Theorem canthp1lem2 10637

Description: Lemma for canthp1 10638. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
canthp1lem2.1	⊢ (𝜑 → 1o ≺ 𝐴)
canthp1lem2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
canthp1lem2.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)})–1-1-onto→𝐴)
canthp1lem2.4	⊢ 𝐻 = ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
canthp1lem2.5	⊢ 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐻‘(◡𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
canthp1lem2.6	⊢ 𝐵 = ∪ dom 𝑊

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem2	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐴   𝐵,𝑟,𝑥,𝑦   𝐻,𝑟,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟,𝑥,𝑦   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem canthp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canthp1lem2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1o ≺ 𝐴)
2		relsdom 8949	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≺
3	2	brrelex2i 5719	. . . . . 6 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
4	1, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
5	4	pwexd 5351	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
6		canthp1lem2.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o))
7		f1oeng 8966	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o)) → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
8	5, 6, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
9	8	ensymd 9001	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
10		canth2g 9118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
11	4, 10	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
12		sdomen2 9109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o)))
13	8, 12	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o)))
14	11, 13	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o))
15		sdomnen 8977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 ⊔ 1o) → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
17		omelon 9614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
18		onenon 9934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ω ∈ dom card
20		canthp1lem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)})–1-1-onto→𝐴)
21		dff1o3 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ (𝐹:𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ Fun ◡𝐹))
22	21	simprbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → Fun ◡𝐹)
23	6, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝐹)
24		f1ofo 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐹:𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
25	6, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
26		f1ofn 6822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹:𝒫 𝐴–1-1-onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
27		fnresdm 6655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹 Fn 𝒫 𝐴 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴) = 𝐹)
28		foeq1 6789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴) = 𝐹 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝐹:𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
29	6, 26, 27, 28	4syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ↔ 𝐹:𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o)))
30	25, 29	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o))
31		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
32		f1osng 6864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ V) → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)})
33	4, 31, 32	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)})
34	6, 26	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝒫 𝐴)
35		pwidg 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
36	4, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
37		fnressn 7156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹 Fn 𝒫 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
38	34, 36, 37	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}) = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
39	38	f1oeq1d 6816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)} ↔ {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)}))
40	33, 39	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)})
41		f1ofo 6829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–1-1-onto→{(𝐹‘𝐴)} → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹‘𝐴)})
42	40, 41	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹‘𝐴)})
43		resdif 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((Fun ◡𝐹 ∧ (𝐹 ↾ 𝒫 𝐴):𝒫 𝐴–onto→(𝐴 ⊔ 1o) ∧ (𝐹 ↾ {𝐴}):{𝐴}–onto→{(𝐹‘𝐴)}) → (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)}))
44	23, 30, 42, 43	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)}))
45		f1oco 6845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺:((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)})–1-1-onto→𝐴 ∧ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {(𝐹‘𝐴)})) → (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴)
46	20, 44, 45	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴)
47		resco 6252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) = (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})))
48		f1oeq1 6809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) = (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))) → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐺 ∘ (𝐹 ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴)
50	46, 49	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴)
51		f1of 6821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})⟶𝐴)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})⟶𝐴)
53		0elpw 5327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ∈ 𝒫 𝐴)
55		sdom0 9096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ¬ 1o ≺ ∅
56		breq2 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∅ = 𝐴 → (1o ≺ ∅ ↔ 1o ≺ 𝐴))
57	55, 56	mtbii 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∅ = 𝐴 → ¬ 1o ≺ 𝐴)
58	57	necon2ai 2993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → ∅ ≠ 𝐴)
59	1, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∅ ≠ 𝐴)
60	59	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ≠ 𝐴)
61		eldifsn 4758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∅ ≠ 𝐴))
62	54, 60, 61	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐴) → ∅ ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
63		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
64		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
65	64	neqned 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ≠ 𝐴)
66		eldifsn 4758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ 𝐴))
67	63, 65, 66	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
68	62, 67	ifclda 4528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
69	68	fmpttd 7111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)):𝒫 𝐴⟶(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
70	52, 69	fcod 6732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))):𝒫 𝐴⟶𝐴)
71	69	frnd 6715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) ⊆ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
72		cores 6251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ran (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) ⊆ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))))
73	71, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))))
74		canthp1lem2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = ((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))
75	73, 74	eqtr4di 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))) = 𝐻)
76	75	feq1d 6688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))):𝒫 𝐴⟶𝐴 ↔ 𝐻:𝒫 𝐴⟶𝐴))
77	70, 76	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝒫 𝐴⟶𝐴)
