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Theorem canthp1lem2 10594
Description: Lemma for canthp1 10595. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
canthp1lem2.1 (𝜑 → 1o𝐴)
canthp1lem2.2 (𝜑𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
canthp1lem2.3 (𝜑𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)})–1-1-onto𝐴)
canthp1lem2.4 𝐻 = ((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
canthp1lem2.5 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐻‘(𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
canthp1lem2.6 𝐵 = dom 𝑊
Assertion
Ref Expression
canthp1lem2 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐴   𝐵,𝑟,𝑥,𝑦   𝐻,𝑟,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟,𝑥,𝑦   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem canthp1lem2
StepHypRef Expression
1 canthp1lem2.1 . . . . . 6 (𝜑 → 1o𝐴)
2 relsdom 8893 . . . . . . 7 Rel ≺
32brrelex2i 5690 . . . . . 6 (1o𝐴𝐴 ∈ V)
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
54pwexd 5335 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
6 canthp1lem2.2 . . . 4 (𝜑𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
7 f1oeng 8914 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
85, 6, 7syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
98ensymd 8948 . 2 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
10 canth2g 9078 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
114, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
12 sdomen2 9069 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o)))
138, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o)))
1411, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
15 sdomnen 8924 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
17 omelon 9587 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
18 onenon 9890 . . . . . . . . . . . 12 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ω ∈ dom card
20 canthp1lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)})–1-1-onto𝐴)
21 dff1o3 6791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐹:𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ Fun 𝐹))
2221simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → Fun 𝐹)
236, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → Fun 𝐹)
24 f1ofo 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐹:𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o))
256, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹:𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o))
26 f1ofn 6786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝒫 𝐴1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
27 fnresdm 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 Fn 𝒫 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴) = 𝐹)
28 foeq1 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴) = 𝐹 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝐹:𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
296, 26, 27, 284syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝐹:𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
3025, 29mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o))
31 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹𝐴) ∈ V
32 f1osng 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹𝐴) ∈ V) → {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)})
334, 31, 32sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)})
346, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
35 pwidg 4581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
364, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
37 fnressn 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴𝐴 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})
3834, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})
3938f1oeq1d 6780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)} ↔ {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)}))
4033, 39mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)})
41 f1ofo 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹𝐴)} → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹𝐴)})
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹𝐴)})
43 resdif 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun 𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹𝐴)}) → (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)}))
4423, 30, 42, 43syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)}))
45 f1oco 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)})–1-1-onto𝐴 ∧ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹𝐴)})) → (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴)
4620, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴)
47 resco 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) = (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})))
48 f1oeq1 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) = (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))) → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴 ↔ (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴)
5046, 49sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴)
51 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴 → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})⟶𝐴)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})⟶𝐴)
53 0elpw 5312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ∈ 𝒫 𝐴)
55 sdom0 9055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ 1o ≺ ∅
56 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∅ = 𝐴 → (1o ≺ ∅ ↔ 1o𝐴))
5755, 56mtbii 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∅ = 𝐴 → ¬ 1o𝐴)
5857necon2ai 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1o𝐴 → ∅ ≠ 𝐴)
591, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∅ ≠ 𝐴)
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ≠ 𝐴)
61 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
6254, 60, 61sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
63 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
64 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
6564neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
66 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴))
6763, 65, 66sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
6862, 67ifclda 4522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
6968fmpttd 7064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)):𝒫 𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
7052, 69fcod 6695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))):𝒫 𝐴𝐴)
7169frnd 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) ⊆ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
72 cores 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ran (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) ⊆ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = ((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))))
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = ((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))))
74 canthp1lem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = ((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
7573, 74eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = 𝐻)
7675feq1d 6654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))):𝒫 𝐴𝐴𝐻:𝒫 𝐴𝐴))
7770, 76mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻:𝒫 𝐴𝐴)
78 inss1 4189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴)
80 canthp1lem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐻‘(𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
81 canthp1lem2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = dom 𝑊
82 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})
8380, 81, 82canth4 10588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐻:𝒫 𝐴𝐴 ∧ (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐵𝐴 ∧ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊊ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) = (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))))
844, 77, 79, 83syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐴 ∧ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊊ 𝐵 ∧ (𝐻𝐵) = (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))))
8584simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵𝐴)
8684simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊊ 𝐵)
8786pssned 4059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ≠ 𝐵)
8887necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ≠ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
8984simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐻𝐵) = (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
9074fveq1i 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐻𝐵) = (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵)
9174fveq1i 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
9289, 90, 913eqtr3g 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵) = (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
934, 85sselpwd 5284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
9469, 93fvco3d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵) = ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)))
9586pssssd 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊆ 𝐵)
9695, 85sstrd 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊆ 𝐴)
974, 96sselpwd 5284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴)
9869, 97fvco3d 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((𝐺𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))))
9992, 94, 983eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))))
10099adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))))
101 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
102 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐴𝐵 = 𝐴))
103 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝐵𝑥 = 𝐵)
104102, 103ifbieq2d 4513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) = if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵))
105 ifcl 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∅ ∈ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) ∈ 𝒫 𝐴)
10653, 93, 105sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) ∈ 𝒫 𝐴)
107101, 104, 93, 106fvmptd3 6972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵))
108 pssne 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
109108neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
110109iffalsed 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐵𝐴 → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) = 𝐵)
111107, 110sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵) = 𝐵)
112111fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺𝐹)‘𝐵))
113 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) → (𝑥 = 𝐴 ↔ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴))
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) → 𝑥 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
115113, 114ifbieq2d 4513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) = if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
116 ifcl 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴) → if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) ∈ 𝒫 𝐴)
11753, 97, 116sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) ∈ 𝒫 𝐴)
118101, 115, 97, 117fvmptd3 6972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
119118adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
120 sspsstr 4066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊆ 𝐵𝐵𝐴) → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊊ 𝐴)
12195, 120sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ⊊ 𝐴)
122121pssned 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ≠ 𝐴)
123122neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝐵𝐴) → ¬ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴)
124123iffalsed 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝐵𝐴) → if(((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) = 𝐴, ∅, ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
125119, 124eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
126125fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))) = ((𝐺𝐹)‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
127100, 112, 1263eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝐵) = ((𝐺𝐹)‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
12893, 108anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
129 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
130128, 129sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
131130fvresd 6863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐵𝐴) → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = ((𝐺𝐹)‘𝐵))
13297adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴)
133 eldifsn 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ≠ 𝐴))
134132, 122, 133sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
135134fvresd 6863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐵𝐴) → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) = ((𝐺𝐹)‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
136127, 131, 1353eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐵𝐴) → (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
137 f1of1 6784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto𝐴 → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1𝐴)
13850, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1𝐴)
139138adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1𝐴)
140 f1fveq 7210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1𝐴 ∧ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ∧ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))) → ((((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) ↔ 𝐵 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
141139, 130, 134, 140syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝐵𝐴) → ((((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})) ↔ 𝐵 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
142136, 141mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝐵 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}))
143142ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐵 = ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)})))
144143necon3ad 2953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ≠ ((𝑊𝐵) “ {(𝐻𝐵)}) → ¬ 𝐵𝐴))
14588, 144mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
146 npss 4071 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
147145, 146sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴))
14885, 147mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 = 𝐴)
149 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 = 𝐵
150 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊𝐵) = (𝑊𝐵)
151149, 150pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = 𝐵 ∧ (𝑊𝐵) = (𝑊𝐵))
152 elinel1 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ dom card) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
