Theorem scmatrhmcl 22415

Description: The value of the ring homomorphism 𝐹 is a scalar matrix. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatrhmcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, ∗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem scmatrhmcl

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
4		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
6	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22414	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ∗ 1 ))
7	6	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ∗ 1 ))
8		3simpa 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
9		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
10	2	matring 22330	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
11	10	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ Ring)
12		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
13	12, 3	ringidcl 20174	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
15	1, 2, 12, 4	matvscl 22318	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
16	8, 9, 14, 15	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
17		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 ))
18	17	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ) ↔ (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 )))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) ∧ 𝑐 = 𝑋) → ((𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ) ↔ (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 )))
20		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 ))
21	9, 19, 20	rspcedvd 3590	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))
22		scmatrhmval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
23	1, 2, 12, 3, 4, 22	scmatel 22392	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))))
24	23	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))))
25	16, 21, 24	mpbir2and 713	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶)
26	7, 25	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179   ·_𝑠 cvsca 17224  1_rcur 20090  Ringcrg 20142   Mat cmat 22294   ScMat cscmat 22376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-mamu 22278  df-mat 22295  df-scmat 22378

This theorem is referenced by: (None)