Theorem sgnneg 33539

Description: Negation of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11200	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negeq0d 11563	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3	2	bicomd 222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4		eqidd 2734	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 = 0) → 0 = 0)
5	3	necon3bbid 2979	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
6	5	biimpa 478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
7		lt0neg2 11721	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
8	7	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
9		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
10		0red 11217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
11	9, 10	lttri2d 11353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
12	11	biimpa 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
13		ltnsym2 11313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
14	10, 13	mpdan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
15	14	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
16	12, 15	jca 513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)))
17		pm5.17 1011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)) ↔ (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
18	16, 17	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
19	18	con2bid 355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
20	8, 19	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
21	20	ifbid 4552	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1))
22		ifnot 4581	. . . . 5 ⊢ if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
23	21, 22	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
24	6, 23	syldan 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
25	3, 4, 24	ifbieq12d2 4563	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
26		renegcl 11523	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
27		rexr 11260	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
28		sgnval 15035	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
29	26, 27, 28	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
30		df-neg 11447	. . . 4 ⊢ -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴)))
32		rexr 11260	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		sgnval 15035	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
35	34	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (sgn‘𝐴)) = (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))))
36		ovif2 7507	. . . . 5 ⊢ (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)))
37		biid 261	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
38		0m0e0 12332	. . . . . 6 ⊢ (0 − 0) = 0
39		ovif2 7507	. . . . . . 7 ⊢ (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
40		biid 261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < 0 ↔ 𝐴 < 0)
41		0cn 11206	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
42		ax-1cn 11168	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
43	41, 42	subnegi 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
44		0p1e1 12334	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
45	43, 44	eqtr2i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0 − -1)
46		df-neg 11447	. . . . . . . 8 ⊢ -1 = (0 − 1)
47	40, 45, 46	ifbieq12i 4556	. . . . . . 7 ⊢ if(𝐴 < 0, 1, -1) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
48	39, 47	eqtr4i 2764	. . . . . 6 ⊢ (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
49	37, 38, 48	ifbieq12i 4556	. . . . 5 ⊢ if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
50	36, 49	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
51	50	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
52	31, 35, 51	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
53	25, 29, 52	3eqtr4d 2783	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ifcif 4529   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   − cmin 11444  -cneg 11445  sgncsgn 15033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-sgn 15034

This theorem is referenced by: (None)