MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1scmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1scmat 22392
Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 22368, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1scmat.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mat1scmat.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
Assertion
Ref Expression
mat1scmat ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘) = 1 โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…)))

Proof of Theorem mat1scmat
Dummy variables ๐‘’ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash1snb 14382 . . 3 (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) = 1 โ†” โˆƒ๐‘’ ๐‘ = {๐‘’}))
2 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))
3 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 ({๐‘’} Mat ๐‘…) = ({๐‘’} Mat ๐‘…)
4 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
5 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 โŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ = โŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ
63, 4, 5mat1dimelbas 22324 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘’ โˆˆ V) โ†’ (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ}))
76elvd 3475 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ}))
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ}) โ†’ ๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ})
9 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘’ โˆˆ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ๐‘’ โˆˆ V)
113, 4, 5mat1dimid 22327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘’ โˆˆ V) โ†’ (1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (1rโ€˜๐‘…)โŸฉ})
1210, 11sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (1rโ€˜๐‘…)โŸฉ})
1312oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)){โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (1rโ€˜๐‘…)โŸฉ}))
14 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1514, 9jctir 520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘’ โˆˆ V))
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
184, 17ringidcl 20163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
203, 4, 5mat1dimscm 22328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘’ โˆˆ V) โˆง (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)){โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (1rโ€˜๐‘…)โŸฉ}) = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))โŸฉ})
2115, 16, 19, 20syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)){โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (1rโ€˜๐‘…)โŸฉ}) = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))โŸฉ})
22 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
234, 22, 17ringridm 20167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘)
2423opeq2d 4875 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))โŸฉ = โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ)
2524sneqd 4635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))โŸฉ} = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ})
2613, 21, 253eqtrrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ} = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ}) โ†’ {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ} = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))
288, 27eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ}) โ†’ ๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))
2928ex 412 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ} โ†’ ๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))))
3029reximdva 3162 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ} โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))))
317, 30sylbid 239 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))))
3231imp 406 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))
33 snfi 9043 . . . . . . . 8 {๐‘’} โˆˆ Fin
34 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
35 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))
36 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) = (1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))
37 eqid 2726 . . . . . . . . 9 ( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) = ( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))
38 eqid 2726 . . . . . . . . 9 ({๐‘’} ScMat ๐‘…) = ({๐‘’} ScMat ๐‘…)
394, 3, 35, 36, 37, 38scmatel 22358 . . . . . . . 8 (({๐‘’} โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…) โ†” (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))))
4033, 34, 39sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…) โ†” (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))))
412, 32, 40mpbir2and 710 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…))
4241ex 412 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…)))
43 mat1scmat.b . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
44 mat1scmat.a . . . . . . . . . 10 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4544fveq2i 6887 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
4643, 45eqtri 2754 . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
47 fvoveq1 7427 . . . . . . . 8 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))
4846, 47eqtrid 2778 . . . . . . 7 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))
4948eleq2d 2813 . . . . . 6 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))
50 oveq1 7411 . . . . . . 7 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ (๐‘ ScMat ๐‘…) = ({๐‘’} ScMat ๐‘…))
5150eleq2d 2813 . . . . . 6 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ (๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…) โ†” ๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…)))
5249, 51imbi12d 344 . . . . 5 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…)) โ†” (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…))))
5342, 52imbitrrid 245 . . . 4 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…))))
5453exlimiv 1925 . . 3 (โˆƒ๐‘’ ๐‘ = {๐‘’} โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…))))
551, 54biimtrdi 252 . 2 (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) = 1 โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…)))))
56553imp 1108 1 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘) = 1 โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064  Vcvv 3468  {csn 4623  โŸจcop 4629  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  1c1 11110  โ™ฏchash 14293  Basecbs 17151  .rcmulr 17205   ยท๐‘  cvsca 17208  1rcur 20084  Ringcrg 20136   Mat cmat 22258   ScMat cscmat 22342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-mamu 22237  df-mat 22259  df-scmat 22344
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator