Theorem scmatsubcl 22523

Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatsubcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatsubcl

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
2		scmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		scmatid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 22512	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
8	7	3expa 1119	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
9	8	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 22512	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
11	10	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝑆 → ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
12		oveq12 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
17		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g‘(Scalar‘𝐴))
18	2	matlmod 22435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ LMod)
20	2	matsca2 22426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
21	20	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
22	1, 21	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
23	22	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐 ∈ 𝐸 ↔ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
24	23	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐 ∈ 𝐸 → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ∈ 𝐸 → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
26	25	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
27	22	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑 ∈ 𝐸 ↔ 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
28	27	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30	2	matring 22449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
31	3, 4	ringidcl 20262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
34	3, 5, 14, 15, 16, 17, 19, 26, 29, 33	lmodsubdir 20918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
35	34	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
36		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
37	20	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
39	38	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g‘𝑅))
40	39	oveqd 7448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) = (𝑐(-g‘𝑅)𝑑))
41		ringgrp 20235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
43	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Grp)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑐 ∈ 𝐸)
45		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ 𝐸)
46		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
47	1, 46	grpsubcl 19038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
48	43, 44, 45, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
49	40, 48	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸)
50	1, 2, 3, 5	matvscl 22437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
51	36, 49, 33, 50	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
52		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
53	52	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
55		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
56	49, 54, 55	rspcedvd 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
59	51, 56, 58	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
60	35, 59	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
62	13, 61	eqeltrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
63	62	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
64	63	rexlimdva 3155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
65	64	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
66	65	rexlimdva 3155	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
67	11, 66	syldc 48	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
68	67	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
69	68	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆))
70	9, 69	mpd 15	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858   Mat cmat 22411   ScMat cscmat 22495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-scmat 22497

This theorem is referenced by:  scmatsgrp  22525  scmatsgrp1  22528