Theorem sgn0 15285

Description: The signum of 0 is 0. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgn0	⊢ (sgn‘0) = 0

Proof of Theorem sgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11395	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		sgnval 15284	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4492	. 2 ⊢ if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)) = 0
6	3, 5	eqtri 2786	1 ⊢ (sgn‘0) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  0cc0 11239  1c1 11240  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   -cneg 11581  sgncsgn 15282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-i2m1 11307  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-xr 11386  df-neg 11583  df-sgn 15283

This theorem is used by:  sgncl  15293  sgnrn  15294  sgnmul  15303  sgnsgn  33518  signstfveq0  35317