MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatmulcl 22375
Description: The product of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
scmatid.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
scmatid.e ๐ธ = (Baseโ€˜๐‘…)
scmatid.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
scmatid.s ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
scmatmulcl (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)

Proof of Theorem scmatmulcl
Dummy variables ๐‘ ๐‘‘ ๐‘’ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.e . . . 4 ๐ธ = (Baseโ€˜๐‘…)
2 scmatid.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 scmatid.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 eqid 2726 . . . 4 (1rโ€˜๐ด) = (1rโ€˜๐ด)
5 eqid 2726 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜๐ด) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
6 scmatid.s . . . 4 ๐‘† = (๐‘ ScMat ๐‘…)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 22362 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)))))
81, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 22362 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)))))
9 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆง ๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) = ((๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))(.rโ€˜๐ด)(๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))))
109adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) = ((๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))(.rโ€˜๐ด)(๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))))
11 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
12 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ)
1312anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ))
14 scmatid.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0gโ€˜๐‘…)
15 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
16 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.rโ€˜๐ด) = (.rโ€˜๐ด)
172, 1, 14, 4, 5, 15, 16scmatscmiddistr 22365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))(.rโ€˜๐ด)(๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) = ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)))
1811, 13, 17syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))(.rโ€˜๐ด)(๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) = ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)))
19 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring))
20 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
21 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ธ)
22 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ)
241, 15ringcl 20155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘) โˆˆ ๐ธ)
2520, 21, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ (๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘) โˆˆ ๐ธ)
262matring 22300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
273, 4ringidcl 20165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)
301, 2, 3, 5matvscl 22288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘) โˆˆ ๐ธ โˆง (1rโ€˜๐ด) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
3119, 25, 29, 30syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต)
32 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘’ = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘) โ†’ (๐‘’( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) = ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)))
3332eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘’ = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘) โ†’ (((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) = (๐‘’( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) = ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โˆง ๐‘’ = (๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)) โ†’ (((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) = (๐‘’( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†” ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) = ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))))
35 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) = ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)))
3625, 34, 35rspcedvd 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ โˆƒ๐‘’ โˆˆ ๐ธ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) = (๐‘’( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)))
371, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 22362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐‘† โ†” (((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘’ โˆˆ ๐ธ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) = (๐‘’( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)))))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ (((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐‘† โ†” (((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘’ โˆˆ ๐ธ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) = (๐‘’( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)))))
3931, 36, 38mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ)) โ†’ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐‘†)
4039exp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐‘†)))
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐‘†)))
4241imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐‘†))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ธ โ†’ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐‘†))
4443imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐‘(.rโ€˜๐‘…)๐‘‘)( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โˆˆ ๐‘†)
4518, 44eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))(.rโ€˜๐ด)(๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โˆˆ ๐‘†)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))(.rโ€˜๐ด)(๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โˆˆ ๐‘†)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))(.rโ€˜๐ด)(๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โˆˆ ๐‘†)
4810, 47eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โˆง ๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)
4948exp31 419 . . . . . . . . . 10 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)))
5049rexlimdva 3149 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)))
5150expimpd 453 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)))
5251com23 86 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ) โ†’ (๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)))
5352rexlimdva 3149 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)))
5453expimpd 453 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ((๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘Œ = (๐‘‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)))
558, 54sylbid 239 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)))
5655com23 86 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐ธ ๐‘‹ = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜๐ด)(1rโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)))
577, 56sylbid 239 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)))
5857imp32 418 1 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐ด)๐‘Œ) โˆˆ ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   ยท๐‘  cvsca 17210  0gc0g 17394  1rcur 20086  Ringcrg 20138   Mat cmat 22262   ScMat cscmat 22346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-dmat 22347  df-scmat 22348
This theorem is referenced by:  scmatsrng  22377  scmatsrng1  22380
  Copyright terms: Public domain W3C validator