Theorem sgn0 15248

Description: The signum of 0 is 0. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgn0	⊢ (sgn‘0) = 0

Proof of Theorem sgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 11360	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		sgnval 15247	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (sgn‘0) = if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1))
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ 0 = 0
5	4	iftruei 4488	. 2 ⊢ if(0 = 0, 0, if(0 < 0, -1, 1)) = 0
6	3, 5	eqtri 2783	1 ⊢ (sgn‘0) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  0cc0 11204  1c1 11205  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   -cneg 11546  sgncsgn 15245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-i2m1 11272  ax-rnegex 11275  ax-cnre 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-ov 7424  df-xr 11351  df-neg 11548  df-sgn 15246

This theorem is used by:  sgncl  15256  sgnrn  15257  sgnmul  15266  sgnsgn  33469  signstfveq0  35253