Theorem sgnp 15286

Description: The signum of a positive extended real is 1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)

Proof of Theorem sgnp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnval 15284	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3		0xr 11395	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltne 13332	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
5	3, 4	mp3an1 1478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6	5	neneqd 2964	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
7	6	iffalsed 4496	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
8		xrltnsym 13306	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
9	3, 8	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (0 < 𝐴 → ¬ 𝐴 < 0))
10	9	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 < 0)
11	10	iffalsed 4496	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
12	2, 7, 11	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (sgn‘𝐴) = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ifcif 4485   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  0cc0 11239  1c1 11240  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   -cneg 11581  sgncsgn 15282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-i2m1 11307  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-neg 11583  df-sgn 15283

This theorem is used by:  sgnrrp  15287  sgn1  15288  sgnpnf  15289  sgncl  15293  sgnpbi  15301  sgnsub  15302  sgnmul  15303  sgnmulrp2  15304  sgnval2  33423