MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsubcl 21864
Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatsubcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatsubcl
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
2 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2736 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 eqid 2736 . . . . 5 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 21853 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑆) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
873expa 1118 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋𝑆) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
98adantrr 715 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
101, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 21853 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑆) → ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
11103expia 1121 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝑆 → ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
12 oveq12 7365 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
1312adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
14 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
16 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝐴) = (-g𝐴)
17 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g‘(Scalar‘𝐴))
182matlmod 21776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝐴 ∈ LMod)
202matsca2 21767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2120fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
221, 21eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2322eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2423biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2625imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2722eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑𝐸𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2827biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
302matring 21790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
313, 4ringidcl 19987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
343, 5, 14, 15, 16, 17, 19, 26, 29, 33lmodsubdir 20378 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
3534eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
36 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3720eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3837ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3938fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g𝑅))
4039oveqd 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) = (𝑐(-g𝑅)𝑑))
41 ringgrp 19967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
4342ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑅 ∈ Grp)
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑐𝐸)
45 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑑𝐸)
46 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-g𝑅) = (-g𝑅)
471, 46grpsubcl 18825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐(-g𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
4843, 44, 45, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
4940, 48eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸)
501, 2, 3, 5matvscl 21778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
5136, 49, 33, 50syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
52 oveq1 7363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
5352eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
55 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
5649, 54, 55rspcedvd 3583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
571, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
5951, 56, 58mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)
6035, 59eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
6213, 61eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
6362exp32 421 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6463rexlimdva 3152 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6564com23 86 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6665rexlimdva 3152 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6711, 66syldc 48 . . . 4 (𝑌𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6867adantl 482 . . 3 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6968impcom 408 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆))
709, 69mpd 15 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  cfv 6496  (class class class)co 7356  Fincfn 8882  Basecbs 17082  Scalarcsca 17135   ·𝑠 cvsca 17136  0gc0g 17320  Grpcgrp 18747  -gcsg 18749  1rcur 19911  Ringcrg 19962  LModclmod 20320   Mat cmat 21752   ScMat cscmat 21836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-sup 9377  df-oi 9445  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-seq 13906  df-hash 14230  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-hom 17156  df-cco 17157  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-prds 17328  df-pws 17330  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-mhm 18600  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-mulg 18871  df-subg 18923  df-ghm 19004  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-subrg 20218  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-sra 20631  df-rgmod 20632  df-dsmm 21136  df-frlm 21151  df-mamu 21731  df-mat 21753  df-scmat 21838
This theorem is referenced by:  scmatsgrp  21866  scmatsgrp1  21869
  Copyright terms: Public domain W3C validator