Theorem sgnn 15036

Description: The signum of a negative extended real is -1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgnn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Proof of Theorem sgnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgnval 15030	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3		0xr 11197	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltne 13099	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
5	3, 4	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≠ 𝐴)
6		nesym 2981	. . . 4 ⊢ (0 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
7	5, 6	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
8	7	iffalsed 4495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, -1, 1))
9		iftrue 4490	. . 3 ⊢ (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
11	2, 8, 10	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (sgn‘𝐴) = -1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ifcif 4484   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  0cc0 11044  1c1 11045  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184  -cneg 11382  sgncsgn 15028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-i2m1 11112  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-neg 11384  df-sgn 15029

This theorem is referenced by:  sgnmnf  15037  sgnval2  32708  sgncl  32806  sgnmul  32810  sgnsub  32812  sgnnbi  32813  sgnsgn  32816