Theorem domunsn 8863

Description: Dominance over a set with one element added. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domunsn	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ 𝐵)

Proof of Theorem domunsn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 8845	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅
2		breq2 5074	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ ∅))
3	1, 2	mtbiri 326	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
4	3	con2i 139	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
5		neq0 4276	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
6	4, 5	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
7		domdifsn 8795	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}))
9		en2sn 8785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → {𝐶} ≈ {𝑧})
10	9	elvd 3429	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → {𝐶} ≈ {𝑧})
11		endom 8722	. . . . . 6 ⊢ ({𝐶} ≈ {𝑧} → {𝐶} ≼ {𝑧})
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → {𝐶} ≼ {𝑧})
13		snprc 4650	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V ↔ {𝐶} = ∅)
14	13	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → {𝐶} = ∅)
15		snex 5349	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧} ∈ V
16	15	0dom 8843	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ {𝑧}
17	14, 16	eqbrtrdi 5109	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → {𝐶} ≼ {𝑧})
18	12, 17	pm2.61i 182	. . . 4 ⊢ {𝐶} ≼ {𝑧}
19		disjdifr 4403	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∩ {𝑧}) = ∅
20		undom 8800	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}) ∧ {𝐶} ≼ {𝑧}) ∧ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
21	19, 20	mpan2 687	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}) ∧ {𝐶} ≼ {𝑧}) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
22	8, 18, 21	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
23		uncom 4083	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ (𝐵 ∖ {𝑧}))
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
25	24	snssd 4739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑧} ⊆ 𝐵)
26		undif 4412	. . . . 5 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝐵 ↔ ({𝑧} ∪ (𝐵 ∖ {𝑧})) = 𝐵)
27	25, 26	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ({𝑧} ∪ (𝐵 ∖ {𝑧})) = 𝐵)
28	23, 27	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝐵)
29	22, 28	breqtrd 5096	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ 𝐵)
30	6, 29	exlimddv 1939	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ≺ csdm 8690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694

This theorem is referenced by:  canthp1lem1  10339