Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smatvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatvscl 21133
 Description: Closure of the scalar multiplication in the ring of scalar matrices. (matvscl 21040 analog.) (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smatvscl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
smatvscl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
smatvscl.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
smatvscl.t = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
smatvscl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝑆)) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smatvscl
Dummy variables 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 smatvscl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2801 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4 eqid 2801 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 smatvscl.t . . . . 5 = ( ·𝑠𝐴)
6 smatvscl.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21114 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝑆 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴)))))
8 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 𝑋) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
98adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
102matlmod 21038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
1110ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
12 smatvscl.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐾 = (Base‘𝑅)
132matsca2 21029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
1413fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1512, 14syl5eq 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1615eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
1716biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1913ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2019fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2120eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2221biimpa 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
232matring 21052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
243, 4ringidcl 19318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
27 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
28 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
29 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
303, 27, 5, 28, 29lmodvsass 19656 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
3111, 18, 22, 26, 30syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
3231eqcomd 2807 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))) = ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)))
33 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3413adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3534eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3736fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r𝑅))
3837oveqd 7156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) = (𝐶(.r𝑅)𝑐))
39 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
40 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐶𝐾)
4112eqcomi 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝑅) = 𝐾
4241eleq2i 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑐𝐾)
4342biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑐𝐾)
4443adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐𝐾)
45 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4612, 45ringcl 19311 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝑐𝐾) → (𝐶(.r𝑅)𝑐) ∈ 𝐾)
4739, 40, 44, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r𝑅)𝑐) ∈ 𝐾)
4838, 47eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∈ 𝐾)
4912, 2, 3, 5matvscl 21040 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴))
5033, 48, 26, 49syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴))
51 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) = 𝑒 → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5251eqcoms 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5352adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑒 = (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5448, 53rspcedeq2vd 3581 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ∃𝑒𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5512, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21114 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑒𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))))
5655ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑒𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))))
5750, 54, 56mpbir2and 712 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ 𝑆)
5832, 57eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))) ∈ 𝑆)
5958adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))) ∈ 𝑆)
609, 59eqeltrd 2893 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)
6160rexlimdva2 3249 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆))
6261expimpd 457 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆))
6362ex 416 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾 → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
6463com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶𝐾 → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
657, 64sylbid 243 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝑆 → (𝐶𝐾 → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
6665com23 86 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾 → (𝑋𝑆 → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
6766imp32 422 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝑆)) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3110  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  Basecbs 16479  .rcmulr 16562  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  1rcur 19248  Ringcrg 19294  LModclmod 19631   Mat cmat 21016   ScMat cscmat 21098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-prds 16717  df-pws 16719  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-dsmm 20425  df-frlm 20440  df-mamu 20995  df-mat 21017  df-scmat 21100 This theorem is referenced by:  scmatlss  21134  scmatf  21138
 Copyright terms: Public domain W3C validator