MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnval 14980
Description: Value of the signum function. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnval (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Proof of Theorem sgnval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2741 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
2 breq1 5113 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
32ifbid 4514 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
41, 3ifbieq2d 4517 . 2 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
5 df-sgn 14979 . 2 sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
6 c0ex 11156 . . 3 0 ∈ V
7 negex 11406 . . . 4 -1 ∈ V
8 1ex 11158 . . . 4 1 ∈ V
97, 8ifex 4541 . . 3 if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ V
106, 9ifex 4541 . 2 if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) ∈ V
114, 5, 10fvmpt 6953 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4491   class class class wbr 5110  cfv 6501  0cc0 11058  1c1 11059  *cxr 11195   < clt 11196  -cneg 11393  sgncsgn 14978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-mulcl 11120  ax-i2m1 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fv 6509  df-ov 7365  df-neg 11395  df-sgn 14979
This theorem is referenced by:  sgn0  14981  sgnp  14982  sgnn  14986  sgnneg  33180  sgn3da  33181  reabssgn  41982
  Copyright terms: Public domain W3C validator