Theorem shjcom 31338

Description: Commutative law for Hilbert lattice join of subspaces. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shjcom	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Proof of Theorem shjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shjval 31331	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
2		shjval 31331	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))))
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))))
4		uncom 4105	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵)
5	4	fveq2i 6825	. . . 4 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴)) = (⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))
6	5	fveq2i 6825	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
7	3, 6	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
8	1, 7	eqtr4d 2769	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3895  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   S_ℋ csh 30908  ⊥cort 30910   ∨_ℋ chj 30913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-hilex 30979

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-sh 31187  df-chj 31290

This theorem is referenced by:  shlej2  31341  shjcomi  31351  shub2  31363  chjcom  31486