Theorem sgnneg 34387

Description: Negation of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	negeq0d 11604	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3	2	bicomd 222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4		eqidd 2727	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 = 0) → 0 = 0)
5	3	necon3bbid 2968	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
6	5	biimpa 475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
7		lt0neg2 11762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
8	7	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
9		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
10		0red 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
11	9, 10	lttri2d 11394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
12	11	biimpa 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
13		ltnsym2 11354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
14	10, 13	mpdan 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
15	14	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
16	12, 15	jca 510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)))
17		pm5.17 1009	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)) ↔ (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
18	16, 17	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
19	18	con2bid 353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
20	8, 19	bitr3d 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
21	20	ifbid 4546	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1))
22		ifnot 4575	. . . . 5 ⊢ if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
23	21, 22	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
24	6, 23	syldan 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
25	3, 4, 24	ifbieq12d2 4557	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
26		renegcl 11564	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
27		rexr 11301	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
28		sgnval 15088	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
29	26, 27, 28	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
30		df-neg 11488	. . . 4 ⊢ -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴)))
32		rexr 11301	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		sgnval 15088	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
35	34	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (sgn‘𝐴)) = (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))))
36		ovif2 7516	. . . . 5 ⊢ (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)))
37		biid 260	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
38		0m0e0 12378	. . . . . 6 ⊢ (0 − 0) = 0
39		ovif2 7516	. . . . . . 7 ⊢ (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
40		biid 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < 0 ↔ 𝐴 < 0)
41		0cn 11247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℂ
42		ax-1cn 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
43	41, 42	subnegi 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
44		0p1e1 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) = 1
45	43, 44	eqtr2i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0 − -1)
46		df-neg 11488	. . . . . . . 8 ⊢ -1 = (0 − 1)
47	40, 45, 46	ifbieq12i 4550	. . . . . . 7 ⊢ if(𝐴 < 0, 1, -1) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
48	39, 47	eqtr4i 2757	. . . . . 6 ⊢ (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
49	37, 38, 48	ifbieq12i 4550	. . . . 5 ⊢ if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
50	36, 49	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
51	50	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
52	31, 35, 51	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
53	25, 29, 52	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ifcif 4523   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152  ℝ^*cxr 11288   < clt 11289   − cmin 11485  -cneg 11486  sgncsgn 15086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-sgn 15087

This theorem is referenced by: (None)