Theorem shjcom 31446

Description: Commutative law for Hilbert lattice join of subspaces. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shjcom	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Proof of Theorem shjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shjval 31439	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
2		shjval 31439	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))))
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))))
4		uncom 4112	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵)
5	4	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴)) = (⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))
6	5	fveq2i 6845	. . 3 ⊢ (⊥‘(⊥‘(𝐵 ∪ 𝐴))) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵)))
7	3, 6	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐴) = (⊥‘(⊥‘(𝐴 ∪ 𝐵))))
8	1, 7	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   S_ℋ csh 31016  ⊥cort 31018   ∨_ℋ chj 31021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-hilex 31087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-sh 31295  df-chj 31398

This theorem is referenced by:  shlej2  31449  shjcomi  31459  shub2  31471  chjcom  31594