![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > scmatel | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An ๐ x ๐ scalar matrix over (a ring) ๐ . (Contributed by AV, 18-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
scmatval.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
scmatval.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
scmatval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
scmatval.1 | โข 1 = (1rโ๐ด) |
scmatval.t | โข ยท = ( ยท๐ โ๐ด) |
scmatval.s | โข ๐ = (๐ ScMat ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
scmatel | โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 )))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | scmatval.k | . . . 4 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
2 | scmatval.a | . . . 4 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
3 | scmatval.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
4 | scmatval.1 | . . . 4 โข 1 = (1rโ๐ด) | |
5 | scmatval.t | . . . 4 โข ยท = ( ยท๐ โ๐ด) | |
6 | scmatval.s | . . . 4 โข ๐ = (๐ ScMat ๐ ) | |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | scmatval 22424 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ ๐ = {๐ โ ๐ต โฃ โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 )}) |
8 | 7 | eleq2d 2814 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โ ๐ โ {๐ โ ๐ต โฃ โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 )})) |
9 | eqeq1 2731 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ = (๐ ยท 1 ) โ ๐ = (๐ ยท 1 ))) | |
10 | 9 | rexbidv 3174 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 ) โ โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 ))) |
11 | 10 | elrab 3682 | . 2 โข (๐ โ {๐ โ ๐ต โฃ โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 )} โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 ))) |
12 | 8, 11 | bitrdi 286 | 1 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 )))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3066 {crab 3428 โcfv 6551 (class class class)co 7424 Fincfn 8968 Basecbs 17185 ยท๐ cvsca 17242 1rcur 20126 Mat cmat 22325 ScMat cscmat 22409 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pr 5431 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4325 df-if 4531 df-sn 4631 df-pr 4633 df-op 4637 df-uni 4911 df-br 5151 df-opab 5213 df-id 5578 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fv 6559 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-scmat 22411 |
This theorem is referenced by: scmatscmid 22426 scmatmat 22429 scmatid 22434 scmataddcl 22436 scmatsubcl 22437 scmatmulcl 22438 smatvscl 22444 scmatrhmcl 22448 mat0scmat 22458 mat1scmat 22459 chmaidscmat 22768 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |