Theorem shjcom 31377

Description: Commutative law for Hilbert lattice join of subspaces. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shjcom	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Proof of Theorem shjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shjval 31370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
2		shjval 31370	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))))
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))))
4		uncom 4158	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵)
5	4	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴)) = (⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))
6	5	fveq2i 6909	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
7	3, 6	eqtrdi 2793	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
8	1, 7	eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   S_ℋ csh 30947  ⊥cort 30949   ∨_ℋ chj 30952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-hilex 31018

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-sh 31226  df-chj 31329

This theorem is referenced by:  shlej2  31380  shjcomi  31390  shub2  31402  chjcom  31525