Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgnneg 34387
Description: Negation of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnneg (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))

Proof of Theorem sgnneg
StepHypRef Expression
1 recn 11239 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21negeq0d 11604 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
32bicomd 222 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
4 eqidd 2727 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 = 0) → 0 = 0)
53necon3bbid 2968 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 = 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
65biimpa 475 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → 𝐴 ≠ 0)
7 lt0neg2 11762 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
87adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
9 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
10 0red 11258 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
119, 10lttri2d 11394 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
1211biimpa 475 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
13 ltnsym2 11354 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1410, 13mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1514adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴))
1612, 15jca 510 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)))
17 pm5.17 1009 . . . . . . . . 9 (((𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴) ∧ ¬ (𝐴 < 0 ∧ 0 < 𝐴)) ↔ (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1816, 17sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1918con2bid 353 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
208, 19bitr3d 280 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
2120ifbid 4546 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1))
22 ifnot 4575 . . . . 5 if(¬ 𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
2321, 22eqtrdi 2782 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
246, 23syldan 589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ -𝐴 = 0) → if(-𝐴 < 0, -1, 1) = if(𝐴 < 0, 1, -1))
253, 4, 24ifbieq12d2 4557 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
26 renegcl 11564 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
27 rexr 11301 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ*)
28 sgnval 15088 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
2926, 27, 283syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = if(-𝐴 = 0, 0, if(-𝐴 < 0, -1, 1)))
30 df-neg 11488 . . . 4 -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴))
3130a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = (0 − (sgn‘𝐴)))
32 rexr 11301 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 sgnval 15088 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3432, 33syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1)))
3534oveq2d 7432 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − (sgn‘𝐴)) = (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))))
36 ovif2 7516 . . . . 5 (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)))
37 biid 260 . . . . . 6 (𝐴 = 0 ↔ 𝐴 = 0)
38 0m0e0 12378 . . . . . 6 (0 − 0) = 0
39 ovif2 7516 . . . . . . 7 (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
40 biid 260 . . . . . . . 8 (𝐴 < 0 ↔ 𝐴 < 0)
41 0cn 11247 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
42 ax-1cn 11207 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
4341, 42subnegi 11580 . . . . . . . . 9 (0 − -1) = (0 + 1)
44 0p1e1 12380 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
4543, 44eqtr2i 2755 . . . . . . . 8 1 = (0 − -1)
46 df-neg 11488 . . . . . . . 8 -1 = (0 − 1)
4740, 45, 46ifbieq12i 4550 . . . . . . 7 if(𝐴 < 0, 1, -1) = if(𝐴 < 0, (0 − -1), (0 − 1))
4839, 47eqtr4i 2757 . . . . . 6 (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1)) = if(𝐴 < 0, 1, -1)
4937, 38, 48ifbieq12i 4550 . . . . 5 if(𝐴 = 0, (0 − 0), (0 − if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
5036, 49eqtri 2754 . . . 4 (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1))
5150a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 − if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, -1, 1))) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
5231, 35, 513eqtrd 2770 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → -(sgn‘𝐴) = if(𝐴 = 0, 0, if(𝐴 < 0, 1, -1)))
5325, 29, 523eqtr4d 2776 1 (𝐴 ∈ ℝ → (sgn‘-𝐴) = -(sgn‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  ifcif 4523   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  cr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152  *cxr 11288   < clt 11289  cmin 11485  -cneg 11486  sgncsgn 15086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-sgn 15087
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator