Theorem ensym 9063

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensym	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 9062	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	biimpi 216	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5166   ≈ cen 9000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-er 8763  df-en 9004

This theorem is referenced by:  ensymi  9064  ensymd  9065  sbthb  9160  domnsym  9165  sdomdomtr  9176  domsdomtr  9178  enen1  9183  enen2  9184  domen1  9185  domen2  9186  sdomen1  9187  sdomen2  9188  domtriord  9189  xpen  9206  pwen  9216  nneneqOLD  9284  php2OLD  9286  php3OLD  9287  phpeqdOLD  9288  ominfOLD  9322  fineqvlem  9325  en1eqsnOLD  9337  dif1ennnALT  9339  enp1iOLD  9342  findcard3OLD  9347  isfinite2  9362  nnsdomgOLD  9364  domunfican  9389  infcntss  9390  fiintOLD  9395  wdomen1  9645  wdomen2  9646  unxpwdom2  9657  karden  9964  finnum  10017  carden2b  10036  fidomtri2  10063  cardmin2  10068  pr2neOLD  10074  en2eleq  10077  infxpenlem  10082  acnen  10122  acnen2  10124  infpwfien  10131  alephordi  10143  alephinit  10164  dfac12lem2  10214  dfac12r  10216  undjudom  10237  djucomen  10247  djuinf  10258  pwsdompw  10272  infmap2  10286  ackbij1b  10307  cflim2  10332  fin4en1  10378  domfin4  10380  fin23lem25  10393  fin23lem23  10395  enfin1ai  10453  fin67  10464  isfin7-2  10465  fin1a2lem11  10479  axcc2lem  10505  axcclem  10526  numthcor  10563  carden  10620  sdomsdomcard  10629  canthnum  10718  canthwe  10720  canthp1lem2  10722  canthp1  10723  pwxpndom2  10734  gchdjuidm  10737  gchxpidm  10738  gchpwdom  10739  inawinalem  10758  grudomon  10886  isfinite4  14411  hashfn  14424  ramub2  17061  dfod2  19606  sylow2blem1  19662  znhash  21600  hauspwdom  23530  rectbntr0  24873  ovolctb  25544  dyadmbl  25654  eupthfi  30237  derangen  35140  finminlem  36284  domalom  37370  phpreu  37564  pellexlem4  42788  pellexlem5  42789  pellex  42791