Theorem sgn0 15034

Description: The signum of 0 is 0. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgn0	⊢ (sgn‘0) = 0

Proof of Theorem sgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11259	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		sgnval 15033	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1))
4		eqid 2724	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4528	. 2 ⊢ if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)) = 0
6	3, 5	eqtri 2752	1 ⊢ (sgn‘0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4521   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  0cc0 11107  1c1 11108  ℝ^*cxr 11245   < clt 11246  -cneg 11443  sgncsgn 15031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-i2m1 11175  ax-rnegex 11178  ax-cnre 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-ov 7405  df-xr 11250  df-neg 11445  df-sgn 15032

This theorem is referenced by:  sgncl  34029  sgnmul  34033  sgnsgn  34039  signstfveq0  34080