Theorem scmatid 22791

Description: The identity matrix is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatid	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatid

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matring 22720	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3		scmatid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5	3, 4	ringidcl 20456	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
7	1	matsca2 22697	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
8	7	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
9	8	fveq2d 6877	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12	10, 11	ringidcl 20456	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
14	9, 13	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
15		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴)) → (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
16	15	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴)) → ((1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ (1r‘𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐 = (1r‘(Scalar‘𝐴))) → ((1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ (1r‘𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
18	1	matlmod 22706	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
19		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐴)) = (1r‘(Scalar‘𝐴))
22	3, 19, 20, 21	lmodvs1 21127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
23	18, 6, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐴))
24	23	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = ((1r‘(Scalar‘𝐴))( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
25	14, 17, 24	rspcedvd 3578	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
26		scmatid.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
27	10, 1, 3, 4, 20, 26	scmatel 22782	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘𝐴) ∈ 𝑆 ↔ ((1r‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)(1r‘𝐴) = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
28	6, 25, 27	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  Basecbs 17349  Scalarcsca 17393   ·_𝑠 cvsca 17394  0_gc0g 17572  1_rcur 20369  Ringcrg 20421  LModclmod 21097   Mat cmat 22684   ScMat cscmat 22766

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-hom 17414  df-cco 17415  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-prds 17580  df-pws 17582  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-ghm 19390  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-subrg 20784  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-dsmm 22000  df-frlm 22015  df-mamu 22668  df-mat 22685  df-scmat 22768

This theorem is used by:  scmatsgrp  22796  scmatsrng  22797  scmatsgrp1  22799  scmatsrng1  22800  scmatlss  22802  scmatf  22806  scmatghm  22810