Theorem sgnval 15023

Description: Value of the signum function. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Proof of Theorem sgnval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2741	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
2		breq1 5103	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
3	2	ifbid 4505	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
4	1, 3	ifbieq2d 4508	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
5		df-sgn 15022	. 2 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
6		c0ex 11138	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
7		negex 11390	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
8		1ex 11140	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	7, 8	ifex 4532	. . 3 ⊢ if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ V
10	6, 9	ifex 4532	. 2 ⊢ if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) ∈ V
11	4, 5, 10	fvmpt 6949	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  0cc0 11038  1c1 11039  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  -cneg 11377  sgncsgn 15021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-neg 11379  df-sgn 15022

This theorem is referenced by:  sgn0  15024  sgnp  15025  sgnn  15029  sgnneg  32924  sgn3da  32925  reabssgn  43986