Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnneg 31444
Description: Negation of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnneg (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnneg
StepHypRef Expression
1 recn 10427 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21negeq0d 10792 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
32bicomd 215 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4 eqidd 2779 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 = 0) → 0 = 0)
53necon3bbid 3004 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
65biimpa 469 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
7 lt0neg2 10950 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
87adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
9 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
10 0red 10445 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
119, 10lttri2d 10581 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
1211biimpa 469 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
13 ltnsym2 10541 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1410, 13mpdan 674 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1514adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1612, 15jca 504 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)))
17 pm5.17 994 . . . . . . . . 9 (((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)) ↔ (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1816, 17sylib 210 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1918con2bid 347 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
208, 19bitr3d 273 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2120ifbid 4373 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1))
22 ifnot 4401 . . . . 5 if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
2321, 22syl6eq 2830 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
246, 23syldan 582 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
253, 4, 24ifbieq12d2 4384 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
26 renegcl 10752 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
27 rexr 10488 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
28 sgnval 14311 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
2926, 27, 283syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
30 df-neg 10675 . . . 4 -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴))
3130a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴)))
32 rexr 10488 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 sgnval 14311 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3432, 33syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3534oveq2d 6994 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (sgn‘𝐴)) = (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))))
36 ovif2 7070 . . . . 5 (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)))
37 biid 253 . . . . . 6 (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
38 0m0e0 11570 . . . . . 6 (0 − 0) = 0
39 ovif2 7070 . . . . . . 7 (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
40 biid 253 . . . . . . . 8 (𝐴 < 0 ↔ 𝐴 < 0)
41 0cn 10433 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
42 ax-1cn 10395 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4341, 42subnegi 10768 . . . . . . . . 9 (0 − -1) = (0 + 1)
44 0p1e1 11572 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
4543, 44eqtr2i 2803 . . . . . . . 8 1 = (0 − -1)
46 df-neg 10675 . . . . . . . 8 -1 = (0 − 1)
4740, 45, 46ifbieq12i 4377 . . . . . . 7 if(𝐴 < 0, 1, -1) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
4839, 47eqtr4i 2805 . . . . . 6 (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
4937, 38, 48ifbieq12i 4377 . . . . 5 if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
5036, 49eqtri 2802 . . . 4 (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
5150a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
5231, 35, 513eqtrd 2818 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
5325, 29, 523eqtr4d 2824 1 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  ifcif 4351   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340  *cxr 10475   < clt 10476  cmin 10672  -cneg 10673  sgncsgn 14309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-po 5327  df-so 5328  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-sgn 14310
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator