Theorem scmatrhmcl 22448

Description: The value of the ring homomorphism 𝐹 is a scalar matrix. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatrhmcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, ∗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem scmatrhmcl

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
4		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
6	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22447	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ∗ 1 ))
7	6	3adant1 1127	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ∗ 1 ))
8		3simpa 1145	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
9		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
10	2	matring 22363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
11	10	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ Ring)
12		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
13	12, 3	ringidcl 20206	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
15	1, 2, 12, 4	matvscl 22351	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
16	8, 9, 14, 15	syl12anc 835	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
17		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 ))
18	17	eqeq2d 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ) ↔ (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 )))
19	18	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) ∧ 𝑐 = 𝑋) → ((𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ) ↔ (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 )))
20		eqidd 2726	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 ))
21	9, 19, 20	rspcedvd 3603	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))
22		scmatrhmval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
23	1, 2, 12, 3, 4, 22	scmatel 22425	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))))
24	23	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))))
25	16, 21, 24	mpbir2and 711	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶)
26	7, 25	eqeltrd 2825	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   ↦ cmpt 5226  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  Basecbs 17179   ·_𝑠 cvsca 17236  1_rcur 20125  Ringcrg 20177   Mat cmat 22325   ScMat cscmat 22409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-mamu 22309  df-mat 22326  df-scmat 22411

This theorem is referenced by: (None)