MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnval 14307
Description: Value of the signum function. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnval (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))

Proof of Theorem sgnval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2777 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
2 breq1 4929 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
32ifbid 4367 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
41, 3ifbieq2d 4370 . 2 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
5 df-sgn 14306 . 2 sgn = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 = 0, 0, if(𝑥 < 0, -1, 1)))
6 c0ex 10432 . . 3 0 ∈ V
7 negex 10683 . . . 4 -1 ∈ V
8 1ex 10434 . . . 4 1 ∈ V
97, 8ifex 4393 . . 3 if(𝐴 < 0, -1, 1) ∈ V
106, 9ifex 4393 . 2 if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) ∈ V
114, 5, 10fvmpt 6594 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051  ifcif 4345   class class class wbr 4926  cfv 6186  0cc0 10334  1c1 10335  *cxr 10472   < clt 10473  -cneg 10670  sgncsgn 14305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pr 5183  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-mulcl 10396  ax-i2m1 10402
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ral 3088  df-rex 3089  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fv 6194  df-ov 6978  df-neg 10672  df-sgn 14306
This theorem is referenced by:  sgn0  14308  sgnp  14309  sgnn  14313  sgnneg  31477  sgn3da  31478
  Copyright terms: Public domain W3C validator