![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > scmatel | Structured version Visualization version GIF version |
Description: An ๐ x ๐ scalar matrix over (a ring) ๐ . (Contributed by AV, 18-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
scmatval.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
scmatval.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
scmatval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
scmatval.1 | โข 1 = (1rโ๐ด) |
scmatval.t | โข ยท = ( ยท๐ โ๐ด) |
scmatval.s | โข ๐ = (๐ ScMat ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
scmatel | โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 )))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | scmatval.k | . . . 4 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
2 | scmatval.a | . . . 4 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
3 | scmatval.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
4 | scmatval.1 | . . . 4 โข 1 = (1rโ๐ด) | |
5 | scmatval.t | . . . 4 โข ยท = ( ยท๐ โ๐ด) | |
6 | scmatval.s | . . . 4 โข ๐ = (๐ ScMat ๐ ) | |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | scmatval 22357 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ ๐ = {๐ โ ๐ต โฃ โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 )}) |
8 | 7 | eleq2d 2813 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โ ๐ โ {๐ โ ๐ต โฃ โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 )})) |
9 | eqeq1 2730 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ = (๐ ยท 1 ) โ ๐ = (๐ ยท 1 ))) | |
10 | 9 | rexbidv 3172 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 ) โ โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 ))) |
11 | 10 | elrab 3678 | . 2 โข (๐ โ {๐ โ ๐ต โฃ โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 )} โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 ))) |
12 | 8, 11 | bitrdi 287 | 1 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โ (๐ โ ๐ต โง โ๐ โ ๐พ ๐ = (๐ ยท 1 )))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3064 {crab 3426 โcfv 6536 (class class class)co 7404 Fincfn 8938 Basecbs 17151 ยท๐ cvsca 17208 1rcur 20084 Mat cmat 22258 ScMat cscmat 22342 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pr 5420 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fv 6544 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-scmat 22344 |
This theorem is referenced by: scmatscmid 22359 scmatmat 22362 scmatid 22367 scmataddcl 22369 scmatsubcl 22370 scmatmulcl 22371 smatvscl 22377 scmatrhmcl 22381 mat0scmat 22391 mat1scmat 22392 chmaidscmat 22701 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |