MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnp 14437
Description: The signum of a positive extended real is 1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnp ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem sgnp
StepHypRef Expression
1 sgnval 14435 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
21adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3 0xr 10676 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
4 xrltne 12544 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
53, 4mp3an1 1439 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
65neneqd 3018 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
76iffalsed 4474 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
8 xrltnsym 12518 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
93, 8mpan 686 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
109imp 407 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0)
1110iffalsed 4474 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
122, 7, 113eqtrd 2857 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cfv 6348  0cc0 10525  1c1 10526  *cxr 10662   < clt 10663  -cneg 10859  sgncsgn 14433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-i2m1 10593  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-neg 10861  df-sgn 14434
This theorem is referenced by:  sgnrrp  14438  sgn1  14439  sgnpnf  14440  sgncl  31695  sgnmul  31699  sgnmulrp2  31700  sgnsub  31701  sgnpbi  31703
  Copyright terms: Public domain W3C validator