Theorem reabssgn 44212

Description: Alternate expression for the absolute value of a real number. (Contributed by RP, 22-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reabssgn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = ((sgn‘𝐴) · 𝐴))

Proof of Theorem reabssgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11228	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		sgnval 15101	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
4	3	oveq1d 7411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sgn‘𝐴) · 𝐴) = (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴))
5		ovif 7494	. . . 4 ⊢ (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴))
6		ovif 7494	. . . . 5 ⊢ (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴) = if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))
7		ifeq2 4485	. . . . 5 ⊢ ((if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴) = if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) → if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴)) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴)) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)))
9	5, 8	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)))
10		mul02lem2 11360	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (0 · 𝐴) = 0)
12		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
13	12	abs00bd 15318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘𝐴) = 0)
14	11, 13	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (0 · 𝐴) = (abs‘𝐴))
15		recn 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	mulm1d 11639	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
17	15	mullidd 11200	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	16, 17	ifeq12d 4502	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))
19		reabsifneg 44208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))
20	18, 19	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = (abs‘𝐴))
21	20	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 = 0) → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = (abs‘𝐴))
22	14, 21	ifeqda 4517	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))) = (abs‘𝐴))
23	9, 22	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = (abs‘𝐴))
24	4, 23	eqtr2d 2798	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = ((sgn‘𝐴) · 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ifcif 4480   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   · cmul 11078  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216  -cneg 11415  sgncsgn 15099  abscabs 15261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-seq 14015  df-exp 14075  df-sgn 15100  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263

This theorem is referenced by: (None)