Theorem brsdom 8987

Description: Strict dominance relation, meaning "𝐵 is strictly greater in size than 𝐴". Definition of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brsdom	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem brsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sdom 8960	. . 3 ⊢ ≺ = ( ≼ ∖ ≈ )
2	1	eleq2i 2826	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≺ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ( ≼ ∖ ≈ ))
3		df-br 5120	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≺ )
4		df-br 5120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≼ )
5		df-br 5120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ )
6	5	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ )
7	4, 6	anbi12i 628	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≼ ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ ))
8		eldif 3936	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ( ≼ ∖ ≈ ) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≼ ∧ ¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ≈ ))
9	7, 8	bitr4i 278	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ( ≼ ∖ ≈ ))
10	2, 3, 9	3bitr4i 303	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3923  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955   ≺ csdm 8956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1543  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-v 3461  df-dif 3929  df-br 5120  df-sdom 8960

This theorem is referenced by:  sdomdom  8992  sdomnen  8993  0sdomg  9116  0sdomgOLD  9117  sdom0  9120  sdomdomtr  9122  domsdomtr  9124  domtriord  9135  canth2  9142  sdomdomtrfi  9213  domsdomtrfi  9214  php2  9220  php2OLD  9230  php3OLD  9231  nnsdomo  9240  1sdom2  9246  sdom1  9248  1sdom2dom  9253  nnsdomg  9305  nnsdomgOLD  9306  card2inf  9567  cardsdomelir  9985  cardsdom2  10000  fidomtri2  10006  cardmin2  10011  alephordi  10086  alephord  10087  isfin4p1  10327  isfin5-2  10403  canthnum  10661  canthwe  10663  canthp1  10666  gchdjuidm  10680  gchxpidm  10681  gchhar  10691  axgroth6  10840  hashsdom  14397  ruc  16259  iscard5  43507