Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatrhmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatrhmcl 21143
 Description: The value of the ring homomorphism 𝐹 is a scalar matrix. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1r𝐴)
scmatrhmval.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatrhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
scmatrhmval.c 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatrhmcl ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem scmatrhmcl
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatrhmval.o . . . 4 1 = (1r𝐴)
4 scmatrhmval.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
5 scmatrhmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
61, 2, 3, 4, 5scmatrhmval 21142 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝐹𝑋) = (𝑋 1 ))
763adant1 1127 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝐹𝑋) = (𝑋 1 ))
8 3simpa 1145 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
9 simp3 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → 𝑋𝐾)
102matring 21058 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
11103adant3 1129 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → 𝐴 ∈ Ring)
12 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
1312, 3ringidcl 19318 . . . . 5 (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
151, 2, 12, 4matvscl 21046 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝐾1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑋 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
168, 9, 14, 15syl12anc 835 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
17 oveq1 7143 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑋 → (𝑐 1 ) = (𝑋 1 ))
1817eqeq2d 2809 . . . . 5 (𝑐 = 𝑋 → ((𝑋 1 ) = (𝑐 1 ) ↔ (𝑋 1 ) = (𝑋 1 )))
1918adantl 485 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) ∧ 𝑐 = 𝑋) → ((𝑋 1 ) = (𝑐 1 ) ↔ (𝑋 1 ) = (𝑋 1 )))
20 eqidd 2799 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 1 ) = (𝑋 1 ))
219, 19, 20rspcedvd 3574 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → ∃𝑐𝐾 (𝑋 1 ) = (𝑐 1 ))
22 scmatrhmval.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
231, 2, 12, 3, 4, 22scmatel 21120 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 1 ) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐𝐾 (𝑋 1 ) = (𝑐 1 ))))
24233adant3 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑋 1 ) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐𝐾 (𝑋 1 ) = (𝑐 1 ))))
2516, 21, 24mpbir2and 712 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 1 ) ∈ 𝐶)
267, 25eqeltrd 2890 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  Basecbs 16478   ·𝑠 cvsca 16564  1rcur 19248  Ringcrg 19294   Mat cmat 21022   ScMat cscmat 21104 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-hash 13690  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-dsmm 20426  df-frlm 20441  df-mamu 21001  df-mat 21023  df-scmat 21106 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator