Theorem canthp1lem1 9727

Description: Lemma for canthp1 9729. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem1	⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1sdom2 8366	. . 3 ⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜
2		cdaxpdom 9264	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
3	1, 2	mpan2 682	. 2 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜))
4		sdom0 8299	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1𝑜 ≺ ∅
5		breq2 4813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1𝑜 ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜 ≺ ∅))
6	4, 5	mtbiri 318	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1𝑜 ≺ 𝐴)
7	6	con2i 136	. . . 4 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		neq0 4094	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	sylib 209	. . 3 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
10		relsdom 8167	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex2i 5329	. . . . . . . . 9 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
12	11	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13		enrefg 8192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
15		df2o2 7779	. . . . . . . . 9 ⊢ 2𝑜 = {∅, {∅}}
16		pwpw0 4498	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
17	15, 16	eqtr4i 2790	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 = 𝒫 {∅}
18		0ex 4950	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
19		vex 3353	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		en2sn 8244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
21	18, 19, 20	mp2an 683	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
22		pwen 8340	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
24	17, 23	eqbrtri 4830	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}
25		xpen 8330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 2𝑜 ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
26	14, 24, 25	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27		snex 5064	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
28	27	pwex 5016	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ V
29		uncom 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	snssd 4494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32		undif 4209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
33	31, 32	sylib 209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
34	29, 33	syl5eq 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35		difexg 4969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36	12, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
37		canth2g 8321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38		domunsn 8317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40	34, 39	eqbrtrrd 4833	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
41		xpdom1g 8264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42	28, 40, 41	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43		endomtr 8218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 2𝑜) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44	26, 42, 43	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45		pwcdaen 9260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
46	36, 27, 45	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
47	46	ensymd 8211	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
48		domentr 8219	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 2𝑜) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥})) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
49	44, 47, 48	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}))
50	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ V)
51		incom 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥}))
52		disjdif 4200	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐴 ∖ {𝑥})) = ∅
53	51, 52	eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
54	53	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
55		cdaun 9247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
56	36, 50, 54, 55	syl3anc 1490	. . . . . 6 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
57	56, 34	breqtrd 4835	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴)
58		pwen 8340	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
60		domentr 8219	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) +𝑐 {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
61	49, 59, 60	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((1𝑜 ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
62	9, 61	exlimddv 2030	. 2 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
63		domtr 8213	. 2 ⊢ (((𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ (𝐴 × 2𝑜) ∧ (𝐴 × 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
64	3, 62, 63	syl2anc 579	1 ⊢ (1𝑜 ≺ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 2𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652  ∃wex 1874   ∈ wcel 2155  Vcvv 3350   ∖ cdif 3729   ∪ cun 3730   ∩ cin 3731   ⊆ wss 3732  ∅c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334  {cpr 4336   class class class wbr 4809   × cxp 5275  (class class class)co 6842  1_𝑜c1o 7757  2_𝑜c2o 7758   ≈ cen 8157   ≼ cdom 8158   ≺ csdm 8159   +_𝑐 ccda 9242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-1o 7764  df-2o 7765  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-cda 9243

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  9728  canthp1  9729