Theorem scmatmulcl 21665

Description: The product of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatmulcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatmulcl

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
2		scmatid.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		scmatid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 21652	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 21652	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝑆 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
9		oveq12 7280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
10	9	adantll 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
11		simp-4l 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
12		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑑 ∈ 𝐸)
13	12	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
14		scmatid.0	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
17	2, 1, 14, 4, 5, 15, 16	scmatscmiddistr 21655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
18	11, 13, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
19		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
20		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → 𝑅 ∈ Ring)
21		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
22		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ 𝐸)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → 𝑑 ∈ 𝐸)
24	1, 15	ringcl 19798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
26	2	matring 21590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27	3, 4	ringidcl 19805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
30	1, 2, 3, 5	matvscl 21578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
31	19, 25, 29, 30	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
32		oveq1 7278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑒 = (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) → (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
33	32	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑒 = (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑒 = (𝑐(.r‘𝑅)𝑑)) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
35		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
36	25, 34, 35	rspcedvd 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 21652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
39	31, 36, 38	mpbir2and 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
40	39	exp32 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑 ∈ 𝐸 → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)))
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑑 ∈ 𝐸 → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)))
42	41	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆))
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆))
44	43	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
45	18, 44	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
48	10, 47	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
49	48	exp31 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
50	49	rexlimdva 3215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
51	50	expimpd 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
52	51	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
53	52	rexlimdva 3215	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
54	53	expimpd 454	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
55	8, 54	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
56	55	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑌 ∈ 𝑆 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
57	7, 56	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑌 ∈ 𝑆 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
58	57	imp32 419	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3067  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Fincfn 8716  Basecbs 16910  ._rcmulr 16961   ·_𝑠 cvsca 16964  0_gc0g 17148  1_rcur 19735  Ringcrg 19781   Mat cmat 21552   ScMat cscmat 21636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-subrg 20020  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-dsmm 20937  df-frlm 20952  df-mamu 21531  df-mat 21553  df-dmat 21637  df-scmat 21638

This theorem is referenced by:  scmatsrng  21667  scmatsrng1  21670