Theorem sgnn 14805

Description: The signum of a negative extended real is -1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Proof of Theorem sgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnval 14799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3		0xr 11022	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltne 12897	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
5	3, 4	mp3an2 1448	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
6		nesym 3000	. . . 4 ⊢ (0 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
7	5, 6	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
8	7	iffalsed 4470	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
9		iftrue 4465	. . 3 ⊢ (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
10	9	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
11	2, 8, 10	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  0cc0 10871  1c1 10872  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  -cneg 11206  sgncsgn 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-i2m1 10939  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-neg 11208  df-sgn 14798

This theorem is referenced by:  sgnmnf  14806  sgncl  32505  sgnmul  32509  sgnsub  32511  sgnnbi  32512  sgnsgn  32515