Theorem scmatid 22507

Description: The identity matrix is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatid	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatid

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matring 22436	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3		scmatid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5	3, 4	ringidcl 20245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
7	1	matsca2 22413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
8	7	eqcomd 2732	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
9	8	fveq2d 6905	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
10		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12	10, 11	ringidcl 20245	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	12	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	9, 13	eqeltrd 2826	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
15		oveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴)) → (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
16	15	eqeq2d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴)) → ((1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ (1r‘𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
17	16	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴))) → ((1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ (1r‘𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
18	1	matlmod 22422	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
19		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
22	3, 19, 20, 21	lmodvs1 20866	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
23	18, 6, 22	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
24	23	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
25	14, 17, 24	rspcedvd 3610	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
26		scmatid.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
27	10, 1, 3, 4, 20, 26	scmatel 22498	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((1r‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
28	6, 25, 27	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Fincfn 8974  Basecbs 17213  Scalarcsca 17269   ·_𝑠 cvsca 17270  0_gc0g 17454  1_rcur 20164  Ringcrg 20216  LModclmod 20836   Mat cmat 22398   ScMat cscmat 22482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-mamu 22382  df-mat 22399  df-scmat 22484

This theorem is referenced by:  scmatsgrp  22512  scmatsrng  22513  scmatsgrp1  22515  scmatsrng1  22516  scmatlss  22518  scmatf  22522  scmatghm  22526