Theorem scmatsubcl 22653

Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatsubcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatsubcl

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
2		scmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		scmatid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 22642	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
8	7	3expa 1134	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
9	8	adantrr 729	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 22642	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
11	10	3expia 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝑆 → ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
12		oveq12 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
13	12	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
14		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
16		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
17		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g‘(Scalar‘𝐴))
18	2	matlmod 22565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
19	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ LMod)
20	2	matsca2 22556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
21	20	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
22	1, 21	eqtrid 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
23	22	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐 ∈ 𝐸 ↔ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
24	23	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐 ∈ 𝐸 → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ∈ 𝐸 → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
26	25	imp 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
27	22	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑 ∈ 𝐸 ↔ 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
28	27	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30	2	matring 22579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
31	3, 4	ringidcl 20347	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
33	32	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
34	3, 5, 14, 15, 16, 17, 19, 26, 29, 33	lmodsubdir 21020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
35	34	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
36		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
37	20	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
38	37	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
39	38	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g‘𝑅))
40	39	oveqd 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) = (𝑐(-g‘𝑅)𝑑))
41		ringgrp 20319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
42	41	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
43	42	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Grp)
44		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑐 ∈ 𝐸)
45		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ 𝐸)
46		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
47	1, 46	grpsubcl 19085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
48	43, 44, 45, 47	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
49	40, 48	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸)
50	1, 2, 3, 5	matvscl 22567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
51	36, 49, 33, 50	syl12anc 849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
52		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
53	52	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
54	53	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
55		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
56	49, 54, 55	rspcedvd 3582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
58	57	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
59	51, 56, 58	mpbir2and 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
60	35, 59	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
61	60	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
62	13, 61	eqeltrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
63	62	exp32 425	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
64	63	rexlimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
65	64	com23 87	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
66	65	rexlimdva 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
67	11, 66	syldc 49	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
68	67	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
69	68	impcom 412	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆))
70	9, 69	mpd 16	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8942  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  0_gc0g 17491  Grpcgrp 18999  -_gcsg 19001  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  LModclmod 20960   Mat cmat 22543   ScMat cscmat 22625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-dsmm 21861  df-frlm 21876  df-mamu 22527  df-mat 22544  df-scmat 22627

This theorem is referenced by:  scmatsgrp  22655  scmatsgrp1  22658