78		inss1 4197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴)
80		canthp1lem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐻‘(◡𝑟 “ {𝑦})) = 𝑦))}
81		canthp1lem2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = ∪ dom 𝑊
82		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})
83	80, 81, 82	canth4 10631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐻:𝒫 𝐴⟶𝐴 ∧ (𝒫 𝐴 ∩ dom card) ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊊ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝐵) = (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))))
84	4, 77, 79, 83	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊊ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝐵) = (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))))
85	84	simp1d 1158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
86	84	simp2d 1159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊊ 𝐵)
87	86	pssned 4063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ≠ 𝐵)
88	87	necomd 3019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
89	84	simp3d 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐵) = (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
90	74	fveq1i 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐻‘𝐵) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵)
91	74	fveq1i 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
92	89, 90, 91	3eqtr3g 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
93	4, 85	sselpwd 5299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
94	69, 93	fvco3d 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘𝐵) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)))
95	86	pssssd 4062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊆ 𝐵)
96	95, 85	sstrd 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊆ 𝐴)
97	4, 96	sselpwd 5299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴)
98	69, 97	fvco3d 6983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 ∘ 𝐹) ∘ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))))
99	92, 94, 98	3eqtr3d 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))))
100	99	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))))
101		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))
102		eqeq1 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 = 𝐴 ↔ 𝐵 = 𝐴))
103		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝑥 = 𝐵)
104	102, 103	ifbieq2d 4519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) = if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵))
105		ifcl 4538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) ∈ 𝒫 𝐴)
106	53, 93, 105	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) ∈ 𝒫 𝐴)
107	101, 104, 93, 106	fvmptd3 7014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵) = if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵))
108		pssne 4061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 ≠ 𝐴)
109	108	neneqd 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → ¬ 𝐵 = 𝐴)
110	109	iffalsed 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 → if(𝐵 = 𝐴, ∅, 𝐵) = 𝐵)
111	107, 110	sylan9eq 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵) = 𝐵)
112	111	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘𝐵)) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝐵))
113		eqeq1 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴))
114		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) → 𝑥 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
115	113, 114	ifbieq2d 4519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) → if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥) = if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
116		ifcl 4538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∅ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴) → if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) ∈ 𝒫 𝐴)
117	53, 97, 116	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) ∈ 𝒫 𝐴)
118	101, 115, 97, 117	fvmptd3 7014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
119	118	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
120		sspsstr 4071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊊ 𝐴)
121	95, 120	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ⊊ 𝐴)
122	121	pssned 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ≠ 𝐴)
123	122	neneqd 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ¬ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴)
124	123	iffalsed 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → if((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) = 𝐴, ∅, (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
125	119, 124	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
126	125	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ if(𝑥 = 𝐴, ∅, 𝑥))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
127	100, 112, 126	3eqtr3d 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝐵) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
128	93, 108	anim12i 624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
129		eldifsn 4758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
130	128, 129	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
131	130	fvresd 6902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝐵))
132	97	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴)
133		eldifsn 4758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ↔ ((◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ≠ 𝐴))
134	132, 122, 133	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))
135	134	fvresd 6902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) = ((𝐺 ∘ 𝐹)‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
136	127, 131, 135	3eqtr4d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
137		f1of1 6820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1-onto→𝐴 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1→𝐴)
138	50, 137	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1→𝐴)
139	138	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1→𝐴)
140		f1fveq 7261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})):(𝒫 𝐴 ∖ {𝐴})–1-1→𝐴 ∧ (𝐵 ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}) ∧ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))) → ((((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) ↔ 𝐵 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
141	139, 130, 134, 140	syl12anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ((((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘𝐵) = (((𝐺 ∘ 𝐹) ↾ (𝒫 𝐴 ∖ {𝐴}))‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})) ↔ 𝐵 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
142	136, 141	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}))
143	142	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊊ 𝐴 → 𝐵 = (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)})))
144	143	necon3ad 2977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ (◡(𝑊‘𝐵) “ {(𝐻‘𝐵)}) → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴))
145	88, 144	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ⊊ 𝐴)
146		npss 4076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 = 𝐴))
147	145, 146	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 = 𝐴))
148	85, 147	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
149		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐵 = 𝐵
150		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊‘𝐵) = (𝑊‘𝐵)
151	149, 150	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = 𝐵 ∧ (𝑊‘𝐵) = (𝑊‘𝐵))
152		elinel1 4162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ dom card) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
153		ffvelcdm 7077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐻:𝒫 𝐴⟶𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐴)
