Theorem ensym 8950

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensym	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 8949	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	biimpi 216	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5085   ≈ cen 8890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-er 8643  df-en 8894

This theorem is referenced by:  ensymi  8951  ensymd  8952  sbthb  9036  domnsym  9041  sdomdomtr  9048  domsdomtr  9050  enen1  9055  enen2  9056  domen1  9057  domen2  9058  sdomen1  9059  sdomen2  9060  domtriord  9061  xpen  9078  pwen  9088  fineqvlem  9176  dif1ennnALT  9187  isfinite2  9208  domunfican  9232  infcntss  9233  wdomen1  9491  wdomen2  9492  unxpwdom2  9503  karden  9819  finnum  9872  carden2b  9891  fidomtri2  9918  cardmin2  9923  en2eleq  9930  infxpenlem  9935  acnen  9975  acnen2  9977  infpwfien  9984  alephordi  9996  alephinit  10017  dfac12lem2  10067  dfac12r  10069  undjudom  10090  djucomen  10100  djuinf  10111  pwsdompw  10125  infmap2  10139  ackbij1b  10160  cflim2  10185  fin4en1  10231  domfin4  10233  fin23lem25  10246  fin23lem23  10248  enfin1ai  10306  fin67  10317  isfin7-2  10318  fin1a2lem11  10332  axcc2lem  10358  axcclem  10379  numthcor  10416  carden  10473  sdomsdomcard  10482  canthnum  10572  canthwe  10574  canthp1lem2  10576  canthp1  10577  pwxpndom2  10588  gchdjuidm  10591  gchxpidm  10592  gchpwdom  10593  inawinalem  10612  grudomon  10740  isfinite4  14324  hashfn  14337  ramub2  16985  dfod2  19539  sylow2blem1  19595  znhash  21538  hauspwdom  23466  rectbntr0  24798  ovolctb  25457  dyadmbl  25567  eupthfi  30275  padct  32791  derangen  35354  finminlem  36500  domalom  37720  phpreu  37925  pellexlem4  43260  pellexlem5  43261  pellex  43263