MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnn 14986
Description: The signum of a negative extended real is -1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnn ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Proof of Theorem sgnn
StepHypRef Expression
1 sgnval 14980 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
21adantr 482 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3 0xr 11209 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
4 xrltne 13089 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
53, 4mp3an2 1450 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
6 nesym 3001 . . . 4 (0 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
75, 6sylib 217 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
87iffalsed 4502 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
9 iftrue 4497 . . 3 (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
109adantl 483 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
112, 8, 103eqtrd 2781 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  ifcif 4491   class class class wbr 5110  cfv 6501  0cc0 11058  1c1 11059  *cxr 11195   < clt 11196  -cneg 11393  sgncsgn 14978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-i2m1 11126  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-neg 11395  df-sgn 14979
This theorem is referenced by:  sgnmnf  14987  sgncl  33178  sgnmul  33182  sgnsub  33184  sgnnbi  33185  sgnsgn  33188
  Copyright terms: Public domain W3C validator