Theorem sdomsdomcardi 9962

Description: A set strictly dominates if its cardinal strictly dominates. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcardi	⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)

Proof of Theorem sdomsdomcardi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 9104	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅
2		ndmfv 6923	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) = ∅)
3	2	breq2d 5159	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ ∅))
4	1, 3	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → ¬ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
5	4	con4i 114	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
6		cardid2 9944	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
8		sdomentr 9107	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
9	7, 8	mpdan 685	1 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2106  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ‘cfv 6540   ≈ cen 8932   ≺ csdm 8934  cardccrd 9926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-card 9930

This theorem is referenced by:  sdomsdomcard  10551