Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnneg 34543
Description: Negation of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnneg (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnneg
StepHypRef Expression
1 recn 11245 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21negeq0d 11612 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
32bicomd 223 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4 eqidd 2738 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 = 0) → 0 = 0)
53necon3bbid 2978 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
65biimpa 476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
7 lt0neg2 11770 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
9 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
10 0red 11264 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
119, 10lttri2d 11400 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
1211biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
13 ltnsym2 11360 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1410, 13mpdan 687 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1612, 15jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)))
17 pm5.17 1014 . . . . . . . . 9 (((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)) ↔ (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1816, 17sylib 218 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1918con2bid 354 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
208, 19bitr3d 281 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2120ifbid 4549 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1))
22 ifnot 4578 . . . . 5 if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
2321, 22eqtrdi 2793 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
246, 23syldan 591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
253, 4, 24ifbieq12d2 4560 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
26 renegcl 11572 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
27 rexr 11307 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
28 sgnval 15127 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
2926, 27, 283syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
30 df-neg 11495 . . . 4 -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴))
3130a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴)))
32 rexr 11307 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 sgnval 15127 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3432, 33syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3534oveq2d 7447 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (sgn‘𝐴)) = (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))))
36 ovif2 7532 . . . . 5 (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)))
37 biid 261 . . . . . 6 (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
38 0m0e0 12386 . . . . . 6 (0 − 0) = 0
39 ovif2 7532 . . . . . . 7 (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
40 biid 261 . . . . . . . 8 (𝐴 < 0 ↔ 𝐴 < 0)
41 0cn 11253 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
42 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4341, 42subnegi 11588 . . . . . . . . 9 (0 − -1) = (0 + 1)
44 0p1e1 12388 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
4543, 44eqtr2i 2766 . . . . . . . 8 1 = (0 − -1)
46 df-neg 11495 . . . . . . . 8 -1 = (0 − 1)
4740, 45, 46ifbieq12i 4553 . . . . . . 7 if(𝐴 < 0, 1, -1) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
4839, 47eqtr4i 2768 . . . . . 6 (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
4937, 38, 48ifbieq12i 4553 . . . . 5 if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
5036, 49eqtri 2765 . . . 4 (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
5150a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
5231, 35, 513eqtrd 2781 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
5325, 29, 523eqtr4d 2787 1 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  *cxr 11294   < clt 11295  cmin 11492  -cneg 11493  sgncsgn 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-sgn 15126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator