Theorem sgnneg 32823

Description: Negation of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11102	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negeq0d 11470	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3	2	bicomd 223	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 = 0) → 0 = 0)
5	3	necon3bbid 2965	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
6	5	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
7		lt0neg2 11630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
9		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
10		0red 11121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
11	9, 10	lttri2d 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
12	11	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
13		ltnsym2 11218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
14	10, 13	mpdan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
16	12, 15	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)))
17		pm5.17 1013	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)) ↔ (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
18	16, 17	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
19	18	con2bid 354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
20	8, 19	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
21	20	ifbid 4498	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1))
22		ifnot 4527	. . . . 5 ⊢ if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
23	21, 22	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
24	6, 23	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
25	3, 4, 24	ifbieq12d2 4509	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
26		renegcl 11430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
27		rexr 11164	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
28		sgnval 15001	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
29	26, 27, 28	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
30		df-neg 11353	. . . 4 ⊢ -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴)))
32		rexr 11164	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		sgnval 15001	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
35	34	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (sgn‘𝐴)) = (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))))
36		ovif2 7451	. . . . 5 ⊢ (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)))
37		biid 261	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
38		0m0e0 12246	. . . . . 6 ⊢ (0 − 0) = 0
39		ovif2 7451	. . . . . . 7 ⊢ (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
40		biid 261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < 0 ↔ 𝐴 < 0)
41		0cn 11110	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
42		ax-1cn 11070	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
43	41, 42	subnegi 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
44		0p1e1 12248	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
45	43, 44	eqtr2i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0 − -1)
46		df-neg 11353	. . . . . . . 8 ⊢ -1 = (0 − 1)
47	40, 45, 46	ifbieq12i 4502	. . . . . . 7 ⊢ if(𝐴 < 0, 1, -1) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
48	39, 47	eqtr4i 2757	. . . . . 6 ⊢ (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
49	37, 38, 48	ifbieq12i 4502	. . . . 5 ⊢ if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
50	36, 49	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
51	50	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
52	31, 35, 51	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
53	25, 29, 52	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ifcif 4474   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℝcr 11011  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015  ℝ^*cxr 11151   < clt 11152   − cmin 11350  -cneg 11351  sgncsgn 14999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-sgn 15000

This theorem is referenced by: (None)