Theorem mat1scmat 21436

Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 21412, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1scmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1scmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1scmat	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Proof of Theorem mat1scmat

Dummy variables 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash1snb 13986	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑁) = 1 ↔ ∃𝑒 𝑁 = {𝑒}))
2		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
3		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑒} Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑒, 𝑒⟩ = ⟨𝑒, 𝑒⟩
6	3, 4, 5	mat1dimelbas 21368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
7	6	elvd 3415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
8		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
9		vex 3412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑒 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑒 ∈ V)
11	3, 4, 5	mat1dimid 21371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩})
12	10, 11	sylan2 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩})
13	12	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}))
14		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
15	14, 9	jctir 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V))
16		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4, 17	ringidcl 19586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19	18	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
20	3, 4, 5	mat1dimscm 21372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩})
21	15, 16, 19, 20	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩})
22		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23	4, 22, 17	ringridm 19590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑐)
24	23	opeq2d 4791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩ = ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩)
25	24	sneqd 4553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩} = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
26	13, 21, 25	3eqtrrd 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
27	26	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
28	8, 27	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
29	28	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
30	29	reximdva 3193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
31	7, 30	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
32	31	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
33		snfi 8721	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒} ∈ Fin
34		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
35		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))
36		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (1r‘({𝑒} Mat 𝑅))
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))
38		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑒} ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅)
39	4, 3, 35, 36, 37, 38	scmatel 21402	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
40	33, 34, 39	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
41	2, 32, 40	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))
42	41	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
43		mat1scmat.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
44		mat1scmat.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45	44	fveq2i 6720	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
46	43, 45	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
47		fvoveq1 7236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
48	46, 47	syl5eq 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → 𝐵 = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
49	48	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))))
50		oveq1 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅))
51	50	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅) ↔ 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
52	49, 51	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → ((𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))))
53	42, 52	syl5ibr 249	. . . 4 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
54	53	exlimiv 1938	. . 3 ⊢ (∃𝑒 𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
55	1, 54	syl6bi 256	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑁) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))))
56	55	3imp 1113	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3062  Vcvv 3408  {csn 4541  ⟨cop 4547  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  1c1 10730  ♯chash 13896  Basecbs 16760  ._rcmulr 16803   ·_𝑠 cvsca 16806  1_rcur 19516  Ringcrg 19562   Mat cmat 21304   ScMat cscmat 21386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-prds 16952  df-pws 16954  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-dsmm 20694  df-frlm 20709  df-mamu 21283  df-mat 21305  df-scmat 21388

This theorem is referenced by: (None)