![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mat0scmat | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The empty matrix over a ring is a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 22361, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mat0scmat | โข (๐ โ Ring โ โ โ (โ ScMat ๐ )) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0ex 5298 | . . . 4 โข โ โ V | |
2 | 1 | snid 4657 | . . 3 โข โ โ {โ } |
3 | mat0dimbas0 22312 | . . 3 โข (๐ โ Ring โ (Baseโ(โ Mat ๐ )) = {โ }) | |
4 | 2, 3 | eleqtrrid 2832 | . 2 โข (๐ โ Ring โ โ โ (Baseโ(โ Mat ๐ ))) |
5 | eqid 2724 | . . . . 5 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
6 | eqid 2724 | . . . . 5 โข (1rโ๐ ) = (1rโ๐ ) | |
7 | 5, 6 | ringidcl 20161 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ (1rโ๐ ) โ (Baseโ๐ )) |
8 | oveq1 7409 | . . . . . 6 โข (๐ = (1rโ๐ ) โ (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ) = ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ )) | |
9 | 8 | eqeq2d 2735 | . . . . 5 โข (๐ = (1rโ๐ ) โ (โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ) โ โ = ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ))) |
10 | 9 | adantl 481 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ = (1rโ๐ )) โ (โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ) โ โ = ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ))) |
11 | eqid 2724 | . . . . . . 7 โข (โ Mat ๐ ) = (โ Mat ๐ ) | |
12 | 11 | mat0dimscm 22315 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Ring โง (1rโ๐ ) โ (Baseโ๐ )) โ ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ) = โ ) |
13 | 7, 12 | mpdan 684 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ) = โ ) |
14 | 13 | eqcomd 2730 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ โ = ((1rโ๐ )( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ )) |
15 | 7, 10, 14 | rspcedvd 3606 | . . 3 โข (๐ โ Ring โ โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ )) |
16 | 11 | mat0dimid 22314 | . . . . . 6 โข (๐ โ Ring โ (1rโ(โ Mat ๐ )) = โ ) |
17 | 16 | oveq2d 7418 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ ))) = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ )) |
18 | 17 | eqeq2d 2735 | . . . 4 โข (๐ โ Ring โ (โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ ))) โ โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ))) |
19 | 18 | rexbidv 3170 | . . 3 โข (๐ โ Ring โ (โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ ))) โ โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))โ ))) |
20 | 15, 19 | mpbird 257 | . 2 โข (๐ โ Ring โ โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ )))) |
21 | 0fin 9168 | . . 3 โข โ โ Fin | |
22 | eqid 2724 | . . . 4 โข (Baseโ(โ Mat ๐ )) = (Baseโ(โ Mat ๐ )) | |
23 | eqid 2724 | . . . 4 โข (1rโ(โ Mat ๐ )) = (1rโ(โ Mat ๐ )) | |
24 | eqid 2724 | . . . 4 โข ( ยท๐ โ(โ Mat ๐ )) = ( ยท๐ โ(โ Mat ๐ )) | |
25 | eqid 2724 | . . . 4 โข (โ ScMat ๐ ) = (โ ScMat ๐ ) | |
26 | 5, 11, 22, 23, 24, 25 | scmatel 22351 | . . 3 โข ((โ โ Fin โง ๐ โ Ring) โ (โ โ (โ ScMat ๐ ) โ (โ โ (Baseโ(โ Mat ๐ )) โง โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ )))))) |
27 | 21, 26 | mpan 687 | . 2 โข (๐ โ Ring โ (โ โ (โ ScMat ๐ ) โ (โ โ (Baseโ(โ Mat ๐ )) โง โ๐ โ (Baseโ๐ )โ = (๐( ยท๐ โ(โ Mat ๐ ))(1rโ(โ Mat ๐ )))))) |
28 | 4, 20, 27 | mpbir2and 710 | 1 โข (๐ โ Ring โ โ โ (โ ScMat ๐ )) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3062 โ c0 4315 {csn 4621 โcfv 6534 (class class class)co 7402 Fincfn 8936 Basecbs 17149 ยท๐ cvsca 17206 1rcur 20082 Ringcrg 20134 Mat cmat 22251 ScMat cscmat 22335 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-tp 4626 df-op 4628 df-ot 4630 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-iin 4991 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-se 5623 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-isom 6543 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-of 7664 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-supp 8142 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8700 df-map 8819 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-sup 9434 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-z 12558 df-dec 12677 df-uz 12822 df-fz 13486 df-fzo 13629 df-seq 13968 df-hash 14292 df-struct 17085 df-sets 17102 df-slot 17120 df-ndx 17132 df-base 17150 df-ress 17179 df-plusg 17215 df-mulr 17216 df-sca 17218 df-vsca 17219 df-ip 17220 df-tset 17221 df-ple 17222 df-ds 17224 df-hom 17226 df-cco 17227 df-0g 17392 df-gsum 17393 df-prds 17398 df-pws 17400 df-mre 17535 df-mrc 17536 df-acs 17538 df-mgm 18569 df-sgrp 18648 df-mnd 18664 df-mhm 18709 df-submnd 18710 df-grp 18862 df-minusg 18863 df-sbg 18864 df-mulg 18992 df-subg 19046 df-ghm 19135 df-cntz 19229 df-cmn 19698 df-abl 19699 df-mgp 20036 df-rng 20054 df-ur 20083 df-ring 20136 df-subrg 20467 df-lmod 20704 df-lss 20775 df-sra 21017 df-rgmod 21018 df-dsmm 21616 df-frlm 21631 df-mamu 22230 df-mat 22252 df-scmat 22337 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |