MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnval 14450
Description: Value of the signum function. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnval (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Proof of Theorem sgnval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2828 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
2 breq1 5056 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
32ifbid 4473 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
41, 3ifbieq2d 4476 . 2 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
5 df-sgn 14449 . 2 sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
6 c0ex 10634 . . 3 0 ∈ V
7 negex 10883 . . . 4 -1 ∈ V
8 1ex 10636 . . . 4 1 ∈ V
97, 8ifex 4499 . . 3 if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ V
106, 9ifex 4499 . 2 if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) ∈ V
114, 5, 10fvmpt 6760 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  ifcif 4451   class class class wbr 5053  cfv 6344  0cc0 10536  1c1 10537  *cxr 10673   < clt 10674  -cneg 10870  sgncsgn 14448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pr 5318  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-mulcl 10598  ax-i2m1 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-nul 4278  df-if 4452  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fv 6352  df-ov 7153  df-neg 10872  df-sgn 14449
This theorem is referenced by:  sgn0  14451  sgnp  14452  sgnn  14456  sgnneg  31858  sgn3da  31859  reabssgn  40253
  Copyright terms: Public domain W3C validator