Theorem ensym 8677

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensym	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 8676	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	biimpi 219	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5053   ≈ cen 8623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-er 8391  df-en 8627

This theorem is referenced by:  ensymi  8678  ensymd  8679  sbthb  8767  domnsym  8772  sdomdomtr  8779  domsdomtr  8781  enen1  8786  enen2  8787  domen1  8788  domen2  8789  sdomen1  8790  sdomen2  8791  domtriord  8792  xpen  8809  pwen  8819  nneneq  8829  php2  8831  php3  8832  phpeqd  8835  ominf  8890  fineqvlem  8892  en1eqsn  8904  dif1enALT  8907  enp1i  8909  findcard3  8914  isfinite2  8929  nnsdomg  8930  domunfican  8944  infcntss  8945  fiint  8948  wdomen1  9192  wdomen2  9193  unxpwdom2  9204  karden  9511  finnum  9564  carden2b  9583  fidomtri2  9610  cardmin2  9615  pr2ne  9619  en2eleq  9622  infxpenlem  9627  acnen  9667  acnen2  9669  infpwfien  9676  alephordi  9688  alephinit  9709  dfac12lem2  9758  dfac12r  9760  undjudom  9781  djucomen  9791  djuinf  9802  pwsdompw  9818  infmap2  9832  ackbij1b  9853  cflim2  9877  fin4en1  9923  domfin4  9925  fin23lem25  9938  fin23lem23  9940  enfin1ai  9998  fin67  10009  isfin7-2  10010  fin1a2lem11  10024  axcc2lem  10050  axcclem  10071  numthcor  10108  carden  10165  sdomsdomcard  10174  canthnum  10263  canthwe  10265  canthp1lem2  10267  canthp1  10268  pwxpndom2  10279  gchdjuidm  10282  gchxpidm  10283  gchpwdom  10284  inawinalem  10303  grudomon  10431  isfinite4  13929  hashfn  13942  ramub2  16567  dfod2  18955  sylow2blem1  19009  znhash  20523  hauspwdom  22398  rectbntr0  23729  ovolctb  24387  dyadmbl  24497  eupthfi  28288  derangen  32847  finminlem  34244  domalom  35312  phpreu  35498  pellexlem4  40357  pellexlem5  40358  pellex  40360