Theorem smatvscl 22844

Description: Closure of the scalar multiplication in the ring of scalar matrices. (matvscl 22751 analog.) (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
smatvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
smatvscl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
smatvscl.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
smatvscl.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
smatvscl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smatvscl

Dummy variables 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		smatvscl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		smatvscl.t	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		smatvscl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22825	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)))))
8		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) → (𝐶 ∗ 𝑋) = (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))))
9	8	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∗ 𝑋) = (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))))
10	2	matlmod 22749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
11	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
12		smatvscl.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	2	matsca2 22740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
14	13	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
15	12, 14	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
16	15	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶 ∈ 𝐾 ↔ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
17	16	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
18	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
19	13	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
20	19	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
21	20	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
22	21	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
23	2	matring 22763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
24	3, 4	ringidcl 20499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
26	25	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
27		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
28		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
29		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
30	3, 27, 5, 28, 29	lmodvsass 21167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))))
31	11, 18, 22, 26, 30	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))))
32	31	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) = ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)))
33		simplll 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
34	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
35	34	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
37	36	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘𝑅))
38	37	oveqd 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) = (𝐶(.r‘𝑅)𝑐))
39		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
40		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
41	12	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝐾
42	41	eleq2i 2852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑐 ∈ 𝐾)
43	42	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ 𝐾)
44		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	12, 44	ringcl 20482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝐶(.r‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐾)
46	39, 40, 43, 45	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐾)
47	38, 46	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∈ 𝐾)
48	12, 2, 3, 5	matvscl 22751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ (Base‘𝐴))
49	33, 47, 26, 48	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ (Base‘𝐴))
50		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) = 𝑒 → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))
51	50	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))
52	51	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑒 = (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))
53	47, 52	rspcedeqvd 3583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ∃𝑒 ∈ 𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))
54	12, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))))
55	54	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))))
56	49, 53, 55	mpbir2and 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
57	32, 56	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
58	57	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
59	9, 58	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)
60	59	rexlimdva2 3165	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆))
61	60	expimpd 459	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆))
62	61	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶 ∈ 𝐾 → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)))
63	62	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∈ 𝐾 → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)))
64	7, 63	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐶 ∈ 𝐾 → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)))
65	64	com23 87	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)))
66	65	imp32 424	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8976  Basecbs 17392  ._rcmulr 17434  Scalarcsca 17436   ·_𝑠 cvsca 17437  1_rcur 20412  Ringcrg 20464  LModclmod 21140   Mat cmat 22727   ScMat cscmat 22809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-subrg 20827  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-dsmm 22043  df-frlm 22058  df-mamu 22711  df-mat 22728  df-scmat 22811

This theorem is used by:  scmatlss  22845  scmatf  22849