Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnneg 32807
Description: Negation of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnneg (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnneg
StepHypRef Expression
1 recn 11062 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21negeq0d 11425 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
32bicomd 222 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4 eqidd 2737 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 = 0) → 0 = 0)
53necon3bbid 2978 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
65biimpa 477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
7 lt0neg2 11583 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
9 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
10 0red 11079 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
119, 10lttri2d 11215 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
1211biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
13 ltnsym2 11175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1410, 13mpdan 684 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1514adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1612, 15jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)))
17 pm5.17 1009 . . . . . . . . 9 (((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)) ↔ (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1816, 17sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1918con2bid 354 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
208, 19bitr3d 280 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2120ifbid 4496 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1))
22 ifnot 4525 . . . . 5 if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
2321, 22eqtrdi 2792 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
246, 23syldan 591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
253, 4, 24ifbieq12d2 4507 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
26 renegcl 11385 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
27 rexr 11122 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
28 sgnval 14898 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
2926, 27, 283syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
30 df-neg 11309 . . . 4 -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴))
3130a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴)))
32 rexr 11122 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 sgnval 14898 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3432, 33syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3534oveq2d 7353 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (sgn‘𝐴)) = (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))))
36 ovif2 7435 . . . . 5 (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)))
37 biid 260 . . . . . 6 (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
38 0m0e0 12194 . . . . . 6 (0 − 0) = 0
39 ovif2 7435 . . . . . . 7 (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
40 biid 260 . . . . . . . 8 (𝐴 < 0 ↔ 𝐴 < 0)
41 0cn 11068 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
42 ax-1cn 11030 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4341, 42subnegi 11401 . . . . . . . . 9 (0 − -1) = (0 + 1)
44 0p1e1 12196 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
4543, 44eqtr2i 2765 . . . . . . . 8 1 = (0 − -1)
46 df-neg 11309 . . . . . . . 8 -1 = (0 − 1)
4740, 45, 46ifbieq12i 4500 . . . . . . 7 if(𝐴 < 0, 1, -1) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
4839, 47eqtr4i 2767 . . . . . 6 (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
4937, 38, 48ifbieq12i 4500 . . . . 5 if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
5036, 49eqtri 2764 . . . 4 (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
5150a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
5231, 35, 513eqtrd 2780 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
5325, 29, 523eqtr4d 2786 1 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  ifcif 4473   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337  cr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975  *cxr 11109   < clt 11110  cmin 11306  -cneg 11307  sgncsgn 14896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-sgn 14897
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator