![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > scmatrhmcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of the ring homomorphism ๐น is a scalar matrix. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
scmatrhmval.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
scmatrhmval.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
scmatrhmval.o | โข 1 = (1rโ๐ด) |
scmatrhmval.t | โข โ = ( ยท๐ โ๐ด) |
scmatrhmval.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐พ โฆ (๐ฅ โ 1 )) |
scmatrhmval.c | โข ๐ถ = (๐ ScMat ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
scmatrhmcl | โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ (๐นโ๐) โ ๐ถ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | scmatrhmval.k | . . . 4 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
2 | scmatrhmval.a | . . . 4 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
3 | scmatrhmval.o | . . . 4 โข 1 = (1rโ๐ด) | |
4 | scmatrhmval.t | . . . 4 โข โ = ( ยท๐ โ๐ด) | |
5 | scmatrhmval.f | . . . 4 โข ๐น = (๐ฅ โ ๐พ โฆ (๐ฅ โ 1 )) | |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | scmatrhmval 22384 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ (๐นโ๐) = (๐ โ 1 )) |
7 | 6 | 3adant1 1127 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ (๐นโ๐) = (๐ โ 1 )) |
8 | 3simpa 1145 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ (๐ โ Fin โง ๐ โ Ring)) | |
9 | simp3 1135 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ ๐ โ ๐พ) | |
10 | 2 | matring 22300 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ ๐ด โ Ring) |
11 | 10 | 3adant3 1129 | . . . . 5 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ ๐ด โ Ring) |
12 | eqid 2726 | . . . . . 6 โข (Baseโ๐ด) = (Baseโ๐ด) | |
13 | 12, 3 | ringidcl 20165 | . . . . 5 โข (๐ด โ Ring โ 1 โ (Baseโ๐ด)) |
14 | 11, 13 | syl 17 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ 1 โ (Baseโ๐ด)) |
15 | 1, 2, 12, 4 | matvscl 22288 | . . . 4 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โง (๐ โ ๐พ โง 1 โ (Baseโ๐ด))) โ (๐ โ 1 ) โ (Baseโ๐ด)) |
16 | 8, 9, 14, 15 | syl12anc 834 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ (๐ โ 1 ) โ (Baseโ๐ด)) |
17 | oveq1 7412 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ 1 ) = (๐ โ 1 )) | |
18 | 17 | eqeq2d 2737 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ ((๐ โ 1 ) = (๐ โ 1 ) โ (๐ โ 1 ) = (๐ โ 1 ))) |
19 | 18 | adantl 481 | . . . 4 โข (((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โง ๐ = ๐) โ ((๐ โ 1 ) = (๐ โ 1 ) โ (๐ โ 1 ) = (๐ โ 1 ))) |
20 | eqidd 2727 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ (๐ โ 1 ) = (๐ โ 1 )) | |
21 | 9, 19, 20 | rspcedvd 3608 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ โ๐ โ ๐พ (๐ โ 1 ) = (๐ โ 1 )) |
22 | scmatrhmval.c | . . . . 5 โข ๐ถ = (๐ ScMat ๐ ) | |
23 | 1, 2, 12, 3, 4, 22 | scmatel 22362 | . . . 4 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ ((๐ โ 1 ) โ ๐ถ โ ((๐ โ 1 ) โ (Baseโ๐ด) โง โ๐ โ ๐พ (๐ โ 1 ) = (๐ โ 1 )))) |
24 | 23 | 3adant3 1129 | . . 3 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ ((๐ โ 1 ) โ ๐ถ โ ((๐ โ 1 ) โ (Baseโ๐ด) โง โ๐ โ ๐พ (๐ โ 1 ) = (๐ โ 1 )))) |
25 | 16, 21, 24 | mpbir2and 710 | . 2 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ (๐ โ 1 ) โ ๐ถ) |
26 | 7, 25 | eqeltrd 2827 | 1 โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Ring โง ๐ โ ๐พ) โ (๐นโ๐) โ ๐ถ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3064 โฆ cmpt 5224 โcfv 6537 (class class class)co 7405 Fincfn 8941 Basecbs 17153 ยท๐ cvsca 17210 1rcur 20086 Ringcrg 20138 Mat cmat 22262 ScMat cscmat 22346 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-ot 4632 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-map 8824 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-sup 9439 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-seq 13973 df-hash 14296 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-ip 17224 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-hom 17230 df-cco 17231 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-prds 17402 df-pws 17404 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-mhm 18713 df-submnd 18714 df-grp 18866 df-minusg 18867 df-sbg 18868 df-mulg 18996 df-subg 19050 df-ghm 19139 df-cntz 19233 df-cmn 19702 df-abl 19703 df-mgp 20040 df-rng 20058 df-ur 20087 df-ring 20140 df-subrg 20471 df-lmod 20708 df-lss 20779 df-sra 21021 df-rgmod 21022 df-dsmm 21627 df-frlm 21642 df-mamu 22241 df-mat 22263 df-scmat 22348 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |