Theorem canthp1lem2 10606

Description: Lemma for canthp1 10607. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
canthp1lem2.1	⊢ (𝜑 → 1o ≺ 𝐴)
canthp1lem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
canthp1lem2.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)})–1-1-onto→𝐴)
canthp1lem2.4	⊢ 𝐻 = ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
canthp1lem2.5	⊢ 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐻‘(◡𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
canthp1lem2.6	⊢ 𝐵 = ∪ dom 𝑊

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem2	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐴   𝐵,𝑟,𝑥,𝑦   𝐻,𝑟,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟,𝑥,𝑦   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem canthp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canthp1lem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ≺ 𝐴)
2		relsdom 8925	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
3	2	brrelex2i 5695	. . . . . 6 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5	4	pwexd 5334	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
6		canthp1lem2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
7		f1oeng 8942	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
8	5, 6, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
9	8	ensymd 8976	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
10		canth2g 9095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
11	4, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
12		sdomen2 9086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o)))
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o)))
14	11, 13	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
15		sdomnen 8952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
17		omelon 9599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
18		onenon 9902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ω ∈ dom card
20		canthp1lem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)})–1-1-onto→𝐴)
21		dff1o3 6806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐹:𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ Fun ◡𝐹))
22	21	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → Fun ◡𝐹)
23	6, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐹)
24		f1ofo 6807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐹:𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
25	6, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
26		f1ofn 6801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
27		fnresdm 6637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹 Fn 𝒫 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴) = 𝐹)
28		foeq1 6768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴) = 𝐹 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝐹:𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
29	6, 26, 27, 28	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝐹:𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
30	25, 29	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
31		fvex 6871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
32		f1osng 6841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ V) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)})
33	4, 31, 32	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)})
34	6, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
35		pwidg 4583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
36	4, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
37		fnressn 7130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
38	34, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
39	38	f1oeq1d 6795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)} ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)}))
40	33, 39	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)})
41		f1ofo 6807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)} → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹‘𝐴)})
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹‘𝐴)})
43		resdif 6821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹‘𝐴)}) → (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)}))
44	23, 30, 42, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)}))
45		f1oco 6823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)})–1-1-onto→𝐴 ∧ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)})) → (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴)
46	20, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴)
47		resco 6223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) = (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})))
48		f1oeq1 6788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) = (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))) → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴)
50	46, 49	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴)
51		f1of 6800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})⟶𝐴)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})⟶𝐴)
53		0elpw 5311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ∈ 𝒫 𝐴)
55		sdom0 9073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ¬ 1o ≺ ∅
56		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∅ = 𝐴 → (1o ≺ ∅ ↔ 1o ≺ 𝐴))
57	55, 56	mtbii 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∅ = 𝐴 → ¬ 1o ≺ 𝐴)
58	57	necon2ai 2954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ∅ ≠ 𝐴)
59	1, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ 𝐴)
60	59	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ≠ 𝐴)
61		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
62	54, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
63		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
64		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
65	64	neqned 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐴)
66		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐴))
67	63, 65, 66	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
68	62, 67	ifclda 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
69	68	fmpttd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)):𝒫 𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
70	52, 69	fcod 6713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))):𝒫 𝐴⟶𝐴)
71	69	frnd 6696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) ⊆ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
72		cores 6222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ran (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) ⊆ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))))
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))))
74		canthp1lem2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
75	73, 74	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = 𝐻)
76	75	feq1d 6670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))):𝒫 𝐴⟶𝐴 ↔ 𝐻:𝒫 𝐴⟶𝐴))
77	70, 76	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝒫 𝐴⟶𝐴)
78		inss1 4200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴)
80		canthp1lem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐻‘(◡𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
81		canthp1lem2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = ∪ dom 𝑊
82		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})
83	80, 81, 82	canth4 10600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐻:𝒫 𝐴⟶𝐴 ∧ (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊊ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝐵) = (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))))
84	4, 77, 79, 83	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊊ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝐵) = (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))))
85	84	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
86	84	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊊ 𝐵)
87	86	pssned 4064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ≠ 𝐵)
88	87	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
89	84	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐵) = (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
90	74	fveq1i 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐻‘𝐵) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵)
91	74	fveq1i 6859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
92	89, 90, 91	3eqtr3g 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
93	4, 85	sselpwd 5283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
94	69, 93	fvco3d 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)))
95	86	pssssd 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊆ 𝐵)
96	95, 85	sstrd 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊆ 𝐴)
97	4, 96	sselpwd 5283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴)
98	69, 97	fvco3d 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))))
99	92, 94, 98	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))))
101		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
102		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
103		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
104	102, 103	ifbieq2d 4515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) = if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵))
105		ifcl 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) ∈ 𝒫 𝐴)
106	53, 93, 105	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) ∈ 𝒫 𝐴)
107	101, 104, 93, 106	fvmptd3 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵))
108		pssne 4062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≠ 𝐴)
109	108	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
110	109	iffalsed 4499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) = 𝐵)
111	107, 110	sylan9eq 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵) = 𝐵)
112	111	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝐵))
113		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴))
114		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) → 𝑥 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
115	113, 114	ifbieq2d 4515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) = if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
116		ifcl 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴) → if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) ∈ 𝒫 𝐴)
