Theorem canthp1lem1 10605

Description: Lemma for canthp1 10607. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem1	⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1sdom2 9187	. . 3 ⊢ 1o ≺ 2o
2		djuxpdom 10139	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 2o) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
4		sdom0 9073	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ≺ ∅
5		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1o ≺ 𝐴 ↔ 1o ≺ ∅))
6	4, 5	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1o ≺ 𝐴)
7	6	con2i 139	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		neq0 4315	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	sylib 218	. . 3 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
10		relsdom 8925	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex2i 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13		enrefg 8955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
15		df2o2 8443	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
16		pwpw0 4777	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
17	15, 16	eqtr4i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
18		0ex 5262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
19		vex 3451	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		en2sn 9012	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
21	18, 19, 20	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
22		pwen 9114	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
24	17, 23	eqbrtri 5128	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}
25		xpen 9104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
26	14, 24, 25	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27		vsnex 5389	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
28	27	pwex 5335	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ V
29		uncom 4121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	snssd 4773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32		undif 4445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
33	31, 32	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
34	29, 33	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35	12	difexd 5286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36		canth2g 9095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
37		domunsn 9091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
39	34, 38	eqbrtrrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40		xpdom1g 9038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
41	28, 39, 40	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42		endomtr 8983	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43	26, 41, 42	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44		pwdjuen 10135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45	35, 27, 44	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
46	45	ensymd 8976	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
47		domentr 8984	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
48	43, 46, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
49	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ V)
50		disjdifr 4436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
52		endjudisj 10122	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
53	35, 49, 51, 52	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
54	53, 34	breqtrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴)
55		pwen 9114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
56	54, 55	syl 17	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
57		domentr 8984	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
58	48, 56, 57	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
59	9, 58	exlimddv 1935	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
60		domtr 8978	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o) ∧ (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
61	3, 59, 60	syl2anc 584	1 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5107   × cxp 5636  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917   ⊔ cdju 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-dju 9854

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10606  canthp1  10607