Theorem sdomsdomcardi 10023

Description: A set strictly dominates if its cardinal strictly dominates. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcardi	⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)

Proof of Theorem sdomsdomcardi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 9106	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅
2		ndmfv 6905	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) = ∅)
3	2	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ ∅))
4	1, 3	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → ¬ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
5	4	con4i 115	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
6		cardid2 10005	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
8		sdomentr 9108	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
9	7, 8	mpdan 700	1 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  dom cdm 5647  ‘cfv 6527   ≈ cen 8948   ≺ csdm 8950  cardccrd 9987

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-card 9991

This theorem is used by:  sdomsdomcard  10615