Theorem carden2 9992

Description: Two numerable sets are equinumerous iff their cardinal numbers are equal. Unlike carden 10559, the Axiom of Choice is not required. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
carden2	⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem carden2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carddom2 9982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		carddom2 9982	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
3	2	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐵) ⊆ (card‘𝐴) ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
4	1, 3	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → (((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ⊆ (card‘𝐴)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴)))
5		eqss 3946	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ ((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ⊆ (card‘𝐴)))
6	5	bicomi 227	. 2 ⊢ (((card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ⊆ (card‘𝐴)) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵))
7		sbthb 9096	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐴) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵)
8	4, 6, 7	3bitr3g 316	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  ‘cfv 6533   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950  cardccrd 9940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-card 9944

This theorem is used by:  cardsdom2  9993  pm54.43lem  10005  sdom2en01  10304  fin23lem22  10329  fin1a2lem9  10410  pwfseqlem4  10671  hashen  14411  kardcard2  35692