Theorem sgnp 15052

Description: The signum of a positive extended real is 1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem sgnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnval 15050	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3		0xr 11192	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltne 13114	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
5	3, 4	mp3an1 1451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6	5	neneqd 2937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
7	6	iffalsed 4477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
8		xrltnsym 13088	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
9	3, 8	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0)
11	10	iffalsed 4477	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
12	2, 7, 11	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ifcif 4466   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  0cc0 11038  1c1 11039  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  -cneg 11378  sgncsgn 15048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-neg 11380  df-sgn 15049

This theorem is referenced by:  sgnrrp  15053  sgn1  15054  sgnpnf  15055  sgnval2  32808  sgncl  32904  sgnmul  32908  sgnmulrp2  32909  sgnsub  32910  sgnpbi  32912