MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0scmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0scmat 22384
Description: The empty matrix over a ring is a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 22361, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
mat0scmat (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (โˆ… ScMat ๐‘…))

Proof of Theorem mat0scmat
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5298 . . . 4 โˆ… โˆˆ V
21snid 4657 . . 3 โˆ… โˆˆ {โˆ…}
3 mat0dimbas0 22312 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = {โˆ…})
42, 3eleqtrrid 2832 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)))
5 eqid 2724 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
6 eqid 2724 . . . . 5 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
75, 6ringidcl 20161 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8 oveq1 7409 . . . . . 6 (๐‘ = (1rโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…) = ((1rโ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…))
98eqeq2d 2735 . . . . 5 (๐‘ = (1rโ€˜๐‘…) โ†’ (โˆ… = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…) โ†” โˆ… = ((1rโ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…)))
109adantl 481 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ = (1rโ€˜๐‘…)) โ†’ (โˆ… = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…) โ†” โˆ… = ((1rโ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…)))
11 eqid 2724 . . . . . . 7 (โˆ… Mat ๐‘…) = (โˆ… Mat ๐‘…)
1211mat0dimscm 22315 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…) = โˆ…)
137, 12mpdan 684 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ((1rโ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…) = โˆ…)
1413eqcomd 2730 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… = ((1rโ€˜๐‘…)( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…))
157, 10, 14rspcedvd 3606 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ… = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…))
1611mat0dimid 22314 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = โˆ…)
1716oveq2d 7418 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))(1rโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))) = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…))
1817eqeq2d 2735 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))(1rโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))) โ†” โˆ… = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…)))
1918rexbidv 3170 . . 3 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ… = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))(1rโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ… = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))โˆ…)))
2015, 19mpbird 257 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ… = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))(1rโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))))
21 0fin 9168 . . 3 โˆ… โˆˆ Fin
22 eqid 2724 . . . 4 (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))
23 eqid 2724 . . . 4 (1rโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = (1rโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))
24 eqid 2724 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) = ( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))
25 eqid 2724 . . . 4 (โˆ… ScMat ๐‘…) = (โˆ… ScMat ๐‘…)
265, 11, 22, 23, 24, 25scmatel 22351 . . 3 ((โˆ… โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (โˆ… โˆˆ (โˆ… ScMat ๐‘…) โ†” (โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ… = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))(1rโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))))))
2721, 26mpan 687 . 2 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (โˆ… โˆˆ (โˆ… ScMat ๐‘…) โ†” (โˆ… โˆˆ (Baseโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…)) โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ… = (๐‘( ยท๐‘  โ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))(1rโ€˜(โˆ… Mat ๐‘…))))))
284, 20, 27mpbir2and 710 1 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ โˆ… โˆˆ (โˆ… ScMat ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062  โˆ…c0 4315  {csn 4621  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  Basecbs 17149   ยท๐‘  cvsca 17206  1rcur 20082  Ringcrg 20134   Mat cmat 22251   ScMat cscmat 22335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-dsmm 21616  df-frlm 21631  df-mamu 22230  df-mat 22252  df-scmat 22337
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator