Theorem sgnneg 33140

Description: Negation of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11141	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negeq0d 11504	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3	2	bicomd 222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 = 0) → 0 = 0)
5	3	necon3bbid 2981	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
6	5	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
7		lt0neg2 11662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
9		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
10		0red 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
11	9, 10	lttri2d 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
12	11	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
13		ltnsym2 11254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
14	10, 13	mpdan 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
16	12, 15	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)))
17		pm5.17 1010	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)) ↔ (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
18	16, 17	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
19	18	con2bid 354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
20	8, 19	bitr3d 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
21	20	ifbid 4509	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1))
22		ifnot 4538	. . . . 5 ⊢ if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
23	21, 22	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
24	6, 23	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
25	3, 4, 24	ifbieq12d2 4520	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
26		renegcl 11464	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
27		rexr 11201	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
28		sgnval 14973	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
29	26, 27, 28	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
30		df-neg 11388	. . . 4 ⊢ -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴)))
32		rexr 11201	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		sgnval 14973	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
35	34	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (sgn‘𝐴)) = (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))))
36		ovif2 7455	. . . . 5 ⊢ (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)))
37		biid 260	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
38		0m0e0 12273	. . . . . 6 ⊢ (0 − 0) = 0
39		ovif2 7455	. . . . . . 7 ⊢ (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
40		biid 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < 0 ↔ 𝐴 < 0)
41		0cn 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
42		ax-1cn 11109	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
43	41, 42	subnegi 11480	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
44		0p1e1 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
45	43, 44	eqtr2i 2765	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0 − -1)
46		df-neg 11388	. . . . . . . 8 ⊢ -1 = (0 − 1)
47	40, 45, 46	ifbieq12i 4513	. . . . . . 7 ⊢ if(𝐴 < 0, 1, -1) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
48	39, 47	eqtr4i 2767	. . . . . 6 ⊢ (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
49	37, 38, 48	ifbieq12i 4513	. . . . 5 ⊢ if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
50	36, 49	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
51	50	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
52	31, 35, 51	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
53	25, 29, 52	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   − cmin 11385  -cneg 11386  sgncsgn 14971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-sgn 14972

This theorem is referenced by: (None)