MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomsdomcardi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomsdomcardi 9388
Description: A set strictly dominates if its cardinal strictly dominates. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
sdomsdomcardi (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem sdomsdomcardi
StepHypRef Expression
1 sdom0 8637 . . . . 5 ¬ 𝐴 ≺ ∅
2 ndmfv 6682 . . . . . 6 𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) = ∅)
32breq2d 5054 . . . . 5 𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ ∅))
41, 3mtbiri 330 . . . 4 𝐵 ∈ dom card → ¬ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
54con4i 114 . . 3 (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
6 cardid2 9370 . . 3 (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
8 sdomentr 8639 . 2 ((𝐴 ≺ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → 𝐴𝐵)
97, 8mpdan 686 1 (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2114  c0 4265   class class class wbr 5042  dom cdm 5532  cfv 6334  cen 8493  csdm 8495  cardccrd 9352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-ord 6172  df-on 6173  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-card 9356
This theorem is referenced by:  sdomsdomcard  9971
  Copyright terms: Public domain W3C validator