Theorem scmataddcl 22438

Description: The sum of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
scmatid.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
scmataddcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmataddcl

Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
2		scmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		scmatid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
5		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
6		scmatid.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 22428	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
8	7	3expa 1115	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
9	8	adantrr 715	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → ∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 22428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
11	10	3expia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝑆 → ∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
12		oveq12 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(+g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
13	12	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(+g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
14	2	matlmod 22351	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
15	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ LMod)
16	2	matsca2 22342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
17	16	fveq2d 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
18	1, 17	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
19	18	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐 ∈ 𝐸 ↔ 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
20	19	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐 ∈ 𝐸 → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
21	20	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐 ∈ 𝐸 → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
22	21	imp 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
23	18	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑 ∈ 𝐸 ↔ 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
24	23	biimpa 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
25	24	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
26	2	matring 22365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
27	3, 4	ringidcl 20209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
29	28	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
30		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
31		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
32		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
33		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝐴)) = (+g‘(Scalar‘𝐴))
34	3, 30, 31, 5, 32, 33	lmodvsdir 20776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ (𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(+g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
35	15, 22, 25, 29, 34	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(+g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
36	35	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(+g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) = ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
37		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
38	16	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
39	38	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
40	39	fveq2d 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (+g‘(Scalar‘𝐴)) = (+g‘𝑅))
41	40	oveqd 7443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) = (𝑐(+g‘𝑅)𝑑))
42		ringgrp 20185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
43	42	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
44	43	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Grp)
45		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑐 ∈ 𝐸)
46		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → 𝑑 ∈ 𝐸)
47		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
48	1, 47	grpcl 18905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑐(+g‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
49	44, 45, 46, 48	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(+g‘𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
50	41, 49	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸)
51	1, 2, 3, 5	matvscl 22353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
52	37, 50, 29, 51	syl12anc 835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
53		oveq1 7433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 = (𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
54	53	eqeq2d 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = (𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
55	54	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ 𝑒 = (𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)) → (((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ↔ ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))))
56		eqidd 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
57	50, 55, 56	rspcedvd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))
58	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 22427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
59	58	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒 ∈ 𝐸 ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) = (𝑒( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))))
60	52, 57, 59	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∈ 𝑆)
61	36, 60	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(+g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
62	61	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → ((𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))(+g‘𝐴)(𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴))) ∈ 𝑆)
63	13, 62	eqeltrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)))) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
64	63	exp32 419	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) ∧ 𝑐 ∈ 𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
65	64	rexlimdva 3152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
66	65	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
67	66	rexlimdva 3152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑑 ∈ 𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
68	11, 67	syldc 48	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
69	68	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
70	69	impcom 406	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (∃𝑐 ∈ 𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝐴)) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆))
71	9, 70	mpd 15	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)) → (𝑋(+g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  0_gc0g 17428  Grpcgrp 18897  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20750   Mat cmat 22327   ScMat cscmat 22411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-mamu 22306  df-mat 22328  df-scmat 22413

This theorem is referenced by:  scmatlss  22447