MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatel 22425
Description: An ๐‘ x ๐‘ scalar matrix over (a ring) ๐‘…. (Contributed by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatval.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
scmatval.1 1 = (1rโ€˜๐ด)
scmatval.t ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
scmatval.s ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatel ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘€ = (๐‘ ยท 1 ))))
Distinct variable groups:   ๐พ,๐‘   ๐‘,๐‘   ๐‘…,๐‘   ๐‘€,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘)   ๐ต(๐‘)   ๐‘†(๐‘)   ยท (๐‘)   1 (๐‘)   ๐‘‰(๐‘)

Proof of Theorem scmatel
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatval.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatval.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatval.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 scmatval.1 . . . 4 1 = (1rโ€˜๐ด)
5 scmatval.t . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
6 scmatval.s . . . 4 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatval 22424 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘† = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )})
87eleq2d 2814 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘€ โˆˆ {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )}))
9 eqeq1 2731 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘š = (๐‘ ยท 1 ) โ†” ๐‘€ = (๐‘ ยท 1 )))
109rexbidv 3174 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 ) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘€ = (๐‘ ยท 1 )))
1110elrab 3682 . 2 (๐‘€ โˆˆ {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )} โ†” (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘€ = (๐‘ ยท 1 )))
128, 11bitrdi 286 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘€ = (๐‘ ยท 1 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3066  {crab 3428  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Fincfn 8968  Basecbs 17185   ยท๐‘  cvsca 17242  1rcur 20126   Mat cmat 22325   ScMat cscmat 22409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-scmat 22411
This theorem is referenced by:  scmatscmid  22426  scmatmat  22429  scmatid  22434  scmataddcl  22436  scmatsubcl  22437  scmatmulcl  22438  smatvscl  22444  scmatrhmcl  22448  mat0scmat  22458  mat1scmat  22459  chmaidscmat  22768
  Copyright terms: Public domain W3C validator