Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsubcl 20810
 Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatsubcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatsubcl
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
2 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2794 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 eqid 2794 . . . . 5 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 20799 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑆) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
873expa 1111 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋𝑆) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
98adantrr 713 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
101, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 20799 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑆) → ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
11103expia 1114 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝑆 → ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
12 oveq12 7028 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
1312adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
14 eqid 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15 eqid 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
16 eqid 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝐴) = (-g𝐴)
17 eqid 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g‘(Scalar‘𝐴))
182matlmod 20722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
1918ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝐴 ∈ LMod)
202matsca2 20713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2120fveq2d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
221, 21syl5eq 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2322eleq2d 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2423biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2625imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2722eleq2d 2867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑𝐸𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2827biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
302matring 20736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
313, 4ringidcl 19008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
3332ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
343, 5, 14, 15, 16, 17, 19, 26, 29, 33lmodsubdir 19382 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
3534eqcomd 2800 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
36 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3720eqcomd 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3837ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3938fveq2d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g𝑅))
4039oveqd 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) = (𝑐(-g𝑅)𝑑))
41 ringgrp 18992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
4342ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑅 ∈ Grp)
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑐𝐸)
45 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑑𝐸)
46 eqid 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-g𝑅) = (-g𝑅)
471, 46grpsubcl 17936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐(-g𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
4843, 44, 45, 47syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
4940, 48eqeltrd 2882 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸)
501, 2, 3, 5matvscl 20724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
5136, 49, 33, 50syl12anc 833 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
52 oveq1 7026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
5352eqeq2d 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
55 eqidd 2795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
5649, 54, 55rspcedvd 3564 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
571, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 20798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
5857ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
5951, 56, 58mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)
6035, 59eqeltrd 2882 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
6213, 61eqeltrd 2882 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
6362exp32 421 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6463rexlimdva 3246 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6564com23 86 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6665rexlimdva 3246 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6711, 66syldc 48 . . . 4 (𝑌𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6867adantl 482 . . 3 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6968impcom 408 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆))
709, 69mpd 15 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2080  ∃wrex 3105  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019  Fincfn 8360  Basecbs 16312  Scalarcsca 16397   ·𝑠 cvsca 16398  0gc0g 16542  Grpcgrp 17861  -gcsg 17863  1rcur 18941  Ringcrg 18987  LModclmod 19324   Mat cmat 20700   ScMat cscmat 20782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-ot 4483  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-iin 4830  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-sup 8755  df-oi 8823  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-prds 16550  df-pws 16552  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-sra 19634  df-rgmod 19635  df-dsmm 20558  df-frlm 20573  df-mamu 20677  df-mat 20701  df-scmat 20784 This theorem is referenced by:  scmatsgrp  20812  scmatsgrp1  20815
 Copyright terms: Public domain W3C validator