Theorem sgn0 15162

Description: The signum of 0 is 0. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgn0	⊢ (sgn‘0) = 0

Proof of Theorem sgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11280	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		sgnval 15161	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1))
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4489	. 2 ⊢ if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)) = 0
6	3, 5	eqtri 2783	1 ⊢ (sgn‘0) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  0cc0 11124  1c1 11125  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  -cneg 11466  sgncsgn 15159

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-i2m1 11192  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7416  df-xr 11271  df-neg 11468  df-sgn 15160

This theorem is used by:  sgncl  15170  sgnrn  15171  sgnmul  15180  sgnsgn  33301  signstfveq0  35085