MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  canthp1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem canthp1lem2 10691
Description: Lemma for canthp1 10692. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canthp1lem2.1 (𝜑 → 1o𝐴)
canthp1lem2.2 (𝜑𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
canthp1lem2.3 (𝜑𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)})–1-1-onto𝐴)
canthp1lem2.4 𝐻 = ((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
canthp1lem2.5 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐻‘(𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
canthp1lem2.6 𝐵 = dom 𝑊
Assertion
Ref Expression
canthp1lem2 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐴   𝐵,𝑟,𝑥,𝑦   𝐻,𝑟,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟,𝑥,𝑦   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem canthp1lem2
StepHypRef Expression
1 canthp1lem2.1 . . . . . 6 (𝜑 → 1o𝐴)
2 relsdom 8991 . . . . . . 7 Rel ≺
32brrelex2i 5746 . . . . . 6 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
54pwexd 5385 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
6 canthp1lem2.2 . . . 4 (𝜑𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
7 f1oeng 9010 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
85, 6, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
98ensymd 9044 . 2 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
10 canth2g 9170 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
114, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
12 sdomen2 9161 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o)))
138, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o)))
1411, 13mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
15 sdomnen 9020 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
17 omelon 9684 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
18 onenon 9987 . . . . . . . . . . . 12 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ω ∈ dom card
20 canthp1lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)})–1-1-onto𝐴)
21 dff1o3 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐹:𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ Fun 𝐹))
2221simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → Fun 𝐹)
236, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → Fun 𝐹)
24 f1ofo 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐹:𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o))
256, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹:𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o))
26 f1ofn 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
27 fnresdm 6688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 Fn 𝒫 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴) = 𝐹)
28 foeq1 6817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴) = 𝐹 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝐹:𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
296, 26, 27, 284syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝐹:𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
3025, 29mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o))
31 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹𝐴) ∈ V
32 f1osng 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹𝐴) ∈ V) → {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)})
334, 31, 32sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)})
346, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
35 pwidg 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
364, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
37 fnressn 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐴 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})
3834, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})
3938f1oeq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)} ↔ {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)}))
4033, 39mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)})
41 f1ofo 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)} → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹𝐴)})
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹𝐴)})
43 resdif 6870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹𝐴)}) → (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)}))
4423, 30, 42, 43syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)}))
45 f1oco 6872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)})–1-1-onto𝐴 ∧ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)})) → (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴)
4620, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴)
47 resco 6272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) = (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})))
48 f1oeq1 6837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) = (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))) → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴)
5046, 49sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴)
51 f1of 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴 → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})⟶𝐴)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})⟶𝐴)
53 0elpw 5362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ∈ 𝒫 𝐴)
55 sdom0 9147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ 1o ≺ ∅
56 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∅ = 𝐴 → (1o ≺ ∅ ↔ 1o𝐴))
5755, 56mtbii 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∅ = 𝐴 → ¬ 1o𝐴)
5857necon2ai 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1o𝐴 → ∅ ≠ 𝐴)
591, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∅ ≠ 𝐴)
6059ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ≠ 𝐴)
61 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
6254, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
63 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
64 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
6564neqned 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
66 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴))
6763, 65, 66sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
6862, 67ifclda 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
6968fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)):𝒫 𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
7052, 69fcod 6762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))):𝒫 𝐴𝐴)
7169frnd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) ⊆ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
72 cores 6271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) ⊆ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = ((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = ((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))))
74 canthp1lem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = ((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
7573, 74eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = 𝐻)
7675feq1d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))):𝒫 𝐴𝐴𝐻:𝒫 𝐴𝐴))
7770, 76mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻:𝒫 𝐴𝐴)
78 inss1 4245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴)
80 canthp1lem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐻‘(𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
