Theorem domunsn 9055

Description: Dominance over a set with one element added. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domunsn	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ 𝐵)

Proof of Theorem domunsn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 9037	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅
2		breq2 5076	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ ∅))
3	1, 2	mtbiri 328	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
4	3	con2i 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
5		neq0 4280	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
6	4, 5	sylib 219	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
7		domdifsn 8988	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}))
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}))
9		en2sn 8978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → {𝐶} ≈ {𝑧})
10	9	elvd 3437	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → {𝐶} ≈ {𝑧})
11		endom 8916	. . . . . 6 ⊢ ({𝐶} ≈ {𝑧} → {𝐶} ≼ {𝑧})
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → {𝐶} ≼ {𝑧})
13		snprc 4649	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V ↔ {𝐶} = ∅)
14	13	biimpi 217	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → {𝐶} = ∅)
15		vsnex 5364	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧} ∈ V
16	15	0dom 9035	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ {𝑧}
17	14, 16	eqbrtrdi 5111	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → {𝐶} ≼ {𝑧})
18	12, 17	pm2.61i 183	. . . 4 ⊢ {𝐶} ≼ {𝑧}
19		disjdifr 4401	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∩ {𝑧}) = ∅
20		undom 8993	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}) ∧ {𝐶} ≼ {𝑧}) ∧ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
21	19, 20	mpan2 697	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}) ∧ {𝐶} ≼ {𝑧}) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
22	8, 18, 21	sylancl 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
23		uncom 4088	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ (𝐵 ∖ {𝑧}))
24		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
25	24	snssd 4718	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑧} ⊆ 𝐵)
26		undif 4410	. . . . 5 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝐵 ↔ ({𝑧} ∪ (𝐵 ∖ {𝑧})) = 𝐵)
27	25, 26	sylib 219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ({𝑧} ∪ (𝐵 ∖ {𝑧})) = 𝐵)
28	23, 27	eqtrid 2786	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝐵)
29	22, 28	breqtrd 5098	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ 𝐵)
30	6, 29	exlimddv 1942	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  {csn 4555   class class class wbr 5072   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881   ≺ csdm 8882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886

This theorem is referenced by:  canthp1lem1  10566