Theorem scmatrhmcl 22739

Description: The value of the ring homomorphism 𝐹 is a scalar matrix. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatrhmcl	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, ∗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem scmatrhmcl

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
4		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
5		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
6	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 22738	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ∗ 1 ))
7	6	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) = (𝑋 ∗ 1 ))
8		3simpa 1166	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
9		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝑋 ∈ 𝐾)
10	2	matring 22654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
11	10	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ Ring)
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
13	12, 3	ringidcl 20397	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐴))
14	11, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → 1 ∈ (Base‘𝐴))
15	1, 2, 12, 4	matvscl 22642	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
16	8, 9, 14, 15	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴))
17		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → (𝑐 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 ))
18	17	eqeq2d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑋 → ((𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ) ↔ (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 )))
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) ∧ 𝑐 = 𝑋) → ((𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ) ↔ (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 )))
20		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑋 ∗ 1 ))
21	9, 19, 20	rspcedvd 3585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))
22		scmatrhmval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
23	1, 2, 12, 3, 4, 22	scmatel 22716	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))))
24	23	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 ∗ 1 ) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐾 (𝑋 ∗ 1 ) = (𝑐 ∗ 1 ))))
25	16, 21, 24	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋 ∗ 1 ) ∈ 𝐶)
26	7, 25	eqeltrd 2865	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  Basecbs 17295   ·_𝑠 cvsca 17340  1_rcur 20311  Ringcrg 20363   Mat cmat 22618   ScMat cscmat 22700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-seq 14060  df-hash 14389  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-hom 17360  df-cco 17361  df-0g 17520  df-gsum 17521  df-prds 17526  df-pws 17528  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-mhm 18882  df-submnd 18883  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-mulg 19182  df-subg 19237  df-ghm 19332  df-cntz 19435  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-subrg 20723  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-sra 21348  df-rgmod 21349  df-dsmm 21936  df-frlm 21951  df-mamu 22602  df-mat 22619  df-scmat 22702

This theorem is used by: (None)