81 canthp1lem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = dom 𝑊
82 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})
8380, 81, 82canth4 10685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐻:𝒫 𝐴𝐴 ∧ (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐵𝐴 ∧ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊊ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) = (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))))
844, 77, 79, 83syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐴 ∧ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊊ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) = (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))))
8584simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝐴)
8684simp2d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊊ 𝐵)
8786pssned 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ≠ 𝐵)
8887necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≠ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
8984simp3d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐻𝐵) = (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
9074fveq1i 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐻𝐵) = (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵)
9174fveq1i 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
9289, 90, 913eqtr3g 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵) = (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
934, 85sselpwd 5334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
9469, 93fvco3d 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵) = ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)))
9586pssssd 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊆ 𝐵)
9695, 85sstrd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊆ 𝐴)
974, 96sselpwd 5334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴)
9869, 97fvco3d 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))))
9992, 94, 983eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))))
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))))
101 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
102 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐴𝐵 = 𝐴))
103 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
104102, 103ifbieq2d 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) = if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵))
105 ifcl 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∅ ∈ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) ∈ 𝒫 𝐴)
10653, 93, 105sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) ∈ 𝒫 𝐴)
107101, 104, 93, 106fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵))
108 pssne 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
109108neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
110109iffalsed 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵𝐴 → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) = 𝐵)
111107, 110sylan9eq 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵) = 𝐵)
112111fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺𝐹)‘𝐵))
113 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) → (𝑥 = 𝐴 ↔ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴))
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) → 𝑥 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
115113, 114ifbieq2d 4557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) = if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
116 ifcl 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴) → if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) ∈ 𝒫 𝐴)
11753, 97, 116sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) ∈ 𝒫 𝐴)
118101, 115, 97, 117fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
119118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
120 sspsstr 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊆ 𝐵𝐵𝐴) → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊊ 𝐴)
12195, 120sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊊ 𝐴)
122121pssned 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ≠ 𝐴)
123122neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝐵𝐴) → ¬ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴)
124123iffalsed 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝐵𝐴) → if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
125119, 124eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
126125fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))) = ((𝐺𝐹)‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
127100, 112, 1263eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝐵) = ((𝐺𝐹)‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
12893, 108anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
129 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
130128, 129sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
131130fvresd 6927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐵𝐴) → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = ((𝐺𝐹)‘𝐵))
13297adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴)
133 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ≠ 𝐴))
134132, 122, 133sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
135134fvresd 6927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐵𝐴) → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = ((𝐺𝐹)‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
136127, 131, 1353eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐵𝐴) → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
137 f1of1 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴 → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1𝐴)
13850, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1𝐴)
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1𝐴)
140 f1fveq 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1𝐴 ∧ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ∧ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))) → ((((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) ↔ 𝐵 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
141139, 130, 134, 140syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐵𝐴) → ((((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) ↔ 𝐵 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
142136, 141mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
143142ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐵 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
144143necon3ad 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ≠ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) → ¬ 𝐵𝐴))
14588, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
146 npss 4123 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
147145, 146sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
14885, 147mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 = 𝐴)
149 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 = 𝐵
150 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊𝐵) = (𝑊𝐵)
151149, 150pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = 𝐵 ∧ (𝑊𝐵) = (𝑊𝐵))
152 elinel1 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ dom card) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
153 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐻:𝒫 𝐴𝐴𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐴)
