Theorem canthp1lem1 10695

Description: Lemma for canthp1 10697. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem1	⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1sdom2 9274	. . 3 ⊢ 1o ≺ 2o
2		djuxpdom 10228	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 2o) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
4		sdom0 9146	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ≺ ∅
5		breq2 5157	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1o ≺ 𝐴 ↔ 1o ≺ ∅))
6	4, 5	mtbiri 326	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1o ≺ 𝐴)
7	6	con2i 139	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		neq0 4348	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
10		relsdom 8981	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex2i 5739	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
12	11	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13		enrefg 9015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
15		df2o2 8505	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
16		pwpw0 4822	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
17	15, 16	eqtr4i 2757	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
18		0ex 5312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
19		vex 3466	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		en2sn 9077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
21	18, 19, 20	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
22		pwen 9188	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
24	17, 23	eqbrtri 5174	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}
25		xpen 9178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
26	14, 24, 25	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27		vsnex 5435	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
28	27	pwex 5384	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ V
29		uncom 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	snssd 4818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32		undif 4486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
33	31, 32	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
34	29, 33	eqtrid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35	12	difexd 5336	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36		canth2g 9169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
37		domunsn 9165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
39	34, 38	eqbrtrrd 5177	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40		xpdom1g 9107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
41	28, 39, 40	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42		endomtr 9043	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43	26, 41, 42	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44		pwdjuen 10224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45	35, 27, 44	sylancl 584	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
46	45	ensymd 9036	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
47		domentr 9044	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
48	43, 46, 47	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
49	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ V)
50		disjdifr 4477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
52		endjudisj 10211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
53	35, 49, 51, 52	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
54	53, 34	breqtrd 5179	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴)
55		pwen 9188	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
56	54, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
57		domentr 9044	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
58	48, 56, 57	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
59	9, 58	exlimddv 1931	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
60		domtr 9038	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o) ∧ (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
61	3, 59, 60	syl2anc 582	1 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4325  𝒫 cpw 4607  {csn 4633  {cpr 4635   class class class wbr 5153   × cxp 5680  1_oc1o 8489  2_oc2o 8490   ≈ cen 8971   ≼ cdom 8972   ≺ csdm 8973   ⊔ cdju 9941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-dju 9944

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10696  canthp1  10697