Theorem mat0scmat 21231

Description: The empty matrix over a ring is a scalar matrix (and therefore, by scmatdmat 21208, also a diagonal matrix). (Contributed by AV, 21-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mat0scmat	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅))

Proof of Theorem mat0scmat

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5178	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4559	. . 3 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3		mat0dimbas0 21159	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
4	2, 3	eleqtrrid 2860	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
5		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2759	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 19382	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
8		oveq1 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (1r‘𝑅) → (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
9	8	eqeq2d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (1r‘𝑅) → (∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) ↔ ∅ = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
10	9	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 = (1r‘𝑅)) → (∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) ↔ ∅ = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
11		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
12	11	mat0dimscm 21162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) = ∅)
13	7, 12	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅) = ∅)
14	13	eqcomd 2765	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
15	7, 10, 14	rspcedvd 3545	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
16	11	mat0dimid 21161	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = ∅)
17	16	oveq2d 7167	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))) = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅))
18	17	eqeq2d 2770	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))) ↔ ∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
19	18	rexbidv 3222	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))∅)))
20	15, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))))
21		0fin 8768	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
22		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
23		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = (1r‘(∅ Mat 𝑅))
24		eqid 2759	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))
25		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (∅ ScMat 𝑅) = (∅ ScMat 𝑅)
26	5, 11, 22, 23, 24, 25	scmatel 21198	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅) ↔ (∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))))))
27	21, 26	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅) ↔ (∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ∧ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∅ = (𝑐( ·𝑠 ‘(∅ Mat 𝑅))(1r‘(∅ Mat 𝑅))))))
28	4, 20, 27	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (∅ ScMat 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072  ∅c0 4226  {csn 4523  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  Basecbs 16534   ·_𝑠 cvsca 16620  1_rcur 19312  Ringcrg 19358   Mat cmat 21100   ScMat cscmat 21182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-ot 4532  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-sup 8932  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-seq 13412  df-hash 13734  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-hom 16640  df-cco 16641  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-prds 16772  df-pws 16774  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-mhm 18015  df-submnd 18016  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-sbg 18167  df-mulg 18285  df-subg 18336  df-ghm 18416  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-abl 18969  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-subrg 19594  df-lmod 19697  df-lss 19765  df-sra 20005  df-rgmod 20006  df-dsmm 20490  df-frlm 20505  df-mamu 21079  df-mat 21101  df-scmat 21184

This theorem is referenced by: (None)