Theorem mat1scmat 21596

Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 21572, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1scmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat1scmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mat1scmat	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Proof of Theorem mat1scmat

Dummy variables 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hash1snb 14062	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑁) = 1 ↔ ∃𝑒 𝑁 = {𝑒}))
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
3		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑒} Mat 𝑅) = ({𝑒} Mat 𝑅)
4		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝑒, 𝑒⟩ = ⟨𝑒, 𝑒⟩
6	3, 4, 5	mat1dimelbas 21528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
7	6	elvd 3429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}))
8		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
9		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑒 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑒 ∈ V)
11	3, 4, 5	mat1dimid 21531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩})
12	10, 11	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩})
13	12	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}))
14		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
15	14, 9	jctir 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V))
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
17		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4, 17	ringidcl 19722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
20	3, 4, 5	mat1dimscm 21532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ V) ∧ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩})
21	15, 16, 19, 20	syl12anc 833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)){⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (1r‘𝑅)⟩}) = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩})
22		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23	4, 22, 17	ringridm 19726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑐)
24	23	opeq2d 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩ = ⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩)
25	24	sneqd 4570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, (𝑐(.r‘𝑅)(1r‘𝑅))⟩} = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩})
26	13, 21, 25	3eqtrrd 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
28	8, 27	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩}) → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → 𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
30	29	reximdva 3202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = {⟨⟨𝑒, 𝑒⟩, 𝑐⟩} → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
31	7, 30	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅)))))
32	31	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))
33		snfi 8788	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑒} ∈ Fin
34		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
35		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))
36		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘({𝑒} Mat 𝑅)) = (1r‘({𝑒} Mat 𝑅))
37		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))
38		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑒} ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅)
39	4, 3, 35, 36, 37, 38	scmatel 21562	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑒} ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
40	33, 34, 39	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑀 = (𝑐( ·𝑠 ‘({𝑒} Mat 𝑅))(1r‘({𝑒} Mat 𝑅))))))
41	2, 32, 40	mpbir2and 709	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))
42	41	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
43		mat1scmat.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
44		mat1scmat.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45	44	fveq2i 6759	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
46	43, 45	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
47		fvoveq1 7278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
48	46, 47	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → 𝐵 = (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)))
49	48	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅))))
50		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑁 ScMat 𝑅) = ({𝑒} ScMat 𝑅))
51	50	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅) ↔ 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅)))
52	49, 51	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → ((𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘({𝑒} Mat 𝑅)) → 𝑀 ∈ ({𝑒} ScMat 𝑅))))
53	42, 52	syl5ibr 245	. . . 4 ⊢ (𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
54	53	exlimiv 1934	. . 3 ⊢ (∃𝑒 𝑁 = {𝑒} → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅))))
55	1, 54	syl6bi 252	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝑁) = 1 → (𝑅 ∈ Ring → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))))
56	55	3imp 1109	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑁) = 1 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝑁 ScMat 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422  {csn 4558  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  1c1 10803  ♯chash 13972  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889   ·_𝑠 cvsca 16892  1_rcur 19652  Ringcrg 19698   Mat cmat 21464   ScMat cscmat 21546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mamu 21443  df-mat 21465  df-scmat 21548

This theorem is referenced by: (None)