MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1lem1 10546
Description: Lemma for canthp1 10548. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1lem1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 9142 . . 3 1o ≺ 2o
2 djuxpdom 10079 . . 3 ((1o𝐴 ∧ 1o ≺ 2o) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
31, 2mpan2 689 . 2 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
4 sdom0 9010 . . . . . 6 ¬ 1o ≺ ∅
5 breq2 5107 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (1o𝐴 ↔ 1o ≺ ∅))
64, 5mtbiri 326 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 1o𝐴)
76con2i 139 . . . 4 (1o𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8 neq0 4303 . . . 4 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
97, 8sylib 217 . . 3 (1o𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
10 relsdom 8848 . . . . . . . . . 10 Rel ≺
1110brrelex2i 5687 . . . . . . . . 9 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13 enrefg 8882 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → 𝐴𝐴)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝐴𝐴)
15 df2o2 8413 . . . . . . . . 9 2o = {∅, {∅}}
16 pwpw0 4771 . . . . . . . . 9 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
1715, 16eqtr4i 2767 . . . . . . . 8 2o = 𝒫 {∅}
18 0ex 5262 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
19 vex 3447 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
20 en2sn 8943 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
2118, 19, 20mp2an 690 . . . . . . . . 9 {∅} ≈ {𝑥}
22 pwen 9052 . . . . . . . . 9 ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
2417, 23eqbrtri 5124 . . . . . . 7 2o ≈ 𝒫 {𝑥}
25 xpen 9042 . . . . . . 7 ((𝐴𝐴 ∧ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
2614, 24, 25sylancl 586 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27 vsnex 5384 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2827pwex 5333 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ V
29 uncom 4111 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3130snssd 4767 . . . . . . . . . 10 ((1o𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32 undif 4439 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3331, 32sylib 217 . . . . . . . . 9 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3429, 33eqtrid 2788 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
3512difexd 5284 . . . . . . . . 9 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36 canth2g 9033 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
37 domunsn 9029 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
3934, 38eqbrtrrd 5127 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40 xpdom1g 8971 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4128, 39, 40sylancr 587 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42 endomtr 8910 . . . . . 6 (((𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4326, 41, 42syl2anc 584 . . . . 5 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44 pwdjuen 10075 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4535, 27, 44sylancl 586 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4645ensymd 8903 . . . . 5 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
47 domentr 8911 . . . . 5 (((𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
4843, 46, 47syl2anc 584 . . . 4 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
4927a1i 11 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ V)
50 disjdifr 4430 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
5150a1i 11 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
52 endjudisj 10062 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5335, 49, 51, 52syl3anc 1371 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5453, 34breqtrd 5129 . . . . 5 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴)
55 pwen 9052 . . . . 5 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
5654, 55syl 17 . . . 4 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
57 domentr 8911 . . . 4 (((𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
5848, 56, 57syl2anc 584 . . 3 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
599, 58exlimddv 1938 . 2 (1o𝐴 → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
60 domtr 8905 . 2 (((𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o) ∧ (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
613, 59, 60syl2anc 584 1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  Vcvv 3443  cdif 3905  cun 3906  cin 3907  wss 3908  c0 4280  𝒫 cpw 4558  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103   × cxp 5629  1oc1o 8397  2oc2o 8398  cen 8838  cdom 8839  csdm 8840  cdju 9792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-dju 9795
This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10547  canthp1  10548
  Copyright terms: Public domain W3C validator