Theorem mat1scmat 22866

Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 22842, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1scmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1scmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1scmat	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Proof of Theorem mat1scmat

Dummy variables 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash1snb 14574	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑁) = 1 ↔ ∃𝑒 𝑁 = {𝑒}))
2		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
3		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑒} Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑒, 𝑒⟩ = ⟨𝑒, 𝑒⟩
6	3, 4, 5	mat1dimelbas 22798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
7	6	elvd 3459	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
8		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
9		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑒 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑒 ∈ V)
11	3, 4, 5	mat1dimid 22801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩})
12	10, 11	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩})
13	12	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}))
14		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
15	14, 9	jctir 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V))
16		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4, 17	ringidcl 20506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
20	3, 4, 5	mat1dimscm 22802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩})
21	15, 16, 19, 20	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩})
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23	4, 22, 17	ringridm 20511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑐)
24	23	opeq2d 4849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩ = ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩)
25	24	sneqd 4595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩} = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
26	13, 21, 25	3eqtrrd 2803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
28	8, 27	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
29	28	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
30	29	reximdva 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
31	7, 30	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
32	31	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
33		snfi 9082	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒} ∈ Fin
34		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
35		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))
36		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (1r‘({𝑒} Mat 𝑅))
37		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))
38		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑒} ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅)
39	4, 3, 35, 36, 37, 38	scmatel 22832	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
40	33, 34, 39	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
41	2, 32, 40	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))
42	41	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
43		mat1scmat.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
44		mat1scmat.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45	44	fveq2i 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
46	43, 45	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
47		fvoveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
48	46, 47	eqtrid 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → 𝐵 = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
49	48	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))))
50		oveq1 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅))
51	50	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅) ↔ 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
52	49, 51	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → ((𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))))
53	42, 52	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
54	53	exlimiv 1964	. . 3 ⊢ (∃𝑒 𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
55	1, 54	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑁) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))))
56	55	3imp 1128	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3089  Vcvv 3453  {csn 4587  ⟨cop 4837  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Fincfn 8984  1c1 11211  ♯chash 14484  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441   ·_𝑠 cvsca 17444  1_rcur 20419  Ringcrg 20471   Mat cmat 22734   ScMat cscmat 22816

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8728  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-subrg 20834  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-dsmm 22050  df-frlm 22065  df-mamu 22718  df-mat 22735  df-scmat 22818

This theorem is used by: (None)