Theorem canthp1lem1 9676

Description: Lemma for canthp1 9678. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem1	⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1sdom2 8315	. . 3 ⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜
2		cdaxpdom 9213	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
3	1, 2	mpan2 671	. 2 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
4		sdom0 8248	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1𝑜 ≺ ∅
5		breq2 4790	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1𝑜 ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜 ≺ ∅))
6	4, 5	mtbiri 316	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1𝑜 ≺ 𝐴)
7	6	con2i 136	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		neq0 4077	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	sylib 208	. . 3 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
10		relsdom 8116	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex2i 5299	. . . . . . . . 9 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
12	11	adantr 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13		enrefg 8141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
15		df2o2 7728	. . . . . . . . 9 ⊢ 2𝑜 = {∅, {∅}}
16		pwpw0 4479	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
17	15, 16	eqtr4i 2796	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 = 𝒫 {∅}
18		0ex 4924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
19		vex 3354	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		en2sn 8193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
21	18, 19, 20	mp2an 672	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
22		pwen 8289	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
24	17, 23	eqbrtri 4807	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}
25		xpen 8279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
26	14, 24, 25	sylancl 574	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27		snex 5036	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
28	27	pwex 4981	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ V
29		uncom 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30		simpr 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	snssd 4475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32		undif 4191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
33	31, 32	sylib 208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
34	29, 33	syl5eq 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35		difexg 4942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36	12, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		canth2g 8270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38		domunsn 8266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40	34, 39	eqbrtrrd 4810	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
41		xpdom1g 8213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42	28, 40, 41	sylancr 575	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43		endomtr 8167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44	26, 42, 43	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45		pwcdaen 9209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
46	36, 27, 45	sylancl 574	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
47	46	ensymd 8160	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
48		domentr 8168	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
49	44, 47, 48	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
50	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ V)
51		incom 3956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥}))
52		disjdif 4182	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
53	51, 52	eqtri 2793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
55		cdaun 9196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
56	36, 50, 54, 55	syl3anc 1476	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57	56, 34	breqtrd 4812	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴)
58		pwen 8289	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
60		domentr 8168	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
61	49, 59, 60	syl2anc 573	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
62	9, 61	exlimddv 2015	. 2 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
63		domtr 8162	. 2 ⊢ (((𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
64	3, 62, 63	syl2anc 573	1 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ∪ cun 3721   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  {cpr 4318   class class class wbr 4786   × cxp 5247  (class class class)co 6793  1_𝑜c1o 7706  2_𝑜c2o 7707   ≈ cen 8106   ≼ cdom 8107   ≺ csdm 8108   +_𝑐 ccda 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-cda 9192

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  9677  canthp1  9678