Theorem brsdom 9013

Description: Strict dominance relation, meaning "𝐵 is strictly greater in size than 𝐴". Definition of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brsdom	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem brsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sdom 8986	. . 3 ⊢ ≺ = ( ≼ ∖ ≈ )
2	1	eleq2i 2830	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≺ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ( ≼ ∖ ≈ ))
3		df-br 5148	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≺ )
4		df-br 5148	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≼ )
5		df-br 5148	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ )
6	5	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ )
7	4, 6	anbi12i 628	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≼ ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ ))
8		eldif 3972	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ( ≼ ∖ ≈ ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≼ ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ ))
9	7, 8	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ( ≼ ∖ ≈ ))
10	2, 3, 9	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3959  ⟨cop 4636   class class class wbr 5147   ≈ cen 8980   ≼ cdom 8981   ≺ csdm 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1539  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-v 3479  df-dif 3965  df-br 5148  df-sdom 8986

This theorem is referenced by:  sdomdom  9018  sdomnen  9019  0sdomg  9142  0sdomgOLD  9143  sdom0  9146  sdomdomtr  9148  domsdomtr  9150  domtriord  9161  canth2  9168  sdomdomtrfi  9238  domsdomtrfi  9239  php2  9245  php2OLD  9257  php3OLD  9258  nnsdomo  9267  1sdom2  9273  sdom1  9275  1sdom2dom  9280  nnsdomg  9332  nnsdomgOLD  9333  card2inf  9592  cardsdomelir  10010  cardsdom2  10025  fidomtri2  10031  cardmin2  10036  alephordi  10111  alephord  10112  isfin4p1  10352  isfin5-2  10428  canthnum  10686  canthwe  10688  canthp1  10691  gchdjuidm  10705  gchxpidm  10706  gchhar  10716  axgroth6  10865  hashsdom  14416  ruc  16275  iscard5  43525