Theorem chjcom 31535

Description: Commutative law for Hilbert lattice join. (Contributed by NM, 12-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chjcom	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Proof of Theorem chjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31253	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		chsh 31253	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
3		shjcom 31387	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ 𝐵) = (𝐵 ∨ℋ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431   S_ℋ csh 30957   C_ℋ cch 30958   ∨_ℋ chj 30962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-hilex 31028

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-sh 31236  df-ch 31250  df-chj 31339

This theorem is referenced by:  chub2  31537  chlejb2  31542  chj12  31563  mddmd2  32338  dmdsl3  32344  csmdsymi  32363  mdexchi  32364  atordi  32413  atcvatlem  32414  atcvati  32415  chirredlem2  32420  chirredlem4  32422  atcvat3i  32425  atcvat4i  32426  atdmd  32427  mdsymlem3  32434  mdsymlem5  32436  mdsymlem8  32439  sumdmdlem2  32448  dmdbr5ati  32451