Theorem shjcom 31294

Description: Commutative law for Hilbert lattice join of subspaces. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shjcom	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Proof of Theorem shjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shjval 31287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
2		shjval 31287	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))))
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))))
4		uncom 4124	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵)
5	4	fveq2i 6864	. . . 4 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴)) = (⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))
6	5	fveq2i 6864	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
7	3, 6	eqtrdi 2781	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
8	1, 7	eqtr4d 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   S_ℋ csh 30864  ⊥cort 30866   ∨_ℋ chj 30869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-hilex 30935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-sh 31143  df-chj 31246

This theorem is referenced by:  shlej2  31297  shjcomi  31307  shub2  31319  chjcom  31442