Theorem brsdom 9009

Description: Strict dominance relation, meaning "𝐵 is strictly greater in size than 𝐴". Definition of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brsdom	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem brsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sdom 8984	. . 3 ⊢ ≺ = ( ≼ ∖ ≈ )
2	1	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≺ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ( ≼ ∖ ≈ ))
3		df-br 5103	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≺ )
4		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≼ )
5		df-br 5103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ )
6	5	notbii 323	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ )
7	4, 6	anbi12i 640	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≼ ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ ))
8		eldif 4048	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ( ≼ ∖ ≈ ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≼ ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ ))
9	7, 8	bitr4i 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ( ≼ ∖ ≈ ))
10	2, 3, 9	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4044  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   ≈ cen 8978   ≼ cdom 8979   ≺ csdm 8980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1572  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-v 3452  df-dif 4046  df-br 5103  df-sdom 8984

This theorem is used by:  sdomdom  9015  sdomnen  9016  0sdomg  9133  sdom0  9136  sdomdomtr  9137  domsdomtr  9139  domtriord  9150  canth2  9157  sdomdomtrfi  9224  domsdomtrfi  9225  php2  9231  nnsdomo  9242  1sdom2  9247  sdom1  9249  1sdom2dom  9253  nnsdomg  9299  card2inf  9556  cardsdomelir  10061  cardsdom2  10076  fidomtri2  10082  cardmin2  10087  alephordi  10160  alephord  10161  isfin4p1  10400  isfin5-2  10476  canthnum  10741  canthwe  10743  canthp1  10746  gchdjuidm  10760  gchxpidm  10761  gchhar  10771  axgroth6  10920  hashsdom  14532  ruc  16420  iscard5  44674