Theorem canthp1lem1 10570

Description: Lemma for canthp1 10572. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem1	⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1sdom2 9153	. . 3 ⊢ 1o ≺ 2o
2		djuxpdom 10103	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 2o) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
3	1, 2	mpan2 692	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
4		sdom0 9042	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ≺ ∅
5		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1o ≺ 𝐴 ↔ 1o ≺ ∅))
6	4, 5	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1o ≺ 𝐴)
7	6	con2i 139	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		neq0 4293	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	sylib 218	. . 3 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
10		relsdom 8895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex2i 5683	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13		enrefg 8926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
15		df2o2 8409	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
16		pwpw0 4757	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
17	15, 16	eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
18		0ex 5243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
19		vex 3434	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		en2sn 8983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
21	18, 19, 20	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
22		pwen 9083	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
24	17, 23	eqbrtri 5107	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}
25		xpen 9073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
26	14, 24, 25	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27		vsnex 5374	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
28	27	pwex 5319	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ V
29		uncom 4099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	snssd 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32		undif 4423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
33	31, 32	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
34	29, 33	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35	12	difexd 5269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36		canth2g 9064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
37		domunsn 9060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
39	34, 38	eqbrtrrd 5110	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40		xpdom1g 9007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
41	28, 39, 40	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42		endomtr 8954	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43	26, 41, 42	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44		pwdjuen 10099	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45	35, 27, 44	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
46	45	ensymd 8947	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
47		domentr 8955	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
48	43, 46, 47	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
49	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ V)
50		disjdifr 4414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
52		endjudisj 10086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
53	35, 49, 51, 52	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
54	53, 34	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴)
55		pwen 9083	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
56	54, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
57		domentr 8955	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
58	48, 56, 57	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
59	9, 58	exlimddv 1937	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
60		domtr 8949	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o) ∧ (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
61	3, 59, 60	syl2anc 585	1 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086   × cxp 5624  1_oc1o 8393  2_oc2o 8394   ≈ cen 8885   ≼ cdom 8886   ≺ csdm 8887   ⊔ cdju 9817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-dju 9820

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10571  canthp1  10572