Theorem domunsn 9125

Description: Dominance over a set with one element added. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domunsn	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ 𝐵)

Proof of Theorem domunsn

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdom0 9107	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 ≺ ∅
2		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 ≺ 𝐵 ↔ 𝐴 ≺ ∅))
3	1, 2	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
4	3	con2i 140	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 = ∅)
5		neq0 4299	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
6	4, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝐵)
7		domdifsn 9058	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}))
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}))
9		en2sn 9048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) → {𝐶} ≈ {𝑧})
10	9	elvd 3456	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → {𝐶} ≈ {𝑧})
11		endom 8985	. . . . . 6 ⊢ ({𝐶} ≈ {𝑧} → {𝐶} ≼ {𝑧})
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → {𝐶} ≼ {𝑧})
13		snprc 4678	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V ↔ {𝐶} = ∅)
14	13	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → {𝐶} = ∅)
15		vsnex 5400	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧} ∈ V
16	15	0dom 9105	. . . . . 6 ⊢ ∅ ≼ {𝑧}
17	14, 16	eqbrtrdi 5144	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → {𝐶} ≼ {𝑧})
18	12, 17	pm2.61i 184	. . . 4 ⊢ {𝐶} ≼ {𝑧}
19		disjdifr 4427	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∩ {𝑧}) = ∅
20		undom 9063	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}) ∧ {𝐶} ≼ {𝑧}) ∧ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
21	19, 20	mpan2 704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐵 ∖ {𝑧}) ∧ {𝐶} ≼ {𝑧}) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
22	8, 18, 21	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}))
23		uncom 4105	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ (𝐵 ∖ {𝑧}))
24		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
25	24	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → {𝑧} ⊆ 𝐵)
26		undif 4438	. . . . 5 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝐵 ↔ ({𝑧} ∪ (𝐵 ∖ {𝑧})) = 𝐵)
27	25, 26	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ({𝑧} ∪ (𝐵 ∖ {𝑧})) = 𝐵)
28	23, 27	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐵 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝐵)
29	22, 28	breqtrd 5131	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ 𝐵)
30	6, 29	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐶}) ≼ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ≺ csdm 8951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955

This theorem is used by:  canthp1lem1  10661