MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smatvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatvscl 22520
Description: Closure of the scalar multiplication in the ring of scalar matrices. (matvscl 22427 analog.) (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smatvscl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
smatvscl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
smatvscl.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
smatvscl.t = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
smatvscl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝑆)) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smatvscl
Dummy variables 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 smatvscl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4 eqid 2726 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 smatvscl.t . . . . 5 = ( ·𝑠𝐴)
6 smatvscl.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 22501 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝑆 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴)))))
8 oveq2 7434 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 𝑋) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
98adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
102matlmod 22425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
1110ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
12 smatvscl.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐾 = (Base‘𝑅)
132matsca2 22416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
1413fveq2d 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1512, 14eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1615eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
1716biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1913ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2019fveq2d 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2120eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2221biimpa 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
232matring 22439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
243, 4ringidcl 20247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
2625ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
28 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
29 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
303, 27, 5, 28, 29lmodvsass 20865 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
3111, 18, 22, 26, 30syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
3231eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))) = ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)))
33 simplll 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3413adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3534eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3736fveq2d 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r𝑅))
3837oveqd 7443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) = (𝐶(.r𝑅)𝑐))
39 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
40 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐶𝐾)
4112eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝑅) = 𝐾
4241eleq2i 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑐𝐾)
4342biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑐𝐾)
4443adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐𝐾)
45 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4612, 45ringcl 20235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝑐𝐾) → (𝐶(.r𝑅)𝑐) ∈ 𝐾)
4739, 40, 44, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r𝑅)𝑐) ∈ 𝐾)
4838, 47eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∈ 𝐾)
4912, 2, 3, 5matvscl 22427 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴))
5033, 48, 26, 49syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴))
51 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) = 𝑒 → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5251eqcoms 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑒 = (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5448, 53rspcedeq2vd 3616 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ∃𝑒𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5512, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 22501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑒𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))))
5655ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑒𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))))
5750, 54, 56mpbir2and 711 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ 𝑆)
5832, 57eqeltrd 2826 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))) ∈ 𝑆)
5958adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))) ∈ 𝑆)
609, 59eqeltrd 2826 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)
6160rexlimdva2 3147 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆))
6261expimpd 452 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆))
6362ex 411 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾 → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
6463com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶𝐾 → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
657, 64sylbid 239 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝑆 → (𝐶𝐾 → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
6665com23 86 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾 → (𝑋𝑆 → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
6766imp32 417 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝑆)) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060  cfv 6556  (class class class)co 7426  Fincfn 8976  Basecbs 17215  .rcmulr 17269  Scalarcsca 17271   ·𝑠 cvsca 17272  1rcur 20166  Ringcrg 20218  LModclmod 20838   Mat cmat 22401   ScMat cscmat 22485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-er 8736  df-map 8859  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-sup 9487  df-oi 9555  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-seq 14024  df-hash 14350  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-hom 17292  df-cco 17293  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-prds 17464  df-pws 17466  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-mhm 18775  df-submnd 18776  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-sbg 18935  df-mulg 19064  df-subg 19119  df-ghm 19209  df-cntz 19313  df-cmn 19782  df-abl 19783  df-mgp 20120  df-rng 20138  df-ur 20167  df-ring 20220  df-subrg 20555  df-lmod 20840  df-lss 20911  df-sra 21153  df-rgmod 21154  df-dsmm 21732  df-frlm 21747  df-mamu 22385  df-mat 22402  df-scmat 22487
This theorem is referenced by:  scmatlss  22521  scmatf  22525
  Copyright terms: Public domain W3C validator