Theorem scmatmulcl 22508

Description: The product of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatmulcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatmulcl

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
2		scmatid.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		scmatid.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22495	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22495	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝑆 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
9		oveq12 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
10	9	adantll 720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
11		simp-4l 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
12		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑑 ∈ 𝐸)
13	12	anim1ci 622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸))
14		scmatid.0	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
17	2, 1, 14, 4, 5, 15, 16	scmatscmiddistr 22498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
18	11, 13, 17	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
19		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
20		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → 𝑅 ∈ Ring)
21		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → 𝑐 ∈ 𝐸)
22		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ 𝐸)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → 𝑑 ∈ 𝐸)
24	1, 15	ringcl 20229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
25	20, 21, 23, 24	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
26	2	matring 22433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27	3, 4	ringidcl 20244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
30	1, 2, 3, 5	matvscl 22421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
31	19, 25, 29, 30	syl12anc 842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
32		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑒 = (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) → (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
33	32	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑒 = (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) ∧ 𝑒 = (𝑐(.r‘𝑅)𝑑)) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
35		eqidd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
36	25, 34, 35	rspcedvd 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
37	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
39	31, 36, 38	mpbir2and 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ 𝐸)) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
40	39	exp32 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑 ∈ 𝐸 → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)))
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑑 ∈ 𝐸 → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)))
42	41	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆))
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑐 ∈ 𝐸 → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆))
44	43	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(.r‘𝑅)𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
45	18, 44	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(.r‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
48	10, 47	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
49	48	exp31 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
50	49	rexlimdva 3141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
51	50	expimpd 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
52	51	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
53	52	rexlimdva 3141	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
54	53	expimpd 454	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
55	8, 54	sylbid 241	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
56	55	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑌 ∈ 𝑆 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
57	7, 56	sylbid 241	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝑌 ∈ 𝑆 → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
58	57	imp32 419	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(.r‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17400  1_rcur 20160  Ringcrg 20212   Mat cmat 22397   ScMat cscmat 22479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-dsmm 21714  df-frlm 21729  df-mamu 22381  df-mat 22398  df-dmat 22480  df-scmat 22481

This theorem is referenced by:  scmatsrng  22510  scmatsrng1  22513