Theorem ensym 8789

Description: Symmetry of equinumerosity. Theorem 2 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ensym	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem ensym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymb 8788	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴)
2	1	biimpi 215	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5074   ≈ cen 8730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-er 8498  df-en 8734

This theorem is referenced by:  ensymi  8790  ensymd  8791  sbthb  8881  domnsym  8886  sdomdomtr  8897  domsdomtr  8899  enen1  8904  enen2  8905  domen1  8906  domen2  8907  sdomen1  8908  sdomen2  8909  domtriord  8910  xpen  8927  pwen  8937  nneneqOLD  9004  php2OLD  9006  php3OLD  9007  phpeqdOLD  9008  ominf  9035  fineqvlem  9037  en1eqsn  9048  dif1enALT  9050  enp1i  9052  findcard3  9057  isfinite2  9072  nnsdomg  9073  domunfican  9087  infcntss  9088  fiint  9091  wdomen1  9335  wdomen2  9336  unxpwdom2  9347  karden  9653  finnum  9706  carden2b  9725  fidomtri2  9752  cardmin2  9757  pr2ne  9761  en2eleq  9764  infxpenlem  9769  acnen  9809  acnen2  9811  infpwfien  9818  alephordi  9830  alephinit  9851  dfac12lem2  9900  dfac12r  9902  undjudom  9923  djucomen  9933  djuinf  9944  pwsdompw  9960  infmap2  9974  ackbij1b  9995  cflim2  10019  fin4en1  10065  domfin4  10067  fin23lem25  10080  fin23lem23  10082  enfin1ai  10140  fin67  10151  isfin7-2  10152  fin1a2lem11  10166  axcc2lem  10192  axcclem  10213  numthcor  10250  carden  10307  sdomsdomcard  10316  canthnum  10405  canthwe  10407  canthp1lem2  10409  canthp1  10410  pwxpndom2  10421  gchdjuidm  10424  gchxpidm  10425  gchpwdom  10426  inawinalem  10445  grudomon  10573  isfinite4  14077  hashfn  14090  ramub2  16715  dfod2  19171  sylow2blem1  19225  znhash  20766  hauspwdom  22652  rectbntr0  23995  ovolctb  24654  dyadmbl  24764  eupthfi  28569  derangen  33134  finminlem  34507  domalom  35575  phpreu  35761  pellexlem4  40654  pellexlem5  40655  pellex  40657