Theorem sgnn 15107

Description: The signum of a negative extended real is -1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Proof of Theorem sgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnval 15101	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3		0xr 11229	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltne 13165	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
5	3, 4	mp3an2 1470	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
6		nesym 3013	. . . 4 ⊢ (0 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
7	5, 6	sylib 220	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
8	7	iffalsed 4491	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
9		iftrue 4486	. . 3 ⊢ (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
10	9	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
11	2, 8, 10	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ifcif 4480   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  0cc0 11073  1c1 11074  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216  -cneg 11415  sgncsgn 15099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-i2m1 11141  ax-rnegex 11144  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-neg 11417  df-sgn 15100

This theorem is referenced by:  sgnmnf  15108  sgncl  15110  sgnnbi  15117  sgnsub  15119  sgnmul  15120  sgnval2  32937  sgnsgn  33033