Theorem sdomsdomcardi 9884

Description: A set strictly dominates if its cardinal strictly dominates. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomsdomcardi	⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)

Proof of Theorem sdomsdomcardi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 9036	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅
2		ndmfv 6861	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) = ∅)
3	2	breq2d 5086	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → (𝐴 ≺ (card‘𝐵) ↔ 𝐴 ≺ ∅))
4	1, 3	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ dom card → ¬ 𝐴 ≺ (card‘𝐵))
5	4	con4i 114	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
6		cardid2 9866	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → (card‘𝐵) ≈ 𝐵)
8		sdomentr 9038	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ (card‘𝐵) ∧ (card‘𝐵) ≈ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
9	7, 8	mpdan 688	1 ⊢ (𝐴 ≺ (card‘𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114  ∅c0 4263   class class class wbr 5074  dom cdm 5620  ‘cfv 6487   ≈ cen 8879   ≺ csdm 8881  cardccrd 9848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6315  df-on 6316  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-card 9852

This theorem is referenced by:  sdomsdomcard  10471