Theorem scmatrhmcl 22654

Description: The value of the ring homomorphism 𝐹 is a scalar matrix. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatrhmcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, ∗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem scmatrhmcl

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
4		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
6	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22653	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ∗ 1 ))
7	6	3adant1 1146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ∗ 1 ))
8		3simpa 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
9		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
10	2	matring 22569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
11	10	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ Ring)
12		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
13	12, 3	ringidcl 20348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
14	11, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
15	1, 2, 12, 4	matvscl 22557	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
16	8, 9, 14, 15	syl12anc 849	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
17		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 ))
18	17	eqeq2d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ) ↔ (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 )))
19	18	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) ∧ 𝑐 = 𝑋) → ((𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ) ↔ (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 )))
20		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 ))
21	9, 19, 20	rspcedvd 3592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))
22		scmatrhmval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
23	1, 2, 12, 3, 4, 22	scmatel 22631	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))))
24	23	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))))
25	16, 21, 24	mpbir2and 725	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶)
26	7, 25	eqeltrd 2869	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  Basecbs 17269   ·_𝑠 cvsca 17314  1_rcur 20263  Ringcrg 20315   Mat cmat 22533   ScMat cscmat 22615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-dsmm 21851  df-frlm 21866  df-mamu 22517  df-mat 22534  df-scmat 22617

This theorem is referenced by: (None)