MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1lem1 10646
Description: Lemma for canthp1 10648. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1lem1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 9239 . . 3 1o ≺ 2o
2 djuxpdom 10179 . . 3 ((1o𝐴 ∧ 1o ≺ 2o) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
31, 2mpan2 689 . 2 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
4 sdom0 9107 . . . . . 6 ¬ 1o ≺ ∅
5 breq2 5152 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (1o𝐴 ↔ 1o ≺ ∅))
64, 5mtbiri 326 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 1o𝐴)
76con2i 139 . . . 4 (1o𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8 neq0 4345 . . . 4 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
97, 8sylib 217 . . 3 (1o𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
10 relsdom 8945 . . . . . . . . . 10 Rel ≺
1110brrelex2i 5733 . . . . . . . . 9 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13 enrefg 8979 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → 𝐴𝐴)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝐴𝐴)
15 df2o2 8474 . . . . . . . . 9 2o = {∅, {∅}}
16 pwpw0 4816 . . . . . . . . 9 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
1715, 16eqtr4i 2763 . . . . . . . 8 2o = 𝒫 {∅}
18 0ex 5307 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
19 vex 3478 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
20 en2sn 9040 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
2118, 19, 20mp2an 690 . . . . . . . . 9 {∅} ≈ {𝑥}
22 pwen 9149 . . . . . . . . 9 ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
2417, 23eqbrtri 5169 . . . . . . 7 2o ≈ 𝒫 {𝑥}
25 xpen 9139 . . . . . . 7 ((𝐴𝐴 ∧ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
2614, 24, 25sylancl 586 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27 vsnex 5429 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2827pwex 5378 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ V
29 uncom 4153 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3130snssd 4812 . . . . . . . . . 10 ((1o𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32 undif 4481 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3331, 32sylib 217 . . . . . . . . 9 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3429, 33eqtrid 2784 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
3512difexd 5329 . . . . . . . . 9 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36 canth2g 9130 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
37 domunsn 9126 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
3934, 38eqbrtrrd 5172 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40 xpdom1g 9068 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4128, 39, 40sylancr 587 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42 endomtr 9007 . . . . . 6 (((𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4326, 41, 42syl2anc 584 . . . . 5 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44 pwdjuen 10175 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4535, 27, 44sylancl 586 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4645ensymd 9000 . . . . 5 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
47 domentr 9008 . . . . 5 (((𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
4843, 46, 47syl2anc 584 . . . 4 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
4927a1i 11 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ V)
50 disjdifr 4472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
5150a1i 11 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
52 endjudisj 10162 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5335, 49, 51, 52syl3anc 1371 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5453, 34breqtrd 5174 . . . . 5 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴)
55 pwen 9149 . . . . 5 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
5654, 55syl 17 . . . 4 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
57 domentr 9008 . . . 4 (((𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
5848, 56, 57syl2anc 584 . . 3 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
599, 58exlimddv 1938 . 2 (1o𝐴 → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
60 domtr 9002 . 2 (((𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o) ∧ (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
613, 59, 60syl2anc 584 1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  Vcvv 3474  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   × cxp 5674  1oc1o 8458  2oc2o 8459  cen 8935  cdom 8936  csdm 8937  cdju 9892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-dju 9895
This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10647  canthp1  10648
  Copyright terms: Public domain W3C validator