Theorem scmatsubcl 22438

Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmatsubcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatsubcl

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
2		scmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		scmatid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 22427	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
8	7	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
9	8	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 22427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
11	10	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝑆 → ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
12		oveq12 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
14		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
16		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
17		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g‘(Scalar‘𝐴))
18	2	matlmod 22350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ LMod)
20	2	matsca2 22341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
21	20	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
22	1, 21	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
23	22	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐 ∈ 𝐸 ↔ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
24	23	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐 ∈ 𝐸 → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ∈ 𝐸 → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
26	25	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
27	22	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑 ∈ 𝐸 ↔ 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
28	27	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
30	2	matring 22364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
31	3, 4	ringidcl 20189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
34	3, 5, 14, 15, 16, 17, 19, 26, 29, 33	lmodsubdir 20859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
35	34	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
36		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
37	20	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
38	37	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
39	38	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g‘𝑅))
40	39	oveqd 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) = (𝑐(-g‘𝑅)𝑑))
41		ringgrp 20162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
43	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Grp)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑐 ∈ 𝐸)
45		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ 𝐸)
46		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
47	1, 46	grpsubcl 18939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
48	43, 44, 45, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
49	40, 48	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸)
50	1, 2, 3, 5	matvscl 22352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
51	36, 49, 33, 50	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
52		oveq1 7359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
53	52	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
55		eqidd 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
56	49, 54, 55	rspcedvd 3574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
59	51, 56, 58	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
60	35, 59	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(-g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
62	13, 61	eqeltrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
63	62	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
64	63	rexlimdva 3133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
65	64	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
66	65	rexlimdva 3133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
67	11, 66	syldc 48	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
68	67	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
69	68	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆))
70	9, 69	mpd 15	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  Basecbs 17126  Scalarcsca 17170   ·_𝑠 cvsca 17171  0_gc0g 17349  Grpcgrp 18852  -_gcsg 18854  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  LModclmod 20799   Mat cmat 22328   ScMat cscmat 22410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-hash 14244  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-hom 17191  df-cco 17192  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-prds 17357  df-pws 17359  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-dsmm 21675  df-frlm 21690  df-mamu 22312  df-mat 22329  df-scmat 22412

This theorem is referenced by:  scmatsgrp  22440  scmatsgrp1  22443