Theorem scmatid 21663

Description: The identity matrix is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatid	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatid

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matring 21592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3		scmatid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5	3, 4	ringidcl 19807	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
7	1	matsca2 21569	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
8	7	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
9	8	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12	10, 11	ringidcl 19807	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	12	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	9, 13	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
15		oveq1 7282	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴)) → (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
16	15	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴)) → ((1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ (1r‘𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴))) → ((1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ (1r‘𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
18	1	matlmod 21578	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
19		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
22	3, 19, 20, 21	lmodvs1 20151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
23	18, 6, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
24	23	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
25	14, 17, 24	rspcedvd 3563	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
26		scmatid.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
27	10, 1, 3, 4, 20, 26	scmatel 21654	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((1r‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
28	6, 25, 27	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  LModclmod 20123   Mat cmat 21554   ScMat cscmat 21638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mamu 21533  df-mat 21555  df-scmat 21640

This theorem is referenced by:  scmatsgrp  21668  scmatsrng  21669  scmatsgrp1  21671  scmatsrng1  21672  scmatlss  21674  scmatf  21678  scmatghm  21682