Theorem smatvscl 22546

Description: Closure of the scalar multiplication in the ring of scalar matrices. (matvscl 22453 analog.) (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
smatvscl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
smatvscl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
smatvscl.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
smatvscl.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
smatvscl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smatvscl

Dummy variables 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		smatvscl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		smatvscl.t	. . . . 5 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		smatvscl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22527	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)))))
8		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) → (𝐶 ∗ 𝑋) = (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∗ 𝑋) = (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))))
10	2	matlmod 22451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
11	10	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
12		smatvscl.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	2	matsca2 22442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
14	13	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
15	12, 14	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
16	15	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶 ∈ 𝐾 ↔ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
19	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
20	19	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
21	20	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
22	21	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
23	2	matring 22465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
24	3, 4	ringidcl 20280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
26	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
27		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
28		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
29		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
30	3, 27, 5, 28, 29	lmodvsass 20902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))))
31	11, 18, 22, 26, 30	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))))
32	31	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) = ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)))
33		simplll 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
34	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
35	34	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
36	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
37	36	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘𝑅))
38	37	oveqd 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) = (𝐶(.r‘𝑅)𝑐))
39		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
40		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
41	12	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝐾
42	41	eleq2i 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑐 ∈ 𝐾)
43	42	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑐 ∈ 𝐾)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ 𝐾)
45		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
46	12, 45	ringcl 20268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝐾) → (𝐶(.r‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐾)
47	39, 40, 44, 46	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘𝑅)𝑐) ∈ 𝐾)
48	38, 47	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∈ 𝐾)
49	12, 2, 3, 5	matvscl 22453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ (Base‘𝐴))
50	33, 48, 26, 49	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ (Base‘𝐴))
51		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) = 𝑒 → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))
52	51	eqcoms 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑒 = (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))
54	48, 53	rspcedeq2vd 3630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ∃𝑒 ∈ 𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))
55	12, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))))
56	55	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) = (𝑒 ∗ (1r‘𝐴)))))
57	50, 54, 56	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∗ (1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
58	32, 57	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
59	58	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∗ (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
60	9, 59	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)
61	60	rexlimdva2 3155	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴)) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆))
62	61	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆))
63	62	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶 ∈ 𝐾 → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)))
64	63	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 ∗ (1r‘𝐴))) → (𝐶 ∈ 𝐾 → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)))
65	7, 64	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐶 ∈ 𝐾 → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)))
66	65	com23 86	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)))
67	66	imp32 418	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∗ 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875   Mat cmat 22427   ScMat cscmat 22511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mamu 22411  df-mat 22428  df-scmat 22513

This theorem is referenced by:  scmatlss  22547  scmatf  22551