Theorem scmatmulcl 20601

Description: The product of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatmulcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatmulcl

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
2		scmatid.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		scmatid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 20588	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 20588	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝑆 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
9		oveq12 6851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
10	9	adantll 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
11		simp-4l 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
12		simplr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑑 ∈ 𝐸)
13	12	anim1i 608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸))
14	13	ancomd 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
15		scmatid.0	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
18	2, 1, 15, 4, 5, 16, 17	scmatscmiddistr 20591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
19	11, 14, 18	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
20		simpl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
21		simplr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		simprr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
23		simpl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ 𝐸)
24	23	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → 𝑑 ∈ 𝐸)
25	1, 16	ringcl 18828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
27	2	matring 20525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
28	3, 4	ringidcl 18835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
30	29	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
31	1, 2, 3, 5	matvscl 20513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
32	20, 26, 30, 31	syl12anc 865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
33		oveq1 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑒 = (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) → (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
34	33	eqeq2d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑒 = (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
35	34	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑒 = (𝑐(.r‘𝑅)𝑑)) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
36		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
37	26, 35, 36	rspcedvd 3468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 20588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
39	38	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
40	32, 37, 39	mpbir2and 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
41	40	exp32 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑 ∈ 𝐸 → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)))
42	41	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑑 ∈ 𝐸 → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)))
43	42	imp 395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆))
44	43	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆))
45	44	imp 395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
46	19, 45	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
47	46	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
48	47	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
49	10, 48	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
50	49	exp31 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
51	50	rexlimdva 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
52	51	expimpd 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
53	52	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
54	53	rexlimdva 3178	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
55	54	expimpd 445	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
56	8, 55	sylbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
57	56	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑌 ∈ 𝑆 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
58	7, 57	sylbid 231	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑌 ∈ 𝑆 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
59	58	imp32 409	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ∃wrex 3056  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  Basecbs 16130  ._rcmulr 16215   ·_𝑠 cvsca 16218  0_gc0g 16366  1_rcur 18768  Ringcrg 18814   Mat cmat 20489   ScMat cscmat 20572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-ot 4343  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-hom 16238  df-cco 16239  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-prds 16374  df-pws 16376  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-dsmm 20352  df-frlm 20367  df-mamu 20466  df-mat 20490  df-dmat 20573  df-scmat 20574

This theorem is referenced by:  scmatsrng  20603  scmatsrng1  20606