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Theorem scmatmulcl 21130
 Description: The product of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatmulcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatmulcl
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.e . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑅)
2 scmatid.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2798 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 eqid 2798 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatid.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21117 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝑆 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
81, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21117 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝑆 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
9 oveq12 7144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
109adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
11 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
12 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) → 𝑑𝐸)
1312anim1ci 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐𝐸𝑑𝐸))
14 scmatid.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0g𝑅)
15 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
16 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝐴) = (.r𝐴)
172, 1, 14, 4, 5, 15, 16scmatscmiddistr 21120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
1811, 13, 17syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
19 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
20 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → 𝑅 ∈ Ring)
21 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → 𝑐𝐸)
22 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑𝐸𝑐𝐸) → 𝑑𝐸)
2322adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → 𝑑𝐸)
241, 15ringcl 19310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
2520, 21, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
262matring 21055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
273, 4ringidcl 19317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
301, 2, 3, 5matvscl 21043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
3119, 25, 29, 30syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
32 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 = (𝑐(.r𝑅)𝑑) → (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
3332eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 = (𝑐(.r𝑅)𝑑) → (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) ∧ 𝑒 = (𝑐(.r𝑅)𝑑)) → (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
35 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
3625, 34, 35rspcedvd 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → ∃𝑒𝐸 ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
371, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
3837adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
3931, 36, 38mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)
4039exp32 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑𝐸 → (𝑐𝐸 → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)))
4140adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) → (𝑑𝐸 → (𝑐𝐸 → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)))
4241imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑐𝐸 → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆))
4342adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑐𝐸 → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆))
4443imp 410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)
4518, 44eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
4645adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
4746adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
4810, 47eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
4948exp31 423 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5049rexlimdva 3243 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5150expimpd 457 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5251com23 86 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5352rexlimdva 3243 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) → (∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5453expimpd 457 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑌𝐵 ∧ ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
558, 54sylbid 243 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝑆 → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5655com23 86 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑌𝑆 → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
577, 56sylbid 243 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝑆 → (𝑌𝑆 → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5857imp32 422 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8494  Basecbs 16477  .rcmulr 16560   ·𝑠 cvsca 16563  0gc0g 16707  1rcur 19247  Ringcrg 19293   Mat cmat 21019   ScMat cscmat 21101 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-sup 8892  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13689  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-dsmm 20425  df-frlm 20440  df-mamu 20998  df-mat 21020  df-dmat 21102  df-scmat 21103 This theorem is referenced by:  scmatsrng  21132  scmatsrng1  21135
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