MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1scmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1scmat 22434
Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 22410, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1scmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1scmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
mat1scmat ((𝑁𝑉 ∧ (♯‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Proof of Theorem mat1scmat
Dummy variables 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash1snb 14404 . . 3 (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑁) = 1 ↔ ∃𝑒 𝑁 = {𝑒}))
2 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
3 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 ({𝑒} Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅)
4 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 𝑒, 𝑒⟩ = ⟨𝑒, 𝑒
63, 4, 5mat1dimelbas 22366 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
76elvd 3477 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
9 vex 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑒 ∈ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑒 ∈ V)
113, 4, 5mat1dimid 22369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩})
1210, 11sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩})
1312oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩}))
14 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
1514, 9jctir 520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V))
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
17 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1r𝑅) = (1r𝑅)
184, 17ringidcl 20195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
203, 4, 5mat1dimscm 22370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩})
2115, 16, 19, 20syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩})
22 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
234, 22, 17ringridm 20199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑐)
2423opeq2d 4876 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩ = ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩)
2524sneqd 4636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r𝑅)(1r𝑅))⟩} = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
2613, 21, 253eqtrrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
288, 27eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
2928ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
3029reximdva 3164 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
317, 30sylbid 239 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
3231imp 406 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
33 snfi 9062 . . . . . . . 8 {𝑒} ∈ Fin
34 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
35 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))
36 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (1r‘({𝑒} Mat 𝑅))
37 eqid 2728 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))
38 eqid 2728 . . . . . . . . 9 ({𝑒} ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅)
394, 3, 35, 36, 37, 38scmatel 22400 . . . . . . . 8 (({𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
4033, 34, 39sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
412, 32, 40mpbir2and 712 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))
4241ex 412 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
43 mat1scmat.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
44 mat1scmat.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4544fveq2i 6894 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4643, 45eqtri 2756 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
47 fvoveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑁 = {𝑒} → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
4846, 47eqtrid 2780 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝑒} → 𝐵 = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
4948eleq2d 2815 . . . . . 6 (𝑁 = {𝑒} → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))))
50 oveq1 7421 . . . . . . 7 (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅))
5150eleq2d 2815 . . . . . 6 (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅) ↔ 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
5249, 51imbi12d 344 . . . . 5 (𝑁 = {𝑒} → ((𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))))
5342, 52imbitrrid 245 . . . 4 (𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
5453exlimiv 1926 . . 3 (∃𝑒 𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
551, 54biimtrdi 252 . 2 (𝑁𝑉 → ((♯‘𝑁) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))))
56553imp 1109 1 ((𝑁𝑉 ∧ (♯‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wrex 3066  Vcvv 3470  {csn 4624  cop 4630  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  1c1 11133  chash 14315  Basecbs 17173  .rcmulr 17227   ·𝑠 cvsca 17230  1rcur 20114  Ringcrg 20166   Mat cmat 22300   ScMat cscmat 22384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-mamu 22279  df-mat 22301  df-scmat 22386
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator