Theorem reabssgn 43649

Description: Alternate expression for the absolute value of a real number. (Contributed by RP, 22-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reabssgn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = ((sgn‘𝐴) · 𝐴))

Proof of Theorem reabssgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11307	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		sgnval 15127	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
4	3	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sgn‘𝐴) · 𝐴) = (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴))
5		ovif 7531	. . . 4 ⊢ (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴))
6		ovif 7531	. . . . 5 ⊢ (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴) = if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))
7		ifeq2 4530	. . . . 5 ⊢ ((if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴) = if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) → if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴)) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴)) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)))
9	5, 8	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)))
10		mul02lem2 11438	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (0 · 𝐴) = 0)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
13	12	abs00bd 15330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘𝐴) = 0)
14	11, 13	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (0 · 𝐴) = (abs‘𝐴))
15		recn 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	mulm1d 11715	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
17	15	mullidd 11279	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	16, 17	ifeq12d 4547	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))
19		reabsifneg 43645	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))
20	18, 19	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = (abs‘𝐴))
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 = 0) → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = (abs‘𝐴))
22	14, 21	ifeqda 4562	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))) = (abs‘𝐴))
23	9, 22	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = (abs‘𝐴))
24	4, 23	eqtr2d 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = ((sgn‘𝐴) · 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295  -cneg 11493  sgncsgn 15125  abscabs 15273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-sgn 15126  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275

This theorem is referenced by: (None)