MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1scmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1scmat 22454
Description: A 1-dimensional matrix over a ring is always a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 22430, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1scmat.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mat1scmat.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
Assertion
Ref Expression
mat1scmat ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘) = 1 โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…)))

Proof of Theorem mat1scmat
Dummy variables ๐‘’ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hash1snb 14411 . . 3 (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) = 1 โ†” โˆƒ๐‘’ ๐‘ = {๐‘’}))
2 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))
3 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 ({๐‘’} Mat ๐‘…) = ({๐‘’} Mat ๐‘…)
4 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
5 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 โŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ = โŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ
63, 4, 5mat1dimelbas 22386 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘’ โˆˆ V) โ†’ (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ}))
76elvd 3478 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ}))
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ}) โ†’ ๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ})
9 vex 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘’ โˆˆ V
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ๐‘’ โˆˆ V)
113, 4, 5mat1dimid 22389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘’ โˆˆ V) โ†’ (1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (1rโ€˜๐‘…)โŸฉ})
1210, 11sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (1rโ€˜๐‘…)โŸฉ})
1312oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)){โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (1rโ€˜๐‘…)โŸฉ}))
14 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1514, 9jctir 520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘’ โˆˆ V))
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
184, 17ringidcl 20202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
203, 4, 5mat1dimscm 22390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘’ โˆˆ V) โˆง (๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)){โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (1rโ€˜๐‘…)โŸฉ}) = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))โŸฉ})
2115, 16, 19, 20syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)){โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (1rโ€˜๐‘…)โŸฉ}) = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))โŸฉ})
22 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
234, 22, 17ringridm 20206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘)
2423opeq2d 4881 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))โŸฉ = โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ)
2524sneqd 4641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, (๐‘(.rโ€˜๐‘…)(1rโ€˜๐‘…))โŸฉ} = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ})
2613, 21, 253eqtrrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ} = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ}) โ†’ {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ} = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))
288, 27eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ}) โ†’ ๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))
2928ex 412 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ} โ†’ ๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))))
3029reximdva 3165 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = {โŸจโŸจ๐‘’, ๐‘’โŸฉ, ๐‘โŸฉ} โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))))
317, 30sylbid 239 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))))
3231imp 406 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))
33 snfi 9069 . . . . . . . 8 {๐‘’} โˆˆ Fin
34 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
35 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))
36 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) = (1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))
37 eqid 2728 . . . . . . . . 9 ( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) = ( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))
38 eqid 2728 . . . . . . . . 9 ({๐‘’} ScMat ๐‘…) = ({๐‘’} ScMat ๐‘…)
394, 3, 35, 36, 37, 38scmatel 22420 . . . . . . . 8 (({๐‘’} โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…) โ†” (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))))
4033, 34, 39sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…) โ†” (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)๐‘€ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))(1rโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))))
412, 32, 40mpbir2and 712 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…))
4241ex 412 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…)))
43 mat1scmat.b . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
44 mat1scmat.a . . . . . . . . . 10 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4544fveq2i 6900 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
4643, 45eqtri 2756 . . . . . . . 8 ๐ต = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
47 fvoveq1 7443 . . . . . . . 8 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))
4846, 47eqtrid 2780 . . . . . . 7 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)))
4948eleq2d 2815 . . . . . 6 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…))))
50 oveq1 7427 . . . . . . 7 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ (๐‘ ScMat ๐‘…) = ({๐‘’} ScMat ๐‘…))
5150eleq2d 2815 . . . . . 6 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ (๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…) โ†” ๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…)))
5249, 51imbi12d 344 . . . . 5 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…)) โ†” (๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜({๐‘’} Mat ๐‘…)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ({๐‘’} ScMat ๐‘…))))
5342, 52imbitrrid 245 . . . 4 (๐‘ = {๐‘’} โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…))))
5453exlimiv 1926 . . 3 (โˆƒ๐‘’ ๐‘ = {๐‘’} โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…))))
551, 54biimtrdi 252 . 2 (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘) = 1 โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…)))))
56553imp 1109 1 ((๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘) = 1 โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘ ScMat ๐‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534  โˆƒwex 1774   โˆˆ wcel 2099  โˆƒwrex 3067  Vcvv 3471  {csn 4629  โŸจcop 4635  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  1c1 11140  โ™ฏchash 14322  Basecbs 17180  .rcmulr 17234   ยท๐‘  cvsca 17237  1rcur 20121  Ringcrg 20173   Mat cmat 22320   ScMat cscmat 22404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-dsmm 21666  df-frlm 21681  df-mamu 22299  df-mat 22321  df-scmat 22406
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator