Theorem chjcom 31799

Description: Commutative law for Hilbert lattice join. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chjcom	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Proof of Theorem chjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31517	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		chsh 31517	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
3		shjcom 31651	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   S_ℋ csh 31221   C_ℋ cch 31222   ∨_ℋ chj 31226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-hilex 31292

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-sh 31500  df-ch 31514  df-chj 31603

This theorem is referenced by:  chub2  31801  chlejb2  31806  chj12  31827  mddmd2  32602  dmdsl3  32608  csmdsymi  32627  mdexchi  32628  atordi  32677  atcvatlem  32678  atcvati  32679  chirredlem2  32684  chirredlem4  32686  atcvat3i  32689  atcvat4i  32690  atdmd  32691  mdsymlem3  32698  mdsymlem5  32700  mdsymlem8  32703  sumdmdlem2  32712  dmdbr5ati  32715