MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsubcl 21126
Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatsubcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatsubcl
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
2 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2824 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 eqid 2824 . . . . 5 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 21115 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑆) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
873expa 1115 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋𝑆) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
98adantrr 716 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
101, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 21115 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑆) → ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
11103expia 1118 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝑆 → ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
12 oveq12 7158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
1312adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
14 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
16 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝐴) = (-g𝐴)
17 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g‘(Scalar‘𝐴))
182matlmod 21038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝐴 ∈ LMod)
202matsca2 21029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2120fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
221, 21syl5eq 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2322eleq2d 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2423biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2524adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2625imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2722eleq2d 2901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑𝐸𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2827biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
302matring 21052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
313, 4ringidcl 19321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
343, 5, 14, 15, 16, 17, 19, 26, 29, 33lmodsubdir 19692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
3534eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
36 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3720eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3837ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3938fveq2d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g𝑅))
4039oveqd 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) = (𝑐(-g𝑅)𝑑))
41 ringgrp 19302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4241adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑅 ∈ Grp)
44 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑐𝐸)
45 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑑𝐸)
46 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-g𝑅) = (-g𝑅)
471, 46grpsubcl 18179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐(-g𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
4843, 44, 45, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
4940, 48eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸)
501, 2, 3, 5matvscl 21040 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
5136, 49, 33, 50syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
52 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
5352eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
5453adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
55 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
5649, 54, 55rspcedvd 3612 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
571, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
5951, 56, 58mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)
6035, 59eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
6160adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
6213, 61eqeltrd 2916 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
6362exp32 424 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6463rexlimdva 3276 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6564com23 86 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6665rexlimdva 3276 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6711, 66syldc 48 . . . 4 (𝑌𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6867adantl 485 . . 3 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6968impcom 411 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆))
709, 69mpd 15 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  0gc0g 16713  Grpcgrp 18103  -gcsg 18105  1rcur 19251  Ringcrg 19297  LModclmod 19634   Mat cmat 21016   ScMat cscmat 21098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-mamu 20995  df-mat 21017  df-scmat 21100
This theorem is referenced by:  scmatsgrp  21128  scmatsgrp1  21131
  Copyright terms: Public domain W3C validator