15477, 152, 153syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ dom card)) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐴)
15580, 4, 154, 81fpwwe 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵𝑊(𝑊𝐵) ∧ (𝐻𝐵) ∈ 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐵 ∧ (𝑊𝐵) = (𝑊𝐵))))
156151, 155mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝑊(𝑊𝐵) ∧ (𝐻𝐵) ∈ 𝐵))
157156simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝑊(𝑊𝐵))
15880, 4fpwwelem 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝑊(𝑊𝐵) ↔ ((𝐵𝐴 ∧ (𝑊𝐵) ⊆ (𝐵 × 𝐵)) ∧ ((𝑊𝐵) We 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {𝑦})) = 𝑦))))
159157, 158mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴 ∧ (𝑊𝐵) ⊆ (𝐵 × 𝐵)) ∧ ((𝑊𝐵) We 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {𝑦})) = 𝑦)))
160159simprld 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊𝐵) We 𝐵)
161 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊𝐵) ∈ V
162 weeq1 5676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = (𝑊𝐵) → (𝑟 We 𝐵 ↔ (𝑊𝐵) We 𝐵))
163161, 162spcev 3606 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊𝐵) We 𝐵 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
164160, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
165 ween 10073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
166164, 165sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ dom card)
167148, 166eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ dom card)
168 domtri2 10027 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
16919, 167, 168sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
170 infdju1 10228 . . . . . . . . . 10 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
171169, 170biimtrrdi 254 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝐴 ≺ ω → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴))
172 ensym 9042 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
173171, 172syl6 35 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
17416, 173mt3d 148 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≺ ω)
175 2onn 8679 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
176 nnsdom 9692 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ≺ ω)
177175, 176ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ≺ ω
178 djufi 10225 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ ω ∧ 2o ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
179174, 177, 178sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
180 isfinite 9690 . . . . . 6 ((𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin ↔ (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
181179, 180sylibr 234 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin)
182 sssucid 6466 . . . . . . . . . 10 1o ⊆ suc 1o
183 df-2o 8506 . . . . . . . . . 10 2o = suc 1o
184182, 183sseqtrri 4033 . . . . . . . . 9 1o ⊆ 2o
185 xpss2 5709 . . . . . . . . 9 (1o ⊆ 2o → ({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o))
186184, 185ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o)
187 unss2 4197 . . . . . . . 8 (({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
188186, 187mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
189 ssun2 4189 . . . . . . . . 9 ({1o} × 2o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
190 1oex 8515 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
191190snid 4667 . . . . . . . . . 10 1o ∈ {1o}
192190sucid 6468 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ suc 1o
193192, 183eleqtrri 2838 . . . . . . . . . 10 1o ∈ 2o
194 opelxpi 5726 . . . . . . . . . 10 ((1o ∈ {1o} ∧ 1o ∈ 2o) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 2o))
195191, 193, 194mp2an 692 . . . . . . . . 9 ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 2o)
196189, 195sselii 3992 . . . . . . . 8 ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
197 1n0 8525 . . . . . . . . . . . 12 1o ≠ ∅
198197neii 2940 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1o = ∅
199 opelxp1 5731 . . . . . . . . . . . 12 (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
200 elsni 4648 . . . . . . . . . . . 12 (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . 11 (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
202198, 201mto 197 . . . . . . . . . 10 ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
203 1onn 8677 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ ω
204 nnord 7895 . . . . . . . . . . . 12 (1o ∈ ω → Ord 1o)
205 ordirr 6404 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 1o → ¬ 1o ∈ 1o)
206203, 204, 205mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1o ∈ 1o
207 opelxp2 5732 . . . . . . . . . . 11 (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o) → 1o ∈ 1o)
208206, 207mto 197 . . . . . . . . . 10 ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o)
209202, 208pm3.2ni 880 . . . . . . . . 9 ¬ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o))
210 elun 4163 . . . . . . . . 9 (⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o)))
211209, 210mtbir 323 . . . . . . . 8 ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
212 ssnelpss 4124 . . . . . . . 8 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) → ((⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) ∧ ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))))
213196, 211, 212mp2ani 698 . . . . . . 7 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
214188, 213syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
215 df-dju 9939 . . . . . . 7 (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
216 df-dju 9939 . . . . . . 7 (𝐴 ⊔ 2o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
217215, 216psseq12i 4104 . . . . . 6 ((𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
218214, 217sylibr 234 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o))
219 php3 9247 . . . . 5 (((𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o))
220181, 218, 219syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o))
221 canthp1lem1 10690 . . . . 5 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
2221, 221syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
223 sdomdomtr 9149 . . . 4 (((𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o) ∧ (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
224220, 222, 223syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
225 sdomnen 9020 . . 3 ((𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
226224, 225syl 17 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
2279, 226pm2.65i 194 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  wpss 3964  c0 4339  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  cop 4637   cuni 4912   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231   We wwe 5640   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692  ccom 5693  Ord word 6385  Oncon0 6386  suc csuc 6388  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1wf1 6560  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  ωcom 7887  1oc1o 8498  2oc2o 8499  cen 8981  cdom 8982  csdm 8983  Fincfn 8984  cdju 9936  cardccrd 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977
This theorem is referenced by:  canthp1  10692
  Copyright terms: Public domain W3C validator