Theorem sgnval 15115

Description: Value of the signum function. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnval	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Proof of Theorem sgnval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
2		breq1 5108	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
3	2	ifbid 4507	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
4	1, 3	ifbieq2d 4510	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
5		df-sgn 15114	. 2 ⊢ sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
6		c0ex 11188	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
7		negex 11443	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
8		1ex 11191	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
9	7, 8	ifex 4534	. . 3 ⊢ if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ V
10	6, 9	ifex 4534	. 2 ⊢ if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) ∈ V
11	4, 5, 10	fvmpt 6979	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ifcif 4483   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  0cc0 11088  1c1 11089  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  -cneg 11430  sgncsgn 15113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-mulcl 11150  ax-i2m1 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ov 7403  df-neg 11432  df-sgn 15114

This theorem is referenced by:  sgn0  15116  sgnp  15117  sgnn  15121  sgnrn  15125  sgnneg  15127  sgn3da  15128  reabssgn  44224