![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mat0scmat | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The empty matrix over a ring is a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 22430, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mat0scmat | โข (๐ โ Ring โ โ โ (โ ScMat ๐ )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0ex 5307 | . . . 4 โข โ โ V | |
2 | 1 | snid 4665 | . . 3 โข โ โ {โ } |
3 | mat0dimbas0 22381 | . . 3 โข (๐ โ Ring โ (Baseโ(โ Mat ๐ )) = {โ }) | |
4 | 2, 3 | eleqtrrid 2836 | . 2 โข (๐ โ Ring โ โ โ (Baseโ(โ Mat ๐ ))) |
5 | eqid 2728 | . . . . 5 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
6 | eqid 2728 | . . . . 5 โข (1rโ๐ ) = (1rโ๐ ) | |
7 | 5, 6 | ringidcl 20202 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ (1rโ๐ ) โ (Baseโ๐ )) |
8 | oveq1 7427 | . . . . . 6 โข (๐ = (1rโ๐ ) โ (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ) = ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ )) | |
9 | 8 | eqeq2d 2739 | . . . . 5 โข (๐ = (1rโ๐ ) โ (โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ) โ โ = ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ))) |
10 | 9 | adantl 481 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ = (1rโ๐ )) โ (โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ) โ โ = ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ))) |
11 | eqid 2728 | . . . . . . 7 โข (โ Mat ๐ ) = (โ Mat ๐ ) | |
12 | 11 | mat0dimscm 22384 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Ring โง (1rโ๐ ) โ (Baseโ๐ )) โ ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ) = โ ) |
13 | 7, 12 | mpdan 686 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ) = โ ) |
14 | 13 | eqcomd 2734 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ โ = ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ )) |
15 | 7, 10, 14 | rspcedvd 3611 | . . 3 โข (๐ โ Ring โ โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ )) |
16 | 11 | mat0dimid 22383 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ (1rโ(โ Mat ๐ )) = โ ) |
17 | 16 | oveq2d 7436 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ ))) = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ )) |
18 | 17 | eqeq2d 2739 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ (โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ ))) โ โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ))) |
19 | 18 | rexbidv 3175 | . . 3 โข (๐ โ Ring โ (โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ ))) โ โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ))) |
20 | 15, 19 | mpbird 257 | . 2 โข (๐ โ Ring โ โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ )))) |
21 | 0fin 9196 | . . 3 โข โ โ Fin | |
22 | eqid 2728 | . . . 4 โข (Baseโ(โ Mat ๐ )) = (Baseโ(โ Mat ๐ )) | |
23 | eqid 2728 | . . . 4 โข (1rโ(โ Mat ๐ )) = (1rโ(โ Mat ๐ )) | |
24 | eqid 2728 | . . . 4 โข ( ยท๐ โ(โ Mat ๐ )) = ( ยท๐ โ(โ Mat ๐ )) | |
25 | eqid 2728 | . . . 4 โข (โ ScMat ๐ ) = (โ ScMat ๐ ) | |
26 | 5, 11, 22, 23, 24, 25 | scmatel 22420 | . . 3 โข ((โ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ (โ โ (โ ScMat ๐ ) โ (โ โ (Baseโ(โ Mat ๐ )) โง โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ )))))) |
27 | 21, 26 | mpan 689 | . 2 โข (๐ โ Ring โ (โ โ (โ ScMat ๐ ) โ (โ โ (Baseโ(โ Mat ๐ )) โง โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ )))))) |
28 | 4, 20, 27 | mpbir2and 712 | 1 โข (๐ โ Ring โ โ โ (โ ScMat ๐ )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 โwrex 3067 โ c0 4323 {csn 4629 โcfv 6548 (class class class)co 7420 Fincfn 8964 Basecbs 17180 ยท๐ cvsca 17237 1rcur 20121 Ringcrg 20173 Mat cmat 22320 ScMat cscmat 22404 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11195 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-ot 4638 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-se 5634 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-isom 6557 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-of 7685 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-supp 8166 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-1o 8487 df-er 8725 df-map 8847 df-ixp 8917 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-fsupp 9387 df-sup 9466 df-oi 9534 df-card 9963 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-nn 12244 df-2 12306 df-3 12307 df-4 12308 df-5 12309 df-6 12310 df-7 12311 df-8 12312 df-9 12313 df-n0 12504 df-z 12590 df-dec 12709 df-uz 12854 df-fz 13518 df-fzo 13661 df-seq 14000 df-hash 14323 df-struct 17116 df-sets 17133 df-slot 17151 df-ndx 17163 df-base 17181 df-ress 17210 df-plusg 17246 df-mulr 17247 df-sca 17249 df-vsca 17250 df-ip 17251 df-tset 17252 df-ple 17253 df-ds 17255 df-hom 17257 df-cco 17258 df-0g 17423 df-gsum 17424 df-prds 17429 df-pws 17431 df-mre 17566 df-mrc 17567 df-acs 17569 df-mgm 18600 df-sgrp 18679 df-mnd 18695 df-mhm 18740 df-submnd 18741 df-grp 18893 df-minusg 18894 df-sbg 18895 df-mulg 19024 df-subg 19078 df-ghm 19168 df-cntz 19268 df-cmn 19737 df-abl 19738 df-mgp 20075 df-rng 20093 df-ur 20122 df-ring 20175 df-subrg 20508 df-lmod 20745 df-lss 20816 df-sra 21058 df-rgmod 21059 df-dsmm 21666 df-frlm 21681 df-mamu 22299 df-mat 22321 df-scmat 22406 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |