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Theorem scmatsubcl 21889
Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
scmatid.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
scmatid.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatsubcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatsubcl
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
2 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatid.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
4 eqid 2733 . . . . 5 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
5 eqid 2733 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π΄) = ( ·𝑠 β€˜π΄)
6 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 21878 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))
873expa 1119 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))
98adantrr 716 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))
101, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 21878 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 π‘Œ = (𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))
11103expia 1122 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑆 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 π‘Œ = (𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))))
12 oveq12 7370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∧ π‘Œ = (𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) = ((𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))(-gβ€˜π΄)(𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))))
1312adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∧ π‘Œ = (𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) = ((𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))(-gβ€˜π΄)(𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))))
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (-gβ€˜π΄) = (-gβ€˜π΄)
17 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))
182matlmod 21801 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
202matsca2 21792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
2120fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
221, 21eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐸 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
2322eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑐 ∈ 𝐸 ↔ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄))))
2423biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑐 ∈ 𝐸 β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄))))
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑐 ∈ 𝐸 β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄))))
2625imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
2722eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑑 ∈ 𝐸 ↔ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄))))
2827biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
302matring 21815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
313, 4ringidcl 19997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
343, 5, 14, 15, 16, 17, 19, 26, 29, 33lmodsubdir 20424 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) = ((𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))(-gβ€˜π΄)(𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))))
3534eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ ((𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))(-gβ€˜π΄)(𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))) = ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))
36 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3720eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Scalarβ€˜π΄) = 𝑅)
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ (Scalarβ€˜π΄) = 𝑅)
3938fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ (-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (-gβ€˜π‘…))
4039oveqd 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ (𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑) = (𝑐(-gβ€˜π‘…)𝑑))
41 ringgrp 19977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4241adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ 𝑐 ∈ 𝐸)
45 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ 𝑑 ∈ 𝐸)
46 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
471, 46grpsubcl 18835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑐(-gβ€˜π‘…)𝑑) ∈ 𝐸)
4843, 44, 45, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ (𝑐(-gβ€˜π‘…)𝑑) ∈ 𝐸)
4940, 48eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ (𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑) ∈ 𝐸)
501, 2, 3, 5matvscl 21803 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡)
5136, 49, 33, 50syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡)
52 oveq1 7368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑) β†’ (𝑒( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) = ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))
5352eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑) β†’ (((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ↔ ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) = ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))))
5453adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑒 = (𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)) β†’ (((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ↔ ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) = ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))))
55 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) = ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))
5649, 54, 55rspcedvd 3585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))
571, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ (((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) = (𝑒( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))))
5951, 56, 58mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ ((𝑐(-gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑑)( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝑆)
6035, 59eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ ((𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))(-gβ€˜π΄)(𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝑆)
6160adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∧ π‘Œ = (𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))) β†’ ((𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))(-gβ€˜π΄)(𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝑆)
6213, 61eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) ∧ π‘Œ = (𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)))) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) ∈ 𝑆)
6362exp32 422 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) β†’ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (π‘Œ = (𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) ∈ 𝑆)))
6463rexlimdva 3149 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (π‘Œ = (𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) ∈ 𝑆)))
6564com23 86 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (π‘Œ = (𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) ∈ 𝑆)))
6665rexlimdva 3149 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 π‘Œ = (𝑑( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) ∈ 𝑆)))
6711, 66syldc 48 . . . 4 (π‘Œ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) ∈ 𝑆)))
6867adantl 483 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) ∈ 𝑆)))
6968impcom 409 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 β€˜π΄)(1rβ€˜π΄)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) ∈ 𝑆))
709, 69mpd 15 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑋(-gβ€˜π΄)π‘Œ) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  1rcur 19921  Ringcrg 19972  LModclmod 20365   Mat cmat 21777   ScMat cscmat 21861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mamu 21756  df-mat 21778  df-scmat 21863
This theorem is referenced by:  scmatsgrp  21891  scmatsgrp1  21894
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