154	77, 152, 153	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ dom card)) → (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐴)
155	80, 4, 154, 81	fpwwe 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐵𝑊(𝑊‘𝐵) ∧ (𝐻‘𝐵) ∈ 𝐵) ↔ (𝐵 = 𝐵 ∧ (𝑊‘𝐵) = (𝑊‘𝐵))))
156	151, 155	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑊(𝑊‘𝐵) ∧ (𝐻‘𝐵) ∈ 𝐵))
157	156	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵𝑊(𝑊‘𝐵))
158	80, 4	fpwwelem 10629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑊(𝑊‘𝐵) ↔ ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑊‘𝐵) ⊆ (𝐵 × 𝐵)) ∧ ((𝑊‘𝐵) We 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {𝑦})) = 𝑦))))
159	157, 158	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑊‘𝐵) ⊆ (𝐵 × 𝐵)) ∧ ((𝑊‘𝐵) We 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐻‘(◡(𝑊‘𝐵) “ {𝑦})) = 𝑦)))
160	159	simprld 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐵) We 𝐵)
161		fvex 6895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊‘𝐵) ∈ V
162		weeq1 5649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 = (𝑊‘𝐵) → (𝑟 We 𝐵 ↔ (𝑊‘𝐵) We 𝐵))
163	161, 162	spcev 3574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊‘𝐵) We 𝐵 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
164	160, 163	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
165		ween 10018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ dom card ↔ ∃𝑟 𝑟 We 𝐵)
166	164, 165	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ dom card)
167	148, 166	eqeltrrd 2870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom card)
168		domtri2 9974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ω ∈ dom card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
169	19, 167, 168	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
170		infdju1 10172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
171	169, 170	biimtrrdi 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ≺ ω → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴))
172		ensym 8999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
173	171, 172	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ (𝐴 ⊔ 1o)))
174	16, 173	mt3d 149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≺ ω)
175		2onn 8627	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
176		nnsdom 9622	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ≺ ω)
177	175, 176	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ≺ ω
178		djufi 10169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 2o ≺ ω) → (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
179	174, 177, 178	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
180		isfinite 9620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin ↔ (𝐴 ⊔ 2o) ≺ ω)
181	179, 180	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin)
182		sssucid 6444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ⊆ suc 1o
183		df-2o 8453	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
184	182, 183	sseqtrri 3994	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ⊆ 2o
185		xpss2 5682	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o ⊆ 2o → ({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o))
186	184, 185	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o)
187		unss2 4148	. . . . . . . 8 ⊢ (({1o} × 1o) ⊆ ({1o} × 2o) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
188	186, 187	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
189		ssun2 4140	. . . . . . . . 9 ⊢ ({1o} × 2o) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
190		1oex 8462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
191	190	snid 4633	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ {1o}
192	190	sucid 6446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ suc 1o
193	192, 183	eleqtrri 2868	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ 2o
194		opelxpi 5699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ {1o} ∧ 1o ∈ 2o) → ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 2o))
195	191, 193, 194	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 2o)
196	189, 195	sselii 3942	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
197		1n0 8471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ≠ ∅
198	197	neii 2966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1o = ∅
199		opelxp1 5704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o ∈ {∅})
200		elsni 4611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
201	199, 200	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) → 1o = ∅)
202	198, 201	mto 200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴)
203		1onn 8625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ ω
204		nnord 7869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1o ∈ ω → Ord 1o)
205		ordirr 6379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 1o → ¬ 1o ∈ 1o)
206	203, 204, 205	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
207		opelxp2 5705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o) → 1o ∈ 1o)
208	206, 207	mto 200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o)
209	202, 208	pm3.2ni 893	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o))
210		elun 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ↔ (⟨1o, 1o⟩ ∈ ({∅} × 𝐴) ∨ ⟨1o, 1o⟩ ∈ ({1o} × 1o)))
211	209, 210	mtbir 326	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
212		ssnelpss 4077	. . . . . . . 8 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) → ((⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) ∧ ¬ ⟨1o, 1o⟩ ∈ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))))
213	196, 211, 212	mp2ani 710	. . . . . . 7 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)) → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
214	188, 213	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
215		df-dju 9886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
216		df-dju 9886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊔ 2o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o))
217	215, 216	psseq12i 4056	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o) ↔ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ⊊ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 2o)))
218	214, 217	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o))
219		php3 9192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 2o) ∈ Fin ∧ (𝐴 ⊔ 1o) ⊊ (𝐴 ⊔ 2o)) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o))
220	181, 218, 219	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o))
221		canthp1lem1 10636	. . . . 5 ⊢ (1o ≺ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
222	1, 221	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴)
223		sdomdomtr 9097	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≺ (𝐴 ⊔ 2o) ∧ (𝐴 ⊔ 2o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
224	220, 222, 223	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴)
225		sdomnen 8977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≺ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
226	224, 225	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
227	9, 226	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913   ⊊ wpss 3914  ∅c0 4294  ifcif 4492  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  ⟨cop 4600  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113  {copab 5177   ↦ cmpt 5196   We wwe 5614   × cxp 5660  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662  ran crn 5663   ↾ cres 5664   “ cima 5665   ∘ ccom 5666  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –1-1→wf1 6534  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  ωcom 7861  1_oc1o 8445  2_oc2o 8446   ≈ cen 8939   ≼ cdom 8940   ≺ csdm 8941  Fincfn 8942   ⊔ cdju 9883  cardccrd 9920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924

This theorem is referenced by:  canthp1  10638