Theorem sgnp 15147

Description: The signum of a positive extended real is 1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem sgnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnval 15145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3		0xr 11267	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltne 13200	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
5	3, 4	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6	5	neneqd 2965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
7	6	iffalsed 4500	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
8		xrltnsym 13174	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
9	3, 8	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
10	9	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0)
11	10	iffalsed 4500	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
12	2, 7, 11	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ifcif 4489   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  0cc0 11111  1c1 11112  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254  -cneg 11453  sgncsgn 15143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-i2m1 11179  ax-rnegex 11182  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-neg 11455  df-sgn 15144

This theorem is used by:  sgnrrp  15148  sgn1  15149  sgnpnf  15150  sgncl  15154  sgnpbi  15162  sgnsub  15163  sgnmul  15164  sgnmulrp2  15165  sgnval2  33126