Theorem mat1scmat 22909

Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 22885, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1scmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1scmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1scmat	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Proof of Theorem mat1scmat

Dummy variables 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash1snb 14605	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑁) = 1 ↔ ∃𝑒 𝑁 = {𝑒}))
2		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
3		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑒} Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑒, 𝑒⟩ = ⟨𝑒, 𝑒⟩
6	3, 4, 5	mat1dimelbas 22841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
7	6	elvd 3460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
8		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
9		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑒 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑒 ∈ V)
11	3, 4, 5	mat1dimid 22844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩})
12	10, 11	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩})
13	12	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}))
14		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
15	14, 9	jctir 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V))
16		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4, 17	ringidcl 20545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
20	3, 4, 5	mat1dimscm 22845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩})
21	15, 16, 19, 20	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩})
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23	4, 22, 17	ringridm 20550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑐)
24	23	opeq2d 4852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩ = ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩)
25	24	sneqd 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩} = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
26	13, 21, 25	3eqtrrd 2803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
28	8, 27	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
29	28	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
30	29	reximdva 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
31	7, 30	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
32	31	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
33		snfi 9109	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒} ∈ Fin
34		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
35		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))
36		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (1r‘({𝑒} Mat 𝑅))
37		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))
38		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑒} ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅)
39	4, 3, 35, 36, 37, 38	scmatel 22875	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
40	33, 34, 39	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
41	2, 32, 40	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))
42	41	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
43		mat1scmat.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
44		mat1scmat.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45	44	fveq2i 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
46	43, 45	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
47		fvoveq1 7474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
48	46, 47	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → 𝐵 = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
49	48	eleq2d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))))
50		oveq1 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅))
51	50	eleq2d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅) ↔ 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
52	49, 51	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → ((𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))))
53	42, 52	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
54	53	exlimiv 1965	. . 3 ⊢ (∃𝑒 𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
55	1, 54	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑁) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))))
56	55	3imp 1128	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4840  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  1c1 11240  ♯chash 14515  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473   ·_𝑠 cvsca 17476  1_rcur 20458  Ringcrg 20510   Mat cmat 22777   ScMat cscmat 22859

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-dsmm 22093  df-frlm 22108  df-mamu 22761  df-mat 22778  df-scmat 22861

This theorem is used by: (None)