MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1lem1 10649
Description: Lemma for canthp1 10651. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
canthp1lem1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1sdom2 9242 . . 3 1o ≺ 2o
2 djuxpdom 10182 . . 3 ((1o𝐴 ∧ 1o ≺ 2o) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
31, 2mpan2 687 . 2 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
4 sdom0 9110 . . . . . 6 ¬ 1o ≺ ∅
5 breq2 5151 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (1o𝐴 ↔ 1o ≺ ∅))
64, 5mtbiri 326 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ¬ 1o𝐴)
76con2i 139 . . . 4 (1o𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8 neq0 4344 . . . 4 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
97, 8sylib 217 . . 3 (1o𝐴 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
10 relsdom 8948 . . . . . . . . . 10 Rel ≺
1110brrelex2i 5732 . . . . . . . . 9 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
1211adantr 479 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13 enrefg 8982 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → 𝐴𝐴)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝐴𝐴)
15 df2o2 8477 . . . . . . . . 9 2o = {∅, {∅}}
16 pwpw0 4815 . . . . . . . . 9 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
1715, 16eqtr4i 2761 . . . . . . . 8 2o = 𝒫 {∅}
18 0ex 5306 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
19 vex 3476 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
20 en2sn 9043 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
2118, 19, 20mp2an 688 . . . . . . . . 9 {∅} ≈ {𝑥}
22 pwen 9152 . . . . . . . . 9 ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
2417, 23eqbrtri 5168 . . . . . . 7 2o ≈ 𝒫 {𝑥}
25 xpen 9142 . . . . . . 7 ((𝐴𝐴 ∧ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
2614, 24, 25sylancl 584 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27 vsnex 5428 . . . . . . . 8 {𝑥} ∈ V
2827pwex 5377 . . . . . . 7 𝒫 {𝑥} ∈ V
29 uncom 4152 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3130snssd 4811 . . . . . . . . . 10 ((1o𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32 undif 4480 . . . . . . . . . 10 ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3331, 32sylib 217 . . . . . . . . 9 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
3429, 33eqtrid 2782 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
3512difexd 5328 . . . . . . . . 9 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36 canth2g 9133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
37 domunsn 9129 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . 8 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
3934, 38eqbrtrrd 5171 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40 xpdom1g 9071 . . . . . . 7 ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4128, 39, 40sylancr 585 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42 endomtr 9010 . . . . . 6 (((𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4326, 41, 42syl2anc 582 . . . . 5 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44 pwdjuen 10178 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4535, 27, 44sylancl 584 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
4645ensymd 9003 . . . . 5 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
47 domentr 9011 . . . . 5 (((𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
4843, 46, 47syl2anc 582 . . . 4 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
4927a1i 11 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → {𝑥} ∈ V)
50 disjdifr 4471 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
5150a1i 11 . . . . . . 7 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
52 endjudisj 10165 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5335, 49, 51, 52syl3anc 1369 . . . . . 6 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
5453, 34breqtrd 5173 . . . . 5 ((1o𝐴𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴)
55 pwen 9152 . . . . 5 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
5654, 55syl 17 . . . 4 ((1o𝐴𝑥𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
57 domentr 9011 . . . 4 (((𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
5848, 56, 57syl2anc 582 . . 3 ((1o𝐴𝑥𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
599, 58exlimddv 1936 . 2 (1o𝐴 → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
60 domtr 9005 . 2 (((𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o) ∧ (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
613, 59, 60syl2anc 582 1 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wex 1779  wcel 2104  Vcvv 3472  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   × cxp 5673  1oc1o 8461  2oc2o 8462  cen 8938  cdom 8939  csdm 8940  cdju 9895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-dju 9898
This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10650  canthp1  10651
  Copyright terms: Public domain W3C validator