MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnp 14445
Description: The signum of a positive extended real is 1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnp ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem sgnp
StepHypRef Expression
1 sgnval 14443 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
21adantr 484 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3 0xr 10680 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
4 xrltne 12549 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
53, 4mp3an1 1445 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
65neneqd 3019 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
76iffalsed 4460 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
8 xrltnsym 12523 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
93, 8mpan 689 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
109imp 410 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0)
1110iffalsed 4460 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
122, 7, 113eqtrd 2863 1 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  ifcif 4449   class class class wbr 5052  cfv 6343  0cc0 10529  1c1 10530  *cxr 10666   < clt 10667  -cneg 10863  sgncsgn 14441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-i2m1 10597  ax-rnegex 10600  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-op 4556  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7148  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-neg 10865  df-sgn 14442
This theorem is referenced by:  sgnrrp  14446  sgn1  14447  sgnpnf  14448  sgncl  31821  sgnmul  31825  sgnmulrp2  31826  sgnsub  31827  sgnpbi  31829
  Copyright terms: Public domain W3C validator