117	53, 97, 116	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) ∈ 𝒫 𝐴)
118	101, 115, 97, 117	fvmptd3 6991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
120		sspsstr 4071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊊ 𝐴)
121	95, 120	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊊ 𝐴)
122	121	pssned 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ≠ 𝐴)
123	122	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴)
124	123	iffalsed 4499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
125	119, 124	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
126	125	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
127	100, 112, 126	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝐵) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
128	93, 108	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
129		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
130	128, 129	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
131	130	fvresd 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝐵))
132	97	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴)
133		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ ((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ≠ 𝐴))
134	132, 122, 133	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
135	134	fvresd 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
136	127, 131, 135	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
137		f1of1 6799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1→𝐴)
138	50, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1→𝐴)
139	138	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1→𝐴)
140		f1fveq 7237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1→𝐴 ∧ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ∧ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))) → ((((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) ↔ 𝐵 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
141	139, 130, 134, 140	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) ↔ 𝐵 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
142	136, 141	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
143	142	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
144	143	necon3ad 2938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
145	88, 144	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴)
146		npss 4076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 = 𝐴))
147	145, 146	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 = 𝐴))
148	85, 147	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
149		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 = 𝐵
150		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊‘𝐵) = (𝑊‘𝐵)
151	149, 150	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = 𝐵 ∧ (𝑊‘𝐵) = (𝑊‘𝐵))
152		elinel1 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ dom card) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
153		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐻:𝒫 𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐴)
154	77, 152, 153	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ dom card)) → (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐴)
155	80, 4, 154, 81	fpwwe 10599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝑊(𝑊‘𝐵) ∧ (𝐻‘𝐵) ∈ 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐵 ∧ (𝑊‘𝐵) = (𝑊‘𝐵))))
156	151, 155	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑊(𝑊‘𝐵) ∧ (𝐻‘𝐵) ∈ 𝐵))
157	156	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑊(𝑊‘𝐵))
158	80, 4	fpwwelem 10598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑊(𝑊‘𝐵) ↔ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑊‘𝐵) ⊆ (𝐵 × 𝐵)) ∧ ((𝑊‘𝐵) We 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {𝑦})) = 𝑦))))
159	157, 158	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑊‘𝐵) ⊆ (𝐵 × 𝐵)) ∧ ((𝑊‘𝐵) We 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {𝑦})) = 𝑦)))
160	159	simprld 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) We 𝐵)
161		fvex 6871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊‘𝐵) ∈ V
162		weeq1 5625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = (𝑊‘𝐵) → (𝑟 We 𝐵 ↔ (𝑊‘𝐵) We 𝐵))
163	161, 162	spcev 3572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊‘𝐵) We 𝐵 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
164	160, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
165		ween 9988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
166	164, 165	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom card)
167	148, 166	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom card)
168		domtri2 9942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
169	19, 167, 168	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
170		infdju1 10143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
171	169, 170	biimtrrdi 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ≺ ω → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴))
172		ensym 8974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
173	171, 172	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
174	16, 173	mt3d 148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≺ ω)
175		2onn 8606	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
176		nnsdom 9607	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ≺ ω)
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≺ ω
178		djufi 10140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 2o ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
179	174, 177, 178	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
180		isfinite 9605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin ↔ (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
181	179, 180	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin)
182		sssucid 6414	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ⊆ suc 1o
183		df-2o 8435	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
184	182, 183	sseqtrri 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ⊆ 2o
185		xpss2 5658	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ⊆ 2o → ({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o))
186	184, 185	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o)
187		unss2 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
188	186, 187	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
189		ssun2 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ ({1o} × 2o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
190		1oex 8444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
191	190	snid 4626	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ {1o}
192	190	sucid 6416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ suc 1o
193	192, 183	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
194		opelxpi 5675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ {1o} ∧ 1o ∈ 2o) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 2o))
195	191, 193, 194	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 2o)
196	189, 195	sselii 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
197		1n0 8452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ≠ ∅
198	197	neii 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1o = ∅
199		opelxp1 5680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
200		elsni 4606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
201	199, 200	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
202	198, 201	mto 197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
203		1onn 8604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ ω
204		nnord 7850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1o ∈ ω → Ord 1o)
205		ordirr 6350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 1o → ¬ 1o ∈ 1o)
206	203, 204, 205	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
207		opelxp2 5681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o) → 1o ∈ 1o)
208	206, 207	mto 197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o)
209	202, 208	pm3.2ni 880	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o))
210		elun 4116	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o)))
211	209, 210	mtbir 323	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
212		ssnelpss 4077	. . . . . . . 8 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) → ((⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) ∧ ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))))
213	196, 211, 212	mp2ani 698	. . . . . . 7 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
214	188, 213	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
215		df-dju 9854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
216		df-dju 9854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊔ 2o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
217	215, 216	psseq12i 4057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
218	214, 217	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o))
219		php3 9173	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o))
220	181, 218, 219	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o))
221		canthp1lem1 10605	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
222	1, 221	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
223		sdomdomtr 9074	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o) ∧ (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
224	220, 222, 223	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
225		sdomnen 8952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
226	224, 225	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
227	9, 226	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915  ∅c0 4296  ifcif 4488  𝒫 cpw 4563  {csn 4589  ⟨cop 4595  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  {copab 5169   ↦ cmpt 5188   We wwe 5590   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641   ∘ ccom 5642  Ord word 6331  Oncon0 6332  suc csuc 6334  Fun wfun 6505   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  –onto→wfo 6509  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  ωcom 7842  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  Fincfn 8918   ⊔ cdju 9851  cardccrd 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892

This theorem is referenced by:  canthp1  10607