5107   ≈ cen 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-er 8700  df-en 8957

This theorem is used by:  ensymi  9014  ensymd  9015  sbthb  9100  domnsym  9105  sdomdomtr  9112  domsdomtr  9114  enen1  9119  enen2  9120  domen1  9121  domen2  9122  sdomen1  9123  sdomen2  9124  domtriord  9125  xpen  9142  pwen  9152  fineqvlem  9240  dif1ennnALT  9251  isfinite2  9272  domunfican  9295  infcntss  9296  wdomen1  9552  wdomen2  9553  unxpwdom2  9564  kardenOLD  9903  finnum  9957  carden2b  9976  fidomtri2  10003  cardmin2  10008  en2eleq  10015  infxpenlem  10020  acnen  10060  acnen2  10062  infpwfien  10069  alephordi  10081  alephinit  10102  dfac12lem2  10151  dfac12r  10153  undjudom  10174  djucomen  10184  djuinf  10195  pwsdompw  10209  infmap2  10223  ackbij1b  10244  cflim2  10269  fin4en1  10315  domfin4  10317  fin23lem25  10330  fin23lem23  10332  enfin1ai  10390  fin67  10401  isfin7-2  10402  fin1a2lem11  10416  axcc2lem  10442  axcclem  10463  numthcor  10500  carden  10563  sdomsdomcard  10572  canthnum  10662  canthwe  10664  canthp1lem2  10666  canthp1  10667  pwxpndom2  10678  gchdjuidm  10681  gchxpidm  10682  gchpwdom  10683  inawinalem  10702  grudomon  10830  isfinite4  14430  hashfn  14443  ramub2  17112  dfod2  19697  sylow2blem1  19753  znhash  21777  hauspwdom  23733  rectbntr0  25065  ovolctb  25724  dyadmbl  25834  eupthfi  30693  padct  33197  karddom  35695  kardsdom  35696  kardexen  35697  derangen  35759  finminlem  36945  domalom  38166  phpreu  38366  pellexlem4  43681  pellexlem5  43682  pellex  43684