Theorem sgnn 15050

Description: The signum of a negative extended real is -1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Proof of Theorem sgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnval 15044	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3		0xr 11186	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltne 13108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
5	3, 4	mp3an2 1452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
6		nesym 2989	. . . 4 ⊢ (0 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
7	5, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
8	7	iffalsed 4478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
9		iftrue 4473	. . 3 ⊢ (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
11	2, 8, 10	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  0cc0 11032  1c1 11033  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173  -cneg 11372  sgncsgn 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-i2m1 11100  ax-rnegex 11103  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-neg 11374  df-sgn 15043

This theorem is referenced by:  sgnmnf  15051  sgnval2  32826  sgncl  32922  sgnmul  32926  sgnsub  32928  sgnnbi  32929  sgnsgn  32932