Theorem ensym 8935

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensym	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 8934	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	biimpi 216	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5095   ≈ cen 8876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-er 8632  df-en 8880

This theorem is referenced by:  ensymi  8936  ensymd  8937  sbthb  9022  domnsym  9027  sdomdomtr  9034  domsdomtr  9036  enen1  9041  enen2  9042  domen1  9043  domen2  9044  sdomen1  9045  sdomen2  9046  domtriord  9047  xpen  9064  pwen  9074  ominfOLD  9164  fineqvlem  9167  en1eqsnOLD  9178  dif1ennnALT  9180  enp1iOLD  9183  findcard3OLD  9188  isfinite2  9203  nnsdomgOLD  9205  domunfican  9230  infcntss  9231  fiintOLD  9236  wdomen1  9487  wdomen2  9488  unxpwdom2  9499  karden  9810  finnum  9863  carden2b  9882  fidomtri2  9909  cardmin2  9914  en2eleq  9921  infxpenlem  9926  acnen  9966  acnen2  9968  infpwfien  9975  alephordi  9987  alephinit  10008  dfac12lem2  10058  dfac12r  10060  undjudom  10081  djucomen  10091  djuinf  10102  pwsdompw  10116  infmap2  10130  ackbij1b  10151  cflim2  10176  fin4en1  10222  domfin4  10224  fin23lem25  10237  fin23lem23  10239  enfin1ai  10297  fin67  10308  isfin7-2  10309  fin1a2lem11  10323  axcc2lem  10349  axcclem  10370  numthcor  10407  carden  10464  sdomsdomcard  10473  canthnum  10562  canthwe  10564  canthp1lem2  10566  canthp1  10567  pwxpndom2  10578  gchdjuidm  10581  gchxpidm  10582  gchpwdom  10583  inawinalem  10602  grudomon  10730  isfinite4  14287  hashfn  14300  ramub2  16944  dfod2  19461  sylow2blem1  19517  znhash  21483  hauspwdom  23404  rectbntr0  24737  ovolctb  25407  dyadmbl  25517  eupthfi  30167  derangen  35144  finminlem  36291  domalom  37377  phpreu  37583  pellexlem4  42805  pellexlem5  42806  pellex  42808