MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chmaidscmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chmaidscmat 22705
Description: The characteristic polynomial of a matrix multiplied with the identity matrix is a scalar matrix. (Contributed by AV, 30-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
chmaidscmat.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
chmaidscmat.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
chmaidscmat.c ๐ถ = (๐‘ CharPlyMat ๐‘…)
chmaidscmat.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
chmaidscmat.e ๐ธ = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
chmaidscmat.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
chmaidscmat.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘Œ)
chmaidscmat.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
chmaidscmat.1 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
chmaidscmat.d ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
chmaidscmat ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem chmaidscmat
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 20150 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 chmaidscmat.p . . . . . . 7 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
32ply1ring 22121 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
41, 3syl 17 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
54anim2i 616 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring))
653adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring))
7 chmaidscmat.c . . . 4 ๐ถ = (๐‘ CharPlyMat ๐‘…)
8 chmaidscmat.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
9 chmaidscmat.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
10 chmaidscmat.e . . . 4 ๐ธ = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
117, 8, 9, 2, 10chpmatply1 22689 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ธ)
12 chmaidscmat.y . . . . . . 7 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
132, 12pmatring 22549 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
141, 13sylan2 592 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
15 chmaidscmat.k . . . . . 6 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘Œ)
16 chmaidscmat.1 . . . . . 6 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
1715, 16ringidcl 20165 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐พ)
1814, 17syl 17 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ 1 โˆˆ ๐พ)
19183adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ ๐พ)
20 chmaidscmat.m . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
2110, 12, 15, 20matvscl 22288 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring) โˆง ((๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ธ โˆง 1 โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐พ)
226, 11, 19, 21syl12anc 834 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐พ)
23 risset 3224 . . . 4 ((๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ธ โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘ = (๐ถโ€˜๐‘€))
24 oveq1 7412 . . . . . . . 8 ((๐ถโ€˜๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 ))
2524eqcoms 2734 . . . . . . 7 (๐‘ = (๐ถโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 ))
2625a1i 11 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘ = (๐ถโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 )))
2726reximdva 3162 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘ = (๐ถโ€˜๐‘€) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 )))
2827com12 32 . . . 4 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘ = (๐ถโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 )))
2923, 28sylbi 216 . . 3 ((๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ธ โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 )))
3011, 29mpcom 38 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 ))
31 chmaidscmat.d . . . 4 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘ƒ)
3210, 12, 15, 16, 20, 31scmatel 22362 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐‘† โ†” (((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐พ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 ))))
336, 32syl 17 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐‘† โ†” (((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐พ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 ))))
3422, 30, 33mpbir2and 710 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153   ยท๐‘  cvsca 17210  1rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  Poly1cpl1 22051   Mat cmat 22262   ScMat cscmat 22346   CharPlyMat cchpmat 22683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-scmat 22348  df-mdet 22442  df-mat2pmat 22564  df-chpmat 22684
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator