Theorem reabssgn 44635

Description: Alternate expression for the absolute value of a real number. (Contributed by RP, 22-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reabssgn	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = ((sgn‘𝐴) · 𝐴))

Proof of Theorem reabssgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11355	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		sgnval 15241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
4	3	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sgn‘𝐴) · 𝐴) = (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴))
5		ovif 7518	. . . 4 ⊢ (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴))
6		ovif 7518	. . . . 5 ⊢ (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴) = if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))
7		ifeq2 4487	. . . . 5 ⊢ ((if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴) = if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) → if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴)) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), (if(𝐴 < 0, -1, 1) · 𝐴)) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)))
9	5, 8	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)))
10		mul02lem2 11487	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 · 𝐴) = 0)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (0 · 𝐴) = 0)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
13	12	abs00bd 15458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘𝐴) = 0)
14	11, 13	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (0 · 𝐴) = (abs‘𝐴))
15		recn 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	mulm1d 11768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
17	15	mullidd 11327	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	16, 17	ifeq12d 4504	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))
19		reabsifneg 44631	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))
20	18, 19	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = (abs‘𝐴))
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 = 0) → if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴)) = (abs‘𝐴))
22	14, 21	ifeqda 4519	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 = 0, (0 · 𝐴), if(𝐴 < 0, (-1 · 𝐴), (1 · 𝐴))) = (abs‘𝐴))
23	9, 22	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) · 𝐴) = (abs‘𝐴))
24	4, 23	eqtr2d 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = ((sgn‘𝐴) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343  -cneg 11542  sgncsgn 15239  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-sgn 15240  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403

This theorem is used by: (None)