153 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐻:𝒫 𝐴𝐴𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐴)
15477, 152, 153syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ dom card)) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐴)
15580, 4, 154, 81fpwwe 10587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐵𝑊(𝑊𝐵) ∧ (𝐻𝐵) ∈ 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐵 ∧ (𝑊𝐵) = (𝑊𝐵))))
156151, 155mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐵𝑊(𝑊𝐵) ∧ (𝐻𝐵) ∈ 𝐵))
157156simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵𝑊(𝑊𝐵))
15880, 4fpwwelem 10586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝑊(𝑊𝐵) ↔ ((𝐵𝐴 ∧ (𝑊𝐵) ⊆ (𝐵 × 𝐵)) ∧ ((𝑊𝐵) We 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {𝑦})) = 𝑦))))
159157, 158mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐵𝐴 ∧ (𝑊𝐵) ⊆ (𝐵 × 𝐵)) ∧ ((𝑊𝐵) We 𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐻‘((𝑊𝐵) “ {𝑦})) = 𝑦)))
160159simprld 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊𝐵) We 𝐵)
161 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊𝐵) ∈ V
162 weeq1 5622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = (𝑊𝐵) → (𝑟 We 𝐵 ↔ (𝑊𝐵) We 𝐵))
163161, 162spcev 3564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊𝐵) We 𝐵 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
164160, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
165 ween 9976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
166164, 165sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ dom card)
167148, 166eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ dom card)
168 domtri2 9930 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
16919, 167, 168sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
170 infdju1 10130 . . . . . . . . . 10 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
171169, 170syl6bir 254 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝐴 ≺ ω → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴))
172 ensym 8946 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
173171, 172syl6 35 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
17416, 173mt3d 148 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≺ ω)
175 2onn 8589 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
176 nnsdom 9595 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ≺ ω)
177175, 176ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ≺ ω
178 djufi 10127 . . . . . . 7 ((𝐴 ≺ ω ∧ 2o ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
179174, 177, 178sylancl 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
180 isfinite 9593 . . . . . 6 ((𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin ↔ (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
181179, 180sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin)
182 sssucid 6398 . . . . . . . . . 10 1o ⊆ suc 1o
183 df-2o 8414 . . . . . . . . . 10 2o = suc 1o
184182, 183sseqtrri 3982 . . . . . . . . 9 1o ⊆ 2o
185 xpss2 5654 . . . . . . . . 9 (1o ⊆ 2o → ({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o))
186184, 185ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o)
187 unss2 4142 . . . . . . . 8 (({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
188186, 187mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
189 ssun2 4134 . . . . . . . . 9 ({1o} × 2o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
190 1oex 8423 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
191190snid 4623 . . . . . . . . . 10 1o ∈ {1o}
192190sucid 6400 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ suc 1o
193192, 183eleqtrri 2833 . . . . . . . . . 10 1o ∈ 2o
194 opelxpi 5671 . . . . . . . . . 10 ((1o ∈ {1o} ∧ 1o ∈ 2o) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 2o))
195191, 193, 194mp2an 691 . . . . . . . . 9 ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 2o)
196189, 195sselii 3942 . . . . . . . 8 ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
197 1n0 8435 . . . . . . . . . . . 12 1o ≠ ∅
198197neii 2942 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1o = ∅
199 opelxp1 5675 . . . . . . . . . . . 12 (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
200 elsni 4604 . . . . . . . . . . . 12 (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
201199, 200syl 17 . . . . . . . . . . 11 (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
202198, 201mto 196 . . . . . . . . . 10 ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
203 1onn 8587 . . . . . . . . . . . 12 1o ∈ ω
204 nnord 7811 . . . . . . . . . . . 12 (1o ∈ ω → Ord 1o)
205 ordirr 6336 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 1o → ¬ 1o ∈ 1o)
206203, 204, 205mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1o ∈ 1o
207 opelxp2 5676 . . . . . . . . . . 11 (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o) → 1o ∈ 1o)
208206, 207mto 196 . . . . . . . . . 10 ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o)
209202, 208pm3.2ni 880 . . . . . . . . 9 ¬ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o))
210 elun 4109 . . . . . . . . 9 (⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o)))
211209, 210mtbir 323 . . . . . . . 8 ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
212 ssnelpss 4072 . . . . . . . 8 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) → ((⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) ∧ ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))))
213196, 211, 212mp2ani 697 . . . . . . 7 ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
214188, 213syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
215 df-dju 9842 . . . . . . 7 (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
216 df-dju 9842 . . . . . . 7 (𝐴 ⊔ 2o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
217215, 216psseq12i 4052 . . . . . 6 ((𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
218214, 217sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o))
219 php3 9159 . . . . 5 (((𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o))
220181, 218, 219syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o))
221 canthp1lem1 10593 . . . . 5 (1o𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
2221, 221syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
223 sdomdomtr 9057 . . . 4 (((𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o) ∧ (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
224220, 222, 223syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
225 sdomnen 8924 . . 3 ((𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
226224, 225syl 17 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
2279, 226pm2.65i 193 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3444  cdif 3908  cun 3909  cin 3910  wss 3911  wpss 3912  c0 4283  ifcif 4487  𝒫 cpw 4561  {csn 4587  cop 4593   cuni 4866   class class class wbr 5106  {copab 5168  cmpt 5189   We wwe 5588   × cxp 5632  ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635  cres 5636  cima 5637  ccom 5638  Ord word 6317  Oncon0 6318  suc csuc 6320  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  wf 6493  1-1wf1 6494  ontowfo 6495  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  ωcom 7803  1oc1o 8406  2oc2o 8407  cen 8883  cdom 8884  csdm 8885  Fincfn 8886  cdju 9839  cardccrd 9876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880
This theorem is referenced by:  canthp1  10595
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