MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnn 15067
Description: The signum of a negative extended real is -1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnn ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Proof of Theorem sgnn
StepHypRef Expression
1 sgnval 15061 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
21adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3 0xr 11285 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
4 xrltne 13168 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
53, 4mp3an2 1446 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
6 nesym 2993 . . . 4 (0 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
75, 6sylib 217 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
87iffalsed 4535 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
9 iftrue 4530 . . 3 (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
109adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
112, 8, 103eqtrd 2772 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cfv 6542  0cc0 11132  1c1 11133  *cxr 11271   < clt 11272  -cneg 11469  sgncsgn 15059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-i2m1 11200  ax-rnegex 11203  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-neg 11471  df-sgn 15060
This theorem is referenced by:  sgnmnf  15068  sgncl  34152  sgnmul  34156  sgnsub  34158  sgnnbi  34159  sgnsgn  34162
  Copyright terms: Public domain W3C validator