MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatid 21768
Description: The identity matrix is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatid ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatid
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
21matring 21697 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3 scmatid.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2737 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
53, 4ringidcl 19901 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
62, 5syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
71matsca2 21674 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
87eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
98fveq2d 6833 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r𝑅))
10 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2737 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1210, 11ringidcl 19901 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1312adantl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
149, 13eqeltrd 2838 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
15 oveq1 7348 . . . . 5 (𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴)) → (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
1615eqeq2d 2748 . . . 4 (𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴)) → ((1r𝐴) = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ (1r𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
1716adantl 483 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴))) → ((1r𝐴) = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ (1r𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
181matlmod 21683 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
19 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
21 eqid 2737 . . . . . 6 (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
223, 19, 20, 21lmodvs1 20256 . . . . 5 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (1r𝐴))
2318, 6, 22syl2anc 585 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (1r𝐴))
2423eqcomd 2743 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
2514, 17, 24rspcedvd 3575 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(1r𝐴) = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
26 scmatid.s . . 3 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
2710, 1, 3, 4, 20, 26scmatel 21759 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((1r𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(1r𝐴) = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
286, 25, 27mpbir2and 711 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  cfv 6483  (class class class)co 7341  Fincfn 8808  Basecbs 17009  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247  1rcur 19831  Ringcrg 19877  LModclmod 20228   Mat cmat 21659   ScMat cscmat 21743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-map 8692  df-ixp 8761  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fsupp 9231  df-sup 9303  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-seq 13827  df-hash 14150  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-hom 17083  df-cco 17084  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-prds 17255  df-pws 17257  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-mulg 18797  df-subg 18848  df-ghm 18928  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-subrg 20126  df-lmod 20230  df-lss 20299  df-sra 20539  df-rgmod 20540  df-dsmm 21044  df-frlm 21059  df-mamu 21638  df-mat 21660  df-scmat 21745
This theorem is referenced by:  scmatsgrp  21773  scmatsrng  21774  scmatsgrp1  21776  scmatsrng1  21777  scmatlss  21779  scmatf  21783  scmatghm  21787
  Copyright terms: Public domain W3C validator