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Theorem scmatmulcl 21665
Description: The product of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatmulcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatmulcl
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.e . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑅)
2 scmatid.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2740 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 eqid 2740 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatid.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21652 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝑆 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
81, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21652 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝑆 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
9 oveq12 7280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
109adantll 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
11 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
12 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) → 𝑑𝐸)
1312anim1ci 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐𝐸𝑑𝐸))
14 scmatid.0 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0g𝑅)
15 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑅) = (.r𝑅)
16 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝐴) = (.r𝐴)
172, 1, 14, 4, 5, 15, 16scmatscmiddistr 21655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐸𝑑𝐸)) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
1811, 13, 17syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
19 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
20 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → 𝑅 ∈ Ring)
21 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → 𝑐𝐸)
22 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑𝐸𝑐𝐸) → 𝑑𝐸)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → 𝑑𝐸)
241, 15ringcl 19798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
2520, 21, 23, 24syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → (𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
262matring 21590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
273, 4ringidcl 19805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
301, 2, 3, 5matvscl 21578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(.r𝑅)𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
3119, 25, 29, 30syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
32 oveq1 7278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 = (𝑐(.r𝑅)𝑑) → (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
3332eqeq2d 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑒 = (𝑐(.r𝑅)𝑑) → (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) ∧ 𝑒 = (𝑐(.r𝑅)𝑑)) → (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
35 eqidd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
3625, 34, 35rspcedvd 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → ∃𝑒𝐸 ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
371, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
3931, 36, 38mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑑𝐸𝑐𝐸)) → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)
4039exp32 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑𝐸 → (𝑐𝐸 → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) → (𝑑𝐸 → (𝑐𝐸 → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)))
4241imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑐𝐸 → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆))
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑐𝐸 → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆))
4443imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(.r𝑅)𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)
4518, 44eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(.r𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
4810, 47eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
4948exp31 420 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5049rexlimdva 3215 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5150expimpd 454 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5251com23 86 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5352rexlimdva 3215 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌𝐵) → (∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5453expimpd 454 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑌𝐵 ∧ ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
558, 54sylbid 239 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝑆 → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5655com23 86 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋𝐵 ∧ ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑌𝑆 → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
577, 56sylbid 239 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝑆 → (𝑌𝑆 → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
5857imp32 419 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(.r𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wrex 3067  cfv 6432  (class class class)co 7271  Fincfn 8716  Basecbs 16910  .rcmulr 16961   ·𝑠 cvsca 16964  0gc0g 17148  1rcur 19735  Ringcrg 19781   Mat cmat 21552   ScMat cscmat 21636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-subrg 20020  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-dsmm 20937  df-frlm 20952  df-mamu 21531  df-mat 21553  df-dmat 21637  df-scmat 21638
This theorem is referenced by:  scmatsrng  21667  scmatsrng1  21670
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