MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnn 15039
Description: The signum of a negative extended real is -1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnn ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Proof of Theorem sgnn
StepHypRef Expression
1 sgnval 15033 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
21adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3 0xr 11259 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
4 xrltne 13140 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
53, 4mp3an2 1445 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
6 nesym 2989 . . . 4 (0 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
75, 6sylib 217 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
87iffalsed 4532 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
9 iftrue 4527 . . 3 (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
109adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
112, 8, 103eqtrd 2768 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  ifcif 4521   class class class wbr 5139  cfv 6534  0cc0 11107  1c1 11108  *cxr 11245   < clt 11246  -cneg 11443  sgncsgn 15031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-i2m1 11175  ax-rnegex 11178  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-neg 11445  df-sgn 15032
This theorem is referenced by:  sgnmnf  15040  sgncl  34029  sgnmul  34033  sgnsub  34035  sgnnbi  34036  sgnsgn  34039
  Copyright terms: Public domain W3C validator