Theorem sgn0 15062

Description: The signum of 0 is 0. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgn0	⊢ (sgn‘0) = 0

Proof of Theorem sgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11228	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		sgnval 15061	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1))
4		eqid 2730	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4498	. 2 ⊢ if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)) = 0
6	3, 5	eqtri 2753	1 ⊢ (sgn‘0) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  0cc0 11075  1c1 11076  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  -cneg 11413  sgncsgn 15059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-i2m1 11143  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-xr 11219  df-neg 11415  df-sgn 15060

This theorem is referenced by:  sgncl  32763  sgnmul  32767  sgnsgn  32773  signstfveq0  34575