Theorem shjcom 30878

Description: Commutative law for Hilbert lattice join of subspaces. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shjcom	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Proof of Theorem shjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shjval 30871	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
2		shjval 30871	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))))
3	2	ancoms 457	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))))
4		uncom 4152	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵)
5	4	fveq2i 6893	. . . 4 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴)) = (⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))
6	5	fveq2i 6893	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
7	3, 6	eqtrdi 2786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
8	1, 7	eqtr4d 2773	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∪ cun 3945  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   S_ℋ csh 30448  ⊥cort 30450   ∨_ℋ chj 30453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-hilex 30519

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-sh 30727  df-chj 30830

This theorem is referenced by:  shlej2  30881  shjcomi  30891  shub2  30903  chjcom  31026