Theorem mat0scmat 21130

Description: The empty matrix over a ring is a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 21107, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mat0scmat	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅))

Proof of Theorem mat0scmat

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5197	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4587	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3		mat0dimbas0 21058	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
4	2, 3	eleqtrrid 2920	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
5		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 19301	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
8		oveq1 7149	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (1r‘𝑅) → (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
9	8	eqeq2d 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (1r‘𝑅) → (∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) ↔ ∅ = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
10	9	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 = (1r‘𝑅)) → (∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) ↔ ∅ = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
11		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
12	11	mat0dimscm 21061	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) = ∅)
13	7, 12	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) = ∅)
14	13	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
15	7, 10, 14	rspcedvd 3618	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
16	11	mat0dimid 21060	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = ∅)
17	16	oveq2d 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
18	17	eqeq2d 2832	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))) ↔ ∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
19	18	rexbidv 3297	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
20	15, 19	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))))
21		0fin 8732	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
22		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
23		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = (1r‘(∅ Mat 𝑅))
24		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))
25		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (∅ ScMat 𝑅) = (∅ ScMat 𝑅)
26	5, 11, 22, 23, 24, 25	scmatel 21097	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅) ↔ (∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))))))
27	21, 26	mpan 688	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅) ↔ (∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))))))
28	4, 20, 27	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  ∅c0 4279  {csn 4553  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  Fincfn 8495  Basecbs 16466   ·_𝑠 cvsca 16552  1_rcur 19234  Ringcrg 19280   Mat cmat 20999   ScMat cscmat 21081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-ot 4562  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7395  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8820  df-sup 8892  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-ip 16566  df-tset 16567  df-ple 16568  df-ds 16570  df-hom 16572  df-cco 16573  df-0g 16698  df-gsum 16699  df-prds 16704  df-pws 16706  df-mre 16840  df-mrc 16841  df-acs 16843  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-mhm 17939  df-submnd 17940  df-grp 18089  df-minusg 18090  df-sbg 18091  df-mulg 18208  df-subg 18259  df-ghm 18339  df-cntz 18430  df-cmn 18891  df-abl 18892  df-mgp 19223  df-ur 19235  df-ring 19282  df-subrg 19516  df-lmod 19619  df-lss 19687  df-sra 19927  df-rgmod 19928  df-dsmm 20859  df-frlm 20874  df-mamu 20978  df-mat 21000  df-scmat 21083

This theorem is referenced by: (None)