Theorem sdomsdomcardi 9393

Description: A set strictly dominates if its cardinal strictly dominates. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcardi	⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)

Proof of Theorem sdomsdomcardi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 8642	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅
2		ndmfv 6693	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) = ∅)
3	2	breq2d 5071	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ ∅))
4	1, 3	mtbiri 329	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → ¬ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
5	4	con4i 114	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
6		cardid2 9375	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
8		sdomentr 8644	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
9	7, 8	mpdan 685	1 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2113  ∅c0 4284   class class class wbr 5059  dom cdm 5548  ‘cfv 6348   ≈ cen 8499   ≺ csdm 8501  cardccrd 9357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-ral 3142  df-rex 3143  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-card 9361

This theorem is referenced by:  sdomsdomcard  9975