Theorem chjcom 32120

Description: Commutative law for Hilbert lattice join. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chjcom	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Proof of Theorem chjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		chsh 31838	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
3		shjcom 31972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427   S_ℋ csh 31542   C_ℋ cch 31543   ∨_ℋ chj 31547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394  ax-hilex 31613

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-sh 31821  df-ch 31835  df-chj 31924

This theorem is used by:  chub2  32122  chlejb2  32127  chj12  32148  mddmd2  32923  dmdsl3  32929  csmdsymi  32948  mdexchi  32949  atordi  32998  atcvatlem  32999  atcvati  33000  chirredlem2  33005  chirredlem4  33007  atcvat3i  33010  atcvat4i  33011  atdmd  33012  mdsymlem3  33019  mdsymlem5  33021  mdsymlem8  33024  sumdmdlem2  33033  dmdbr5ati  33036