Theorem reabssgn 44390

Description: Alternate expression for the absolute value of a real number. (Contributed by RP, 22-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reabssgn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = ((sgn‘𝐴) · 𝐴))

Proof of Theorem reabssgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11261	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		sgnval 15132	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
4	3	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sgn‘𝐴) · 𝐴) = (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴))
5		ovif 7510	. . . 4 ⊢ (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴))
6		ovif 7510	. . . . 5 ⊢ (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴) = if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))
7		ifeq2 4491	. . . . 5 ⊢ ((if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴) = if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) → if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴)) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴)) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)))
9	5, 8	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)))
10		mul02lem2 11393	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
11	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (0 · 𝐴) = 0)
12		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
13	12	abs00bd 15349	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘𝐴) = 0)
14	11, 13	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (0 · 𝐴) = (abs‘𝐴))
15		recn 11196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	mulm1d 11672	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
17	15	mullidd 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	16, 17	ifeq12d 4508	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))
19		reabsifneg 44386	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))
20	18, 19	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = (abs‘𝐴))
21	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 = 0) → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = (abs‘𝐴))
22	14, 21	ifeqda 4523	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))) = (abs‘𝐴))
23	9, 22	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = (abs‘𝐴))
24	4, 23	eqtr2d 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = ((sgn‘𝐴) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ifcif 4486   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249  -cneg 11448  sgncsgn 15130  abscabs 15292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-sgn 15131  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294

This theorem is used by: (None)