Theorem sgnval 15035

Description: Value of the signum function. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Proof of Theorem sgnval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
2		breq1 5152	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
3	2	ifbid 4552	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
4	1, 3	ifbieq2d 4555	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
5		df-sgn 15034	. 2 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
6		c0ex 11208	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
7		negex 11458	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
8		1ex 11210	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	7, 8	ifex 4579	. . 3 ⊢ if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ V
10	6, 9	ifex 4579	. 2 ⊢ if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) ∈ V
11	4, 5, 10	fvmpt 6999	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  0cc0 11110  1c1 11111  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248  -cneg 11445  sgncsgn 15033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-mulcl 11172  ax-i2m1 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-neg 11447  df-sgn 15034

This theorem is referenced by:  sgn0  15036  sgnp  15037  sgnn  15041  sgnneg  33539  sgn3da  33540  reabssgn  42387