MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatrhmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatrhmcl 22448
Description: The value of the ring homomorphism ๐น is a scalar matrix. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatrhmval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatrhmval.o 1 = (1rโ€˜๐ด)
scmatrhmval.t โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
scmatrhmval.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆ— 1 ))
scmatrhmval.c ๐ถ = (๐‘ ScMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatrhmcl ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ถ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐พ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘‹   ๐‘ฅ, 1   ๐‘ฅ, โˆ—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐‘(๐‘ฅ)

Proof of Theorem scmatrhmcl
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . . . 4 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatrhmval.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatrhmval.o . . . 4 1 = (1rโ€˜๐ด)
4 scmatrhmval.t . . . 4 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
5 scmatrhmval.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆ— 1 ))
61, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 22447 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ— 1 ))
763adant1 1127 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ— 1 ))
8 3simpa 1145 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
9 simp3 1135 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
102matring 22363 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
11103adant3 1129 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
12 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
1312, 3ringidcl 20206 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1411, 13syl 17 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
151, 2, 12, 4matvscl 22351 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐พ โˆง 1 โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‹ โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
168, 9, 14, 15syl12anc 835 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‹ โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
17 oveq1 7423 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ โˆ— 1 ) = (๐‘‹ โˆ— 1 ))
1817eqeq2d 2736 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘‹ โˆ— 1 ) = (๐‘ โˆ— 1 ) โ†” (๐‘‹ โˆ— 1 ) = (๐‘‹ โˆ— 1 )))
1918adantl 480 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โˆง ๐‘ = ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‹ โˆ— 1 ) = (๐‘ โˆ— 1 ) โ†” (๐‘‹ โˆ— 1 ) = (๐‘‹ โˆ— 1 )))
20 eqidd 2726 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‹ โˆ— 1 ) = (๐‘‹ โˆ— 1 ))
219, 19, 20rspcedvd 3603 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ (๐‘‹ โˆ— 1 ) = (๐‘ โˆ— 1 ))
22 scmatrhmval.c . . . . 5 ๐ถ = (๐‘ ScMat ๐‘…)
231, 2, 12, 3, 4, 22scmatel 22425 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ((๐‘‹ โˆ— 1 ) โˆˆ ๐ถ โ†” ((๐‘‹ โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ (๐‘‹ โˆ— 1 ) = (๐‘ โˆ— 1 ))))
24233adant3 1129 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐‘‹ โˆ— 1 ) โˆˆ ๐ถ โ†” ((๐‘‹ โˆ— 1 ) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐พ (๐‘‹ โˆ— 1 ) = (๐‘ โˆ— 1 ))))
2516, 21, 24mpbir2and 711 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘‹ โˆ— 1 ) โˆˆ ๐ถ)
267, 25eqeltrd 2825 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) โˆˆ ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   โ†ฆ cmpt 5226  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  Basecbs 17179   ยท๐‘  cvsca 17236  1rcur 20125  Ringcrg 20177   Mat cmat 22325   ScMat cscmat 22409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-mamu 22309  df-mat 22326  df-scmat 22411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator