Theorem canthp1lem1 10637

Description: Lemma for canthp1 10639. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem1	⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem canthp1lem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1sdom2 9208	. . 3 ⊢ 1o ≺ 2o
2		djuxpdom 10169	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 1o ≺ 2o) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o))
4		sdom0 9097	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ≺ ∅
5		breq2 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (1o ≺ 𝐴 ↔ 1o ≺ ∅))
6	4, 5	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ 1o ≺ 𝐴)
7	6	con2i 140	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8		neq0 4314	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
10		relsdom 8950	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≺
11	10	brrelex2i 5719	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
12	11	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
13		enrefg 8981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≈ 𝐴)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
15		df2o2 8462	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
16		pwpw0 4783	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
17	15, 16	eqtr4i 2795	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = 𝒫 {∅}
18		0ex 5272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
19		vex 3467	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
20		en2sn 9038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {∅} ≈ {𝑥})
21	18, 19, 20	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅} ≈ {𝑥}
22		pwen 9138	. . . . . . . . 9 ⊢ ({∅} ≈ {𝑥} → 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥})
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {∅} ≈ 𝒫 {𝑥}
24	17, 23	eqbrtri 5136	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}
25		xpen 9128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 2o ≈ 𝒫 {𝑥}) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
26	14, 24, 25	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}))
27		vsnex 5407	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
28	27	pwex 5352	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝑥} ∈ V
29		uncom 4120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥}))
30		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
31	30	snssd 4757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ⊆ 𝐴)
32		undif 4448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
33	31, 32	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ({𝑥} ∪ (𝐴 ∖ {𝑥})) = 𝐴)
34	29, 33	eqtrid 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
35	12	difexd 5302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36		canth2g 9119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
37		domunsn 9115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≺ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
38	35, 36, 37	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
39	34, 38	eqbrtrrd 5139	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}))
40		xpdom1g 9062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 {𝑥} ∈ V ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
41	28, 39, 40	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
42		endomtr 9009	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≈ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝐴 × 𝒫 {𝑥}) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
43	26, 41, 42	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
44		pwdjuen 10165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
45	35, 27, 44	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}))
46	45	ensymd 9002	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
47		domentr 9010	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≼ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ∧ (𝒫 (𝐴 ∖ {𝑥}) × 𝒫 {𝑥}) ≈ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥})) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
48	43, 46, 47	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}))
49	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → {𝑥} ∈ V)
50		disjdifr 4439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
52		endjudisj 10152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ V ∧ {𝑥} ∈ V ∧ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
53	35, 49, 51, 52	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
54	53, 34	breqtrd 5141	. . . . 5 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴)
55		pwen 9138	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝐴 → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
56	54, 55	syl 18	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴)
57		domentr 9010	. . . 4 ⊢ (((𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ∧ 𝒫 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ⊔ {𝑥}) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
58	48, 56, 57	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
59	9, 58	exlimddv 1962	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
60		domtr 9004	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 2o) ≼ (𝐴 × 2o) ∧ (𝐴 × 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
61	3, 59, 60	syl2anc 595	1 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  {cpr 4596   class class class wbr 5113   × cxp 5660  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447   ≈ cen 8940   ≼ cdom 8941   ≺ csdm 8942   ⊔ cdju 9884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-dju 9887

This theorem is referenced by:  canthp1lem2  10638  canthp1  10639