MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smatvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatvscl 21779
Description: Closure of the scalar multiplication in the ring of scalar matrices. (matvscl 21686 analog.) (Contributed by AV, 24-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smatvscl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
smatvscl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
smatvscl.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
smatvscl.t = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
smatvscl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝑆)) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem smatvscl
Dummy variables 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 smatvscl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
4 eqid 2736 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 smatvscl.t . . . . 5 = ( ·𝑠𝐴)
6 smatvscl.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21760 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝑆 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴)))))
8 oveq2 7345 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 𝑋) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
98adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
102matlmod 21684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
1110ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐴 ∈ LMod)
12 smatvscl.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐾 = (Base‘𝑅)
132matsca2 21675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
1413fveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1512, 14eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1615eleq2d 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
1716biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1817ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1913ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2019fveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2120eleq2d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2221biimpa 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
232matring 21698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
243, 4ringidcl 19902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
2625ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
27 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
28 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
29 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r‘(Scalar‘𝐴))
303, 27, 5, 28, 29lmodvsass 20254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
3111, 18, 22, 26, 30syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))))
3231eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))) = ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)))
33 simplll 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
3534eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3635ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3736fveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (.r‘(Scalar‘𝐴)) = (.r𝑅))
3837oveqd 7354 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) = (𝐶(.r𝑅)𝑐))
39 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
40 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐶𝐾)
4112eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝑅) = 𝐾
4241eleq2i 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑐𝐾)
4342biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑐𝐾)
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑐𝐾)
45 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4612, 45ringcl 19895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝐾𝑐𝐾) → (𝐶(.r𝑅)𝑐) ∈ 𝐾)
4739, 40, 44, 46syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r𝑅)𝑐) ∈ 𝐾)
4838, 47eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∈ 𝐾)
4912, 2, 3, 5matvscl 21686 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) ∈ 𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴))
5033, 48, 26, 49syl12anc 834 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴))
51 oveq1 7344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) = 𝑒 → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5251eqcoms 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑒 = (𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5448, 53rspcedeq2vd 3576 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ∃𝑒𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))
5512, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 21760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑒𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))))
5655ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑒𝐾 ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) = (𝑒 (1r𝐴)))))
5750, 54, 56mpbir2and 710 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐶(.r‘(Scalar‘𝐴))𝑐) (1r𝐴)) ∈ 𝑆)
5832, 57eqeltrd 2837 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))) ∈ 𝑆)
5958adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 (𝑐 (1r𝐴))) ∈ 𝑆)
609, 59eqeltrd 2837 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)
6160rexlimdva2 3150 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆))
6261expimpd 454 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝐾) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆))
6362ex 413 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾 → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
6463com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∈ (Base‘𝐴) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑋 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶𝐾 → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
657, 64sylbid 239 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋𝑆 → (𝐶𝐾 → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
6665com23 86 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐶𝐾 → (𝑋𝑆 → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)))
6766imp32 419 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝐶𝐾𝑋𝑆)) → (𝐶 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3070  cfv 6479  (class class class)co 7337  Fincfn 8804  Basecbs 17009  .rcmulr 17060  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  1rcur 19832  Ringcrg 19878  LModclmod 20229   Mat cmat 21660   ScMat cscmat 21744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-sup 9299  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-hash 14146  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-hom 17083  df-cco 17084  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-prds 17255  df-pws 17257  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-mulg 18797  df-subg 18848  df-ghm 18928  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-dsmm 21045  df-frlm 21060  df-mamu 21639  df-mat 21661  df-scmat 21746
This theorem is referenced by:  scmatlss  21780  scmatf  21784
  Copyright terms: Public domain W3C validator