MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatval 22393
Description: The set of ๐‘ x ๐‘ scalar matrices over (a ring) ๐‘…. (Contributed by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatval.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
scmatval.1 1 = (1rโ€˜๐ด)
scmatval.t ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
scmatval.s ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatval ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘† = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )})
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘š   ๐พ,๐‘   ๐‘,๐‘,๐‘š   ๐‘…,๐‘,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘š,๐‘)   ๐ต(๐‘)   ๐‘†(๐‘š,๐‘)   ยท (๐‘š,๐‘)   1 (๐‘š,๐‘)   ๐พ(๐‘š)   ๐‘‰(๐‘š,๐‘)

Proof of Theorem scmatval
Dummy variables ๐‘› ๐‘Ÿ ๐‘Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatval.s . 2 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
2 df-scmat 22380 . . . 4 ScMat = (๐‘› โˆˆ Fin, ๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(๐‘› Mat ๐‘Ÿ) / ๐‘ŽโฆŒ{๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ž) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐‘Ž))})
32a1i 11 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ScMat = (๐‘› โˆˆ Fin, ๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(๐‘› Mat ๐‘Ÿ) / ๐‘ŽโฆŒ{๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ž) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐‘Ž))}))
4 ovexd 7449 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…)) โ†’ (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โˆˆ V)
5 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ž) = (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))
6 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Ž) = ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))
7 eqidd 2728 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ ๐‘ = ๐‘)
8 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ (1rโ€˜๐‘Ž) = (1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))
96, 7, 8oveq123d 7435 . . . . . . . . 9 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐‘Ž)) = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))))
109eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐‘Ž)) โ†” ๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))))
1110rexbidv 3173 . . . . . . 7 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐‘Ž)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))))
125, 11rabeqbidv 3444 . . . . . 6 (๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) โ†’ {๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ž) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐‘Ž))} = {๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))})
1312adantl 481 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…)) โˆง ๐‘Ž = (๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) โ†’ {๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ž) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐‘Ž))} = {๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))})
144, 13csbied 3927 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…)) โ†’ โฆ‹(๐‘› Mat ๐‘Ÿ) / ๐‘ŽโฆŒ{๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ž) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐‘Ž))} = {๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))})
15 oveq12 7423 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘› Mat ๐‘Ÿ) = (๐‘ Mat ๐‘…))
1615fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
17 scmatval.b . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
18 scmatval.a . . . . . . . . 9 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
1918fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
2017, 19eqtri 2755 . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
2116, 20eqtr4di 2785 . . . . . 6 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = ๐ต)
22 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
23 scmatval.k . . . . . . . . 9 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2422, 23eqtr4di 2785 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐พ)
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐พ)
2615fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
27 scmatval.t . . . . . . . . . . 11 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
2818fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 ( ยท๐‘  โ€˜๐ด) = ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
2927, 28eqtri 2755 . . . . . . . . . 10 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
3026, 29eqtr4di 2785 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = ยท )
31 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ ๐‘ = ๐‘)
3215fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = (1rโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
33 scmatval.1 . . . . . . . . . . 11 1 = (1rโ€˜๐ด)
3418fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
3533, 34eqtri 2755 . . . . . . . . . 10 1 = (1rโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
3632, 35eqtr4di 2785 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) = 1 )
3730, 31, 36oveq123d 7435 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))) = (๐‘ ยท 1 ))
3837eqeq2d 2738 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))) โ†” ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )))
3925, 38rexeqbidv 3338 . . . . . 6 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )))
4021, 39rabeqbidv 3444 . . . . 5 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…) โ†’ {๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))} = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )})
4140adantl 481 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…)) โ†’ {๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ))(1rโ€˜(๐‘› Mat ๐‘Ÿ)))} = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )})
4214, 41eqtrd 2767 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘…)) โ†’ โฆ‹(๐‘› Mat ๐‘Ÿ) / ๐‘ŽโฆŒ{๐‘š โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ž) โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)๐‘š = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐‘Ž)(1rโ€˜๐‘Ž))} = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )})
43 simpl 482 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
44 elex 3488 . . . 4 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
4544adantl 481 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
4617fvexi 6905 . . . . 5 ๐ต โˆˆ V
4746rabex 5328 . . . 4 {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )} โˆˆ V
4847a1i 11 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )} โˆˆ V)
493, 42, 43, 45, 48ovmpod 7567 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ ScMat ๐‘…) = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )})
501, 49eqtrid 2779 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘† = {๐‘š โˆˆ ๐ต โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ ๐‘š = (๐‘ ยท 1 )})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469  โฆ‹csb 3889  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โˆˆ cmpo 7416  Fincfn 8955  Basecbs 17171   ยท๐‘  cvsca 17228  1rcur 20112   Mat cmat 22294   ScMat cscmat 22378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-scmat 22380
This theorem is referenced by:  scmatel  22394  scmatmats  22400  scmatlss  22414
  Copyright terms: Public domain W3C validator