MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chmaidscmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chmaidscmat 22778
Description: The characteristic polynomial of a matrix multiplied with the identity matrix is a scalar matrix. (Contributed by AV, 30-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
chmaidscmat.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
chmaidscmat.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
chmaidscmat.c ๐ถ = (๐‘ CharPlyMat ๐‘…)
chmaidscmat.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
chmaidscmat.e ๐ธ = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
chmaidscmat.y ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
chmaidscmat.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘Œ)
chmaidscmat.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
chmaidscmat.1 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
chmaidscmat.d ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
chmaidscmat ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem chmaidscmat
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 20199 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 chmaidscmat.p . . . . . . 7 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
32ply1ring 22185 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
41, 3syl 17 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Ring)
54anim2i 615 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring))
653adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring))
7 chmaidscmat.c . . . 4 ๐ถ = (๐‘ CharPlyMat ๐‘…)
8 chmaidscmat.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
9 chmaidscmat.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
10 chmaidscmat.e . . . 4 ๐ธ = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
117, 8, 9, 2, 10chpmatply1 22762 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ธ)
12 chmaidscmat.y . . . . . . 7 ๐‘Œ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
132, 12pmatring 22622 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
141, 13sylan2 591 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
15 chmaidscmat.k . . . . . 6 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘Œ)
16 chmaidscmat.1 . . . . . 6 1 = (1rโ€˜๐‘Œ)
1715, 16ringidcl 20216 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐พ)
1814, 17syl 17 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing) โ†’ 1 โˆˆ ๐พ)
19183adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ ๐พ)
20 chmaidscmat.m . . . 4 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
2110, 12, 15, 20matvscl 22361 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring) โˆง ((๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ธ โˆง 1 โˆˆ ๐พ)) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐พ)
226, 11, 19, 21syl12anc 835 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐พ)
23 risset 3228 . . . 4 ((๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ธ โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘ = (๐ถโ€˜๐‘€))
24 oveq1 7433 . . . . . . . 8 ((๐ถโ€˜๐‘€) = ๐‘ โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 ))
2524eqcoms 2736 . . . . . . 7 (๐‘ = (๐ถโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 ))
2625a1i 11 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘ = (๐ถโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 )))
2726reximdva 3165 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘ = (๐ถโ€˜๐‘€) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 )))
2827com12 32 . . . 4 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘ = (๐ถโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 )))
2923, 28sylbi 216 . . 3 ((๐ถโ€˜๐‘€) โˆˆ ๐ธ โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 )))
3011, 29mpcom 38 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 ))
31 chmaidscmat.d . . . 4 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘ƒ)
3210, 12, 15, 16, 20, 31scmatel 22435 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Ring) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐‘† โ†” (((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐พ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 ))))
336, 32syl 17 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐‘† โ†” (((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐พ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) = (๐‘ ยท 1 ))))
3422, 30, 33mpbir2and 711 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘€) ยท 1 ) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3067  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  Basecbs 17189   ยท๐‘  cvsca 17246  1rcur 20135  Ringcrg 20187  CRingccrg 20188  Poly1cpl1 22114   Mat cmat 22335   ScMat cscmat 22419   CharPlyMat cchpmat 22756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-word 14507  df-lsw 14555  df-concat 14563  df-s1 14588  df-substr 14633  df-pfx 14663  df-splice 14742  df-reverse 14751  df-s2 14841  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-efmnd 18835  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-gim 19227  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-symg 19336  df-pmtr 19411  df-psgn 19460  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-cnfld 21294  df-zring 21387  df-zrh 21443  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-ascl 21803  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-psr1 22117  df-vr1 22118  df-ply1 22119  df-mamu 22319  df-mat 22336  df-scmat 22421  df-mdet 22515  df-mat2pmat 22637  df-chpmat